![]() Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву ![]() Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Определители второго порядка.Содержание книги Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте
ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Методические указания к выполнению самостоятельной работы для студентов всех специальностей
Санкт-Петербург УДК 519.95 (075.8) Основы линейной алгебры: Методические указания к выполнению самостоятельной работы для студентов всех специальностей / Л.Е.Морозова, О.В.Соловьева. СПб. гос. архит.-строит. ун-т.- СПб., 2005. с. Методические указания предназначены для самостоятельного изучения линейной алгебры студентами всех специальностей. Даны основные определения и теоремы теории матриц и определителей. Приводится методика решения систем линейных уравнений методом Гаусса. Библиогр.: 4 назв.
Определители второго порядка. Понятие определителя возникло в связи с проблемой отыскания формул для значений неизвестных в системе линейных уравнений. Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: Таблица из коэффициентов вида Решим систему методом исключения. Чтобы найти неизвестное Аналогично, умножая первое уравнение на Коэффициент при
Таким образом Пример1.1. Вычислить определители: a) c)
Определители третьего порядка. Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
Матрица системы имеет вид: где Определителем 3-го порядка называется коэффициент при неизвестных Вычисляется определитель 3-го порядка по правилу Саррюса:
Величины Пример 2. 1. Вычислить определитель по правилу Саррюса:
3.Элементарные сведения о перестановках. Рассмотрим п целых чисел (элементов) 1, 2,..., п. Их можно располагать в различном порядке. Определение 3.1: Всевозможные расположения чисел 1, 2, …, n называются перестановками. Перестановка
Пример 3.1. При п =3 возможны перестановки (1 2 3), (1 3 2), (2 1 3), (2 3I), (3 1 2), (3 2 1). Их число равно 3! = 6. Определение 3.2: Факториалом n называется произведение первых n натуральных чисел. n!=1∙2∙…∙ n. Принято считать 0!=1. Методом математической индукции можно доказать, что из п элементов можно составить п!перестановок. Определение 3.3: Назовем беспорядком (или инверсией)в перестановке тот факт, что большее число стоит перед меньшим. Например, в перестановке (3 1 2 4) имеется два беспорядка; число 3 стоит перед числами 1 и 2. Определим число беспорядков в перестановках из трех элементов: в перестановке (1 2 3) — 0 беспорядков, (I 3 2) — 1, (2 1 3) — 1, (2 3 1) — 2, (3 1 2) — 2, (3 2 1) — 3. Число беспорядков в перестановке может быть четным или нечетным. Перестановки с четным числом беспорядков называются четными, перестановки с нечетным числом беспорядков называются нечетными. Так, перестановки (1 2 3), (2 3 1), (3 1 2) четные, а перестановки (1 3 2), Обмен местами двух элементов в перестановке называется транспозицией. Транспозиция переводит одну перестановку в другую. Одна транспозиция меняетчетность перестановки, т. е. четная перестановка становится нечетной, а нечетная четной. Для перестановки Теперь отметим закономерности при вычислении определителя 3-го порядка. 1. Число слагаемых равно 6=3!, то есть равно числу перестановок из 3-х элементов. 2. Каждое слагаемое является произведением 3-х элементов 3. Если перестановка Следовательно: Для определителя второго порядка получим:
Определители n-го порядка. Очевидно, что для системы из n линейных уравнений с n неизвестными получим матрицу коэффициентов размером Введем понятие определителя n -го порядка. Определение 4.1: Определителем n -го порядка называется число равное -сумме n! слагаемых;
-каждое слагаемое есть произведение n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца; -каждое слагаемое берется со знаком «+», если перестановка из вторых индексов четная, и со знаком «-», если перестановка из вторых индексов нечетная, при условии, что первые индексы образуют натуральный ряд чисел. Т.о. Здесь å берется по всем возможным перестановкам
5. Основные свойства определителей. Установим основные свойства определителей, которые для простоты будем показывать на определителе 2-го порядка. 1. При замене строк соответствующими столбцами (именуемой транспонированием) определитель остается неизменным. Действительно:
Следовательно, Примечание: Полученный выше результат дает нам право утверждать, что строки и столбцы определителя, именуемые в дальнейшем рядами, равноправны. 2. При перестановке двух рядов определитель меняет знак на противоположный. Действительно,
что и требовалось доказать. 3. Если в определителе два параллельных ряда одинаковы, то он равен нулю. Действительно, поменяем местами две одинаковых строки. Тогда величина определителя не изменится, а знак в силу свойства 2. поменяется. Единственное число, которое не меняется при изменении знака – ноль. 4. Общий множитель членов любого ряда можно вынести за знак определителя.
