Разложение определителей по элементам его рядов.

1.Теорема разложения:

Всякий определитель равен сумме парных произведений элементов какого-либо ряда на их алгебраические дополнения.

 

Для i- й строки:

;

или для j -го столбца:

Пример 7.1. Вычислить определитель разложением по элементам первой строки:

 

=1∙(1+12+12 ) ∙(2+16+18 )+

+3∙(4+8+27 ) ∙(8+4+18 )=

=8 = .

Теорема разложения позволяет заменить вычисление одного определителя n- го порядка вычислением n определителей (n- 1)-го порядка.

Однако для упрощения вычислений целесообразно для определителей высоких порядков использовать метод «размножения нулей», основанный на свойстве 6 раздела 5. Его идея:

-сначала «размножить нули» в некотором ряду, т.е. получить ряд, в котором только один элемент не равен нулю, остальные нули;

-затем разложить определитель по элементам этого ряда.

Следовательно, на основании теоремы разложения исходный определитель равен произведению ненулевого элемента на его алгебраическое дополнение.

Пример7.2. Вычислить определитель:

.

«Размножим нули» в первом столбце.

От второй строки вычтем первую, умноженную на 2, от третьей строки вычтем первую, умноженную на 3, а от четвертой строки вычтем первую, умноженную на 4. При таких преобразованиях величина определителя не изменится.

По свойству 4 раздела 5 можем вынести за знак определителя из 1-го столбца, из 2-го столбца и из 3-го столбца.

Следствие: Определитель с нулевым рядом равен нулю.

2. Теорема замещения:

Сумма парных произведений каких-либо чисел на алгебраические дополнения некоторого ряда определителя равна тому определителю, который получается из данного, если в нем заменить элементы этого ряда взятыми числами.

Для -й строки:

1. Теорема аннулирования:

Сумма парных произведений элементов какого-либо ряда на алгебраические дополнения параллельного ряда равна нулю.

.

Действительно, по теореме замещения получаем определитель, у которого в k -й строке стоят те же элементы, что и в i -й строке

Но по свойству 3 раздела 5 такой определитель равен нулю.

Т.о., теорему разложения и ее следствия можно записать следующим образом:

 

8. Общие сведения о матрицах. Основные определения.

Определение 8.1. Матрицей называется следующая прямоугольная таблица:

 

содержащая элементов ,расположенных в т строках и в п столбцах.

Применяют также следующие обозначения матрицы: , или , или .

Строки и столбцы матрицы именуются рядами.

Величина называется размером матрицы.

Если в матрице поменять местами строки и столбцы, то получим матрицу, называемую транспонированной. Матрица, транспонированнаяс , обычно обозначается символом .

Например:

Определение 8.2. Две матрицы A и B называются равными, если

1) обе матрицы одинаковых размеров, т.е. и ;

2) все их соответствующие элементы равны, т.е.

(8.1)

Тогда . (8.2)

Здесь одно матричное равенство (8.2) эквивалентно скалярных равенств (8.1).

 

9. Разновидности матриц.

1) Матрица, все элементы которой равны нулю, называется ноль-матрицей:

2) Если матрица состоит только из одной строки, то она называется матрицей-строкой, например . Аналогично этому матрица, имеющая только один столбец, именуется матрицей-столб­цом, например .

Транспонирование переводит матрицу-столбец в матрицу-строку и наоборот.

3) Если m = n, то матрица называется квадрат­ной матрицей n-го порядка.

Диагональ членов квадратной матрицы, идущая из левого верхнего угла в ее правый нижний угол, называется главной. Другая же диагональ ее членов, идущая из левого нижнего угла в ее правый верхний угол, именуется побочной.

Для квадратной матрицы может быть вычислен определитель det(A).

4) Если определитель матрицы равен нулю, то матрица на­зывается особенной, или вырожденной. В противном случае матрица именуется неособенной, или невырожденной.

5) Разновидности квадратных матриц:

Если все элементы квадратной матрицы, за исключе­нием элементов ее главной диагонали, равны нулю, то матрица называется диагональной. Диагональная матрица имеет вид:

Ее определитель равен произведению элементов главной диагонали:

В частности, при диагональная матрица называется скалярной: .

При скалярная матрица называется единичной и обозначается символом Е.

. Ее определитель равен единице:

Если все элементы квадратной матрицы по одну сто­рону главной диагонали равны нулю, то матрица именуется треугольной (соответственно верхней или нижней).

- верхняя треугольная матрица.