Разложение функций в степенные ряды



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Разложение функций в степенные ряды



Если функция f(x) имеет на некотором интервале, содержащем точку а, производные всех порядков, то к ней может быть применена формула Тейлора:

,

где rn – так называемый остаточный член или остаток ряда, его можно оценить с помощью формулы Лагранжа:

, где число x заключено между х и а.

Если для некоторого значения х rn®0 при n®¥, то в пределе формула Тейлора превращается для этого значения в сходящийся ряд Тейлора:

Таким образом, функция f(x) может быть разложена в ряд Тейлора в рассматриваемой точке х, если:

1) она имеет производные всех порядков;

2) построенный ряд сходится в этой точке.

 

При а=0 получаем ряд, называемый рядом Маклорена:

 

Пример 1. Разложить в степенной ряд функцию f(x)=2x.

Решение. Найдем значения функции и ее производных при х=0

f(x) = 2x, f(0) = 20=1;

f¢(x) = 2xln2, f¢(0) = 20 ln2= ln2;

f¢¢(x) = 2x ln22, f¢¢(0) = 20 ln22= ln22;

f(n)(x) = 2x lnn2, f(n)(0) = 20 lnn2= lnn2.

Подставляя полученные значения производных в формулу ряда Тейлора, получим:

Радиус сходимости этого ряда равен бесконечности, поэтому данное разложение справедливо для -¥<x<+¥.

 

Пример 2. Написать ряд Тейлора по степеням (х+4) для функции f(x)=ex.

Решение. Находим производные функции ex и их значения в точке х=-4.

f(x) = еx, f(-4) = е-4;

f¢(x) = еx, f¢(-4) = е-4;

f¢¢(x) = еx, f¢¢(-4) = е-4;

f(n)(x) = еx, f(n)( -4) = е-4.

Следовательно, искомый ряд Тейлора функции имеет вид:

Данное разложение также справедливо для -¥<x<+¥.

 

Пример 3. Разложить функцию f(x)=lnx в ряд по степеням (х-1),

( т.е. в ряд Тейлора в окрестности точки х=1).

Решение. Находим производные данной функции.

Подставляя эти значения в формулу, получим искомый ряд Тейлора:

С помощью признака Даламбера можно убедиться, что ряд сходится при

½х-1½<1. Действительно,

Ряд сходится, если ½х-1½<1, т.е. при 0<x<2. При х=2 получаем знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница. При х=0 функция не определена. Таким образом, областью сходимости ряда Тейлора является полуоткрытый промежуток (0;2].

 

Приведем полученные подобным образом разложения в ряд Маклорена (т.е. в окрестности точки х=0) для некоторых элементарных функций:

(1) ,

(2) ,

(3) ,

(4) ,

(5) .

(последнее разложение называют биномиальным рядом)

 

Пример 4. Разложить в степенной ряд функцию

Решение. В разложении (1) заменяем х на –х2, получаем:

.

 

Пример 5. Разложить в ряд Маклорена функцию

Решение. Имеем

Пользуясь формулой (4), можем записать:

;

подставляя вместо х в формулу –х, получим:

Отсюда находим:

Раскрывая скобки, переставляя члены ряда и делая приведение подобных слагаемых, получим

Этот ряд сходится в интервале

(-1;1), так как он получен из двух рядов, каждый из которых сходится в этом интервале.

 

Замечание.

Формулами (1)-(5) можно пользоваться и для разложения соответствующих функций в ряд Тейлора, т.е. для разложения функций по целым положительным степеням (х-а). Для этого над заданной функцией необходимо произвести такие тождественные преобразования, чтобы получить одну из функций (1)-(5), в которой вместо х стоит k(х-а)m, где k – постоянное число, m – целое положительное число. Часто при этом удобно сделать замену переменной t=х-а и раскладывать полученную функцию относительно t в ряд Маклорена.

Этот метод иллюстрирует теорему о единственности разложения функции в степенной ряд. Сущность этой теоремы состоит в том, что в окрестности одной и той же точки не может быть получено два различных степенных ряда, которые бы сходились к одной и той же функции, каким бы способом ее разложение ни производилось.

 

Пример 6. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки х=3.

Решение. Эту задачу можно решить, как и раньше, с помощью определения ряда Тейлора, для чего нужно найти производные функции и их значения при х=3. Однако проще будет воспользоваться имеющимся разложением (5):

Полученный ряд сходится при или –3<x-3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

 

Пример 7. Написать ряд Тейлора по степеням (х-1) функции .

Решение.

Ряд сходится при , или -2 < x £ 5.

 

Пример 8. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x=2.

Решение. Сделаем замену t=х-2:

.

Воспользовавшись разложением (3), в котором на место х подставим , получим:

Полученный ряд сходится к заданной функции при , т.е. при .

Таким образом,

 

Решить: Разложить заданную функцию в ряд:

A 1) по степеням х 2) по степеням х

3) по степеням х 4) по степеням х

5) по степеням (х+1)6) по степеням (х-2)

7) по степ. х 8) в ряд Маклорена

9) в ряд Маклорена 10) в ряд Маклорена

 



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-23; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 34.228.52.223 (0.01 с.)