Оценка точности решения дифференциального уравнения.

Для практической оценки погрешности решения дифференциального уравнения проводят вычисления с шагами и . За оценку погрешности решения, полученного с шагом , принимают величину, равную

где - значение сеточной функции в -й точке, вычисленное с шагом ;

- порядок точности, равный для метода Эйлера, 2 для модифицированного метода Эйлера и 4 для методаРунге-Кутта 4-го порядка.

Для достижения заданной точности вычисления повторяют, последовательно уменьшая шаг. Процесс вычислений заканчивается, когда для очередного значения будет выполнено условие , где ε ‑ заданная точность.

 

Разностные методы решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения.

Линейная краевая задача имеет вид:

(6.12)

(6.13)

при .

Решение задачи (6.12)-(6.13) проводится в следующей последовательности:

1. Определение сетки:

Отрезок [a,b] делится на частей:

…

…

…

…

 

, ,

2. Определение сеточной функции :

			…
			…

3. Аппроксимация уравнения:

Для каждой узловой точки заменяем функции и производные в уравнениях 6.12-6.13 конечноразностными аналогами:

т.е.

(6.14)

т.е.

Получаем ситему линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных величин .

4. Решение СЛАУ.

Система уравнений решается методом прогонки.

Пример 6.4. Решить краевую задачу методом конечных разностей с шагом :

Решение. Решение проводим в следующей последовательности:

1. Определение сетки:

| | | |

, - краевые точки, - внутренние точки.

2. Определение сеточной функции :

3. Аппроксимация уравнения:

при
при
при
при

Получим систему четырех линейных алгебраическихуравнений с четырьмя неизвестными , , и :

или

4. Решение системы методом прогонки.

Значения , , , записываем в виде таблицы 6.1.

				Таблица 6.1
			-5
	106,5	-197,4	93,5	0,8
		-197,2		0,8
	-10

 

Прямой ход прогонки. Определяем прогоночные коэффициенты и ().

, т.к.

Обратный ход прогонки. Вычисляем ().

Поскольку , то .

Сеточную функцию записываем в виде таблицы

 

	1,2	1,3	1,4	1,5
	2,337581	2,605098	2,845925	3,045925

 

 

Задачи линейного программирования.

Общая постановка задачи линейного программирования (ЛП) включает целевую функцию

(7.1)

ограничения типа равенств

(7.2)

и ограничения типа неравенств

(7.3)

В задачах ЛП в число ограничений очень часто входит условие положительности переменных:

, (7.4)

Обычно оно связано с тем, что в этих задачах означает количество объектов ‑того типа (производимых, перевозимых, потребляемых и т.п.).