Разложение функций в степенные ряды

Если функция f(x) имеет на некотором интервале, содержащем точку а, производные всех порядков, то к ней может быть применена формула Тейлора:

,

где r_n – так называемый остаточный член или остаток ряда, его можно оценить с помощью формулы Лагранжа:

, где число x заключено между х и а.

Если для некоторого значения х r_n ®0 при n ®¥, то в пределе формула Тейлора превращается для этого значения в сходящийся ряд Тейлора:

Таким образом, функция f(x) может быть разложена в ряд Тейлора в рассматриваемой точке х, если