Модифицированный метод Эйлера.

Модифицированный метод Эйлера позволяет уменьшить погрешность на каждом шаге до величины вместо в обычном методе (6.6). Запишем разложение функции в ряд Тейлора в виде:

(6.7)

Аппроксимируем вторую производную с помощью отношения конечных разностей:

Подставляя это соотношение в (6.7) и пренебрегая членами порядка , получаем:

(6.8)

Полученная схема является неявной, поскольку искомое значение входит в обе части соотношения (6.8) и его нельзя выразить явно. Если имеется хорошее начальное приближение , то можно построить решение с использованием двух итераций следующим образом. Сначала по формуле (6.6) вычисляют первое приближение

(6.9)

Найденное значение подставляется вместо в правую часть соотношения (6.8) и находится окончательное значение

(6.10)

На рис. 6.3 дана геометрическая интерпретация первого шага вычислений при решении задачи Коши модифицированным методом Эйлера.

Рис. 6.3. Модифицированный метод Эйлера.

 

Пример 6.2. Решить задачу Коши модифицированным методом Эйлера для дифференциального уравнения

на отрезке с шагом

Решение. По формуле (6.9) вычислим первое приближение

Используя формулу (6.10), находим окончательное значение в точке

Аналогично вычисляются последующие значения функции в узловых точках

Сеточную функцию записываем в виде таблицы

		0,1	0,2	0,3
		1,1055	1,224128	1,359361

 

Программа решения задачи Коши модифицированным методом Эйлера отличается от приведенной на рис. 6.2 заменой отмеченных строк на следующие:

 

1 Y1=Y+ FNY(X,Y)*H

Y=Y+H*(FNY(X,Y)+FNY(X+H,Y1))/2

Пример 6.3. Решить задачу Коши модифицированным методом Эйлера с помощью программы Excel для дифференциального уравнения

на отрезке с шагом .

Порядок решения.

1) Ввести в ячейки A1:D1 заголовки столбцов (рис. 6.4).

2) В ячейку A2 – 0

3) В ячейки B2 и C2 – 1

4) В ячейку D2 – шаг интегрирования 0,1

5) В ячейку A3 – значение =A2+$D$2

6) В ячейку B3 – формулу =C2+$D$2*(A2^2+C2)

7) В ячейку С3 – формулу =C2+$D$2*(A2^2+C2+A3^2+B3)/2

8) Выделить ячейки A3:С3 и при помощи маркера заполнения ввести формулы в ячейки A4:С4 … A13:С12.

9) Столбцы A и С содержат решение.

 

		A	B	C	D
		x	y~	y	h
					0,1
		0,1	1,1	1,1055
		0,2	1,21705	1,2241275
		0,3	1,35054	1,3593609
		0,4	1,504297	1,5150438
		0,5	1,682548	1,6954234
		0,6	1,889966	1,9051928
		0,7	2,131712	2,1495381
		0,8	2,413492	2,4341896
		0,9	2,741609	2,7654795
			3,123027	3,1504048
Рис. 6.4. Решение задачи Коши модифицированным методом Эйлера с помощью программы Excel.

Метод Рунге-Кутта.

На основе метода Рунге-Кутта могут быть построены разностные схемы разного порядка точности. Наиболее употребительной является следующая схема четвертого порядка:

(6.11)

где

(6.12)

Таким образом, метод Рунге-Кутта требует на каждом шаге четырехкратного вычисления правой части уравнения. Однако это окупается повышенной точностью, что дает возможность проводить счет с относительно большим шагом.

Программа решения задачи Коши методом Рунге-Кутта отличается от приведенной на рис. 6.2 заменой отмеченных строк на следующие:

1 K0 = H*FNY(X,Y)

K1 = H*FNY(X+H/2,Y+K0/2)

K2 = H*FNY(X+H/2,Y+K1/2)

K3 = H*FNY(X+H,Y+K2)

Y=Y+(K0+2*K1+2*K2+K3)/6

Пример 6.4. Решить задачу Коши методомРунге-Кутта для дифференциального уравнения на отрезке с шагом .

Решение. По формулам (6.12) вычислим значения , , , :

Используя формулу (6.11), находим значение в точке :

Аналогично вычисляются последующие значения функции в узловых точках

Сеточную функцию записываем в виде таблицы

		0,1	0,2	0,3
		1,105513	1,224208	1,359576