Определители второго порядка.

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

 

Методические указания к выполнению самостоятельной работы для студентов всех специальностей

 

Санкт-Петербург

УДК 519.95 (075.8)

Основы линейной алгебры: Методические указания к выполнению самостоятельной работы для студентов всех специальностей / Л.Е.Морозова, О.В.Соловьева. СПб. гос. архит.-строит. ун-т.- СПб., 2005. с.

Методические указания предназначены для самостоятельного изучения линейной алгебры студентами всех специальностей. Даны основные определения и теоремы теории матриц и определителей. Приводится методика решения систем линейных уравнений методом Гаусса.

Библиогр.: 4 назв.

 

Определители второго порядка.

Понятие определителя возникло в связи с проблемой отыскания формул для значений неизвестных в системе линейных уравнений.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

Таблица из коэффициентов вида называется матрицей системы.

Решим систему методом исключения. Чтобы найти неизвестное , умножим первое уравнение на , а второе - на и сложим оба уравнения. Получим

Аналогично, умножая первое уравнение на , второе - на и складывая оба уравнения, найдем

Коэффициент при называется определителем 2-го порядка и обозначается

, где

Таким образом

Пример1.1. Вычислить определители:

a) b)

c)

 

Определители третьего порядка.

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя не­известными:

 

Матрица системы имеет вид: . Решая систему методом исключения неизвестных, получим:

где - некоторые числа.

Определителем 3-го порядка называется коэффициент при неизвестных и обозначается .

Вычисляется определитель 3-го порядка по правилу Саррюса:

Величины - элементы определителя (матрицы). В определителе различают строки, столбцы, главную диагональ из левого верхнего угла и побочную диагональ из правого верхнего угла. Первый индекс элемента указывает номер строки, второй – номер столбца.

Пример 2. 1. Вычислить определитель по правилу Саррюса:

 

3.Элементарные сведения о перестановках.

Рассмотрим п целых чисел (элементов) 1, 2,..., п. Их можно располагать в различном порядке.

Определение 3.1: Всевозможные расположения чисел 1, 2, …, n называются перестановками. Переста­новка , в которой числа идут в порядке возраста­ния, называется натуральной.

Пример 3.1. При п =3 возможны перестановки (1 2 3), (1 3 2), (2 1 3), (2 3I), (3 1 2), (3 2 1). Их число равно 3! = 6.

Определение 3.2: Факториалом n называется произведение первых n натуральных чисел.

n!=1∙2∙…∙ n.

Принято считать 0!=1.

Методом математической индукции можно доказать, что из п элементов можно составить п!перестано­вок.

Определение 3.3: Назовем беспорядком (или инверсией)в перестановке тот факт, что большее число стоит перед меньшим. Например, в перестановке (3 1 2 4) имеется два беспорядка; число 3 стоит перед числами 1 и 2.

Определим число беспорядков в перестановках из трех эле­ментов: в перестановке (1 2 3) — 0 беспорядков, (I 3 2) — 1, (2 1 3) — 1, (2 3 1) — 2, (3 1 2) — 2, (3 2 1) — 3.

Число беспорядков в перестановке может быть четным или нечетным. Перестановки с четным числом беспорядков назы­ваются четными, перестановки с нечетным числом беспорядков называются нечетными. Так, перестановки (1 2 3), (2 3 1), (3 1 2) четные, а перестановки (1 3 2),
(2 1 3), (3 2 1) не­четные.

Обмен местами двух элементов в перестановке называется транспозицией. Транспозиция переводит одну перестановку в другую. Одна транспозиция меняетчетность переста­новки, т. е. четная перестановка становится нечетной, а нечет­ная четной.

Для перестановки количество беспорядков обозначают , где -одно из чисел 1, 2,…, n; , если .

Теперь отметим закономерности при вычислении определителя 3-го порядка.

1. Число слагаемых равно 6=3!, то есть равно числу перестановок из 3-х элементов.

2. Каждое слагаемое является произведением 3-х элементов , где перестановка первых индексов элементов – натуральная перестановка (1,2,3), а вторых индексов ()- некоторая перестановка чисел 1,2,3; таким образом элементы из разных строк и столбцов.

3. Если перестановка четная, то слагаемое берется со знаком «+», а если нечетная, то со знаком «-».

Следовательно:

Для определителя второго порядка получим:

 

Определители n-го порядка.

Очевидно, что для системы из n линейных уравнений с n неизвестными получим матрицу коэффициентов размером :

Введем понятие определителя n -го порядка.

Определение 4.1:

Определителем n -го порядка называется число равное

-сумме n! слагаемых;

-каждое слагаемое есть произведение n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца;

-каждое слагаемое берется со знаком «+», если перестановка из вторых индексов четная, и со знаком «-», если перестановка из вторых индексов нечетная, при условии, что первые индексы образуют натуральный ряд чисел.

Т.о.

Здесь å берется по всем возможным перестановкам , составленным из чисел 1,2,…, n.

 

5. Основные свойства определителей.

Установим основные свойства определителей, которые для простоты будем показывать на определителе 2-го порядка.