5. Если все элементы любого ряда являются суммами одинакового числа слагаемых, то определитель равен сумме определителей, в которых элементами рассматриваемого ряда служат отдельные слагаемые. что и требовалось доказать. 6. Определитель не изменится, если к элементам любого ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на некоторое число. Умножим вторую строку на Действительно, в силу свойств 3,4,5
что и требовалось доказать.
6. Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя. Рассмотрим определитель n -го порядка:
Выделим в определителе
Если в определителе Определение 6.1. А лгебраическим дополнением элемента
Пример 6.1. Найти минор
Содержание 1. Определители второго порядка…………………………………………………….…..……3 2. Определители третьего порядка………………………………………………………………3 3.Элементарные сведения о перестановках……………………………………………………...5 4.Определители n-го порядка…………………………………………………...……………6 5. Основные свойства определителей……………………………………………………………7 6. Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя………………………...8 7. Разложение определителей по элементам его рядов……………………………….……9 8. Общие сведения о матрицах. Основные определения…………………..……………..12 9. Разновидности матриц……………………………………………………………………..13
10. Арифметические операции над матрицами……………………………..…..…………15 11. Свойства перемножения матриц…………………………………………...…………...16 12. Обратная матрица и ее вычисление с помощью союзной матрицы……….……….18 13.Cистемы линейных уравнений………………………………………………………….....…20 14.Матричная запись системы уравнений………………………………………...……..……...21 15. Системы с неособенной квадратной матрицей. Формулы Крамера………………….........22 16. Системы уравнений в базисной форме…………………..…………………….………24 17.Метод Гаусса………………………………………………………………………………….26 18.Нахождение решения в базисной форме……………………………………….…..…..32 19. Вычисление обратной матрицы по схеме Гаусса………………………….…………….….33 20.Понятие об 21. Линейное преобразование векторов. Собственные векторы и собственные значения…………………………………………………………………………………………….37 Лидия Евсеевна Морозова Ольга Валентиновна Соловьева
ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Редактор Корректор
Подписано к печати 00.00.2005. Формат 60x84 1/16. Бум. Офсетная. Усл. печ. л.. Уч.-изд. л.. Тираж 500 экз. Заказ.»С». Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет. 198005, Санкт-Петербург, 2-ая Красноармейская, 4. Отпечатано на ризографе. 198005, Санкт-Петербург, 2-ая Красноармейская, 5. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Методические указания к выполнению самостоятельной работы для студентов всех специальностей
Санкт-Петербург УДК 519.95 (075.8) Основы линейной алгебры: Методические указания к выполнению самостоятельной работы для студентов всех специальностей / Л.Е.Морозова, О.В.Соловьева. СПб. гос. архит.-строит. ун-т.- СПб., 2005. с. Методические указания предназначены для самостоятельного изучения линейной алгебры студентами всех специальностей. Даны основные определения и теоремы теории матриц и определителей. Приводится методика решения систем линейных уравнений методом Гаусса. Библиогр.: 4 назв.
Определители второго порядка. Понятие определителя возникло в связи с проблемой отыскания формул для значений неизвестных в системе линейных уравнений. Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: Таблица из коэффициентов вида Решим систему методом исключения. Чтобы найти неизвестное
Аналогично, умножая первое уравнение на Коэффициент при
Таким образом Пример1.1. Вычислить определители: a) c)
|
||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-09-19; просмотров: 650; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.142.130.174 (0.012 с.) |