1. При замене строк соответствующими столбцами (именуемой транспони­рованием) определитель остается неизменным. Действительно:

Следовательно, , что и требовалось доказать.

Примечание: Полученный выше результат дает нам право утверждать, что строки и столбцы определителя, именуемые в дальней­шем рядами, равноправны.

2. При перестановке двух рядов определитель меняет знак на противоположный.

Действительно, Поменяем местами строки и вычислим определитель

,

что и требовалось доказать.

3. Если в определителе два параллельных ряда одинаковы, то он равен нулю. Действительно, поменяем местами две одинаковых строки. Тогда величина определителя не изменится, а знак в силу свойства 2. поменяется. Единственное число, которое не меняется при изменении знака – ноль.

4. Общий множитель членов любого ряда можно вынести за знак определителя.

что и требовалось доказать.

5. Если все элементы любого ряда являются суммами одинакового числа слагаемых, то определитель равен сумме определителей, в которых элементами рассматриваемого ряда служат отдельные слагаемые.

что и требовалось доказать.

6. Определитель не изменится, если к элементам любого ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на не­которое число.

Умножим вторую строку на и прибавим ее к первой строке:

Действительно, в силу свойств 3,4,5

=

что и требовалось доказать.

 

6. Миноры и алгебраические дополнения элементов оп­ределителя.

Рассмотрим определитель n -го порядка:

.

Выделим в определителе i -ю строку и j -й столбец. На пересечении этих рядов стоит элемент

Если в определителе мы вычеркнем i -юстроку и j -йстолбец, то получим определитель по­рядка п -1 (т. е. имеющий порядок, на единицу меньший по сравнению с исходным определителем), называемый мино­ром элемента определителя . Будем обозначать мино­р элемента символом .

Определение 6.1. А лгебраическим дополнением эле­мента определителя называется минор , взятый со знаком , и обозначается символом . Согласно определению получим

.

Пример 6.1. Найти минор и алгебраическое дополнение определителя

 

Содержание

1. Определители второго порядка…………………………………………………….…..……3

2. Определители третьего порядка………………………………………………………………3

3.Элементарные сведения о перестановках……………………………………………………...5

4.Определители n-го порядка…………………………………………………...……………6

5. Основные свойства определителей……………………………………………………………7

6. Миноры и алгебраические дополнения элементов оп­ределителя………………………...8

7. Разложение определителей по элементам его рядов……………………………….……9

8. Общие сведения о матрицах. Основные определения…………………..……………..12

9. Разновидности матриц……………………………………………………………………..13

10. Арифметические операции над матрицами……………………………..…..…………15

11. Свойства перемножения матриц…………………………………………...…………...16

12. Обратная матрица и ее вычисление с помощью союзной матрицы……….……….18

13.Cистемы линейных уравнений………………………………………………………….....…20

14.Матричная запись системы уравнений………………………………………...……..……...21

15. Системы с неособенной квадратной матрицей. Формулы Крамера………………….........22

16. Системы уравнений в базисной форме…………………..…………………….………24

17.Метод Гаусса………………………………………………………………………………….26

18.Нахождение решения в базисной форме……………………………………….…..…..32

19. Вычисление обратной матрицы по схеме Гаусса………………………….…………….….33

20.Понятие об -мерном арифметическом пространстве и -мерном векторе…………………………………………………………………………………………...…35

21. Линейное преобразование векторов. Собственные векторы и собственные значения…………………………………………………………………………………………….37

Лидия Евсеевна Морозова

Ольга Валентиновна Соловьева

 

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

 

 

Редактор

Корректор

 

Подписано к печати 00.00.2005. Формат 60x84 1/16. Бум. Офсетная. Усл. печ. л.. Уч.-изд. л.. Тираж 500 экз. Заказ.»С». Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет. 198005, Санкт-Петербург, 2-ая Красноармейская, 4. Отпечатано на ризографе. 198005, Санкт-Петербург, 2-ая Красноармейская, 5.

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

 

Методические указания к выполнению самостоятельной работы для студентов всех специальностей

 

Санкт-Петербург

УДК 519.95 (075.8)

Основы линейной алгебры: Методические указания к выполнению самостоятельной работы для студентов всех специальностей / Л.Е.Морозова, О.В.Соловьева. СПб. гос. архит.-строит. ун-т.- СПб., 2005. с.

Методические указания предназначены для самостоятельного изучения линейной алгебры студентами всех специальностей. Даны основные определения и теоремы теории матриц и определителей. Приводится методика решения систем линейных уравнений методом Гаусса.

Библиогр.: 4 назв.

 

Определители второго порядка.

Понятие определителя возникло в связи с проблемой отыскания формул для значений неизвестных в системе линейных уравнений.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

Таблица из коэффициентов вида называется матрицей системы.

Решим систему методом исключения. Чтобы найти неизвестное , умножим первое уравнение на , а второе - на и сложим оба уравнения. Получим

Аналогично, умножая первое уравнение на , второе - на и складывая оба уравнения, найдем

Коэффициент при называется определителем 2-го порядка и обозначается

, где

Таким образом

Пример1.1. Вычислить определители:

a) b)

c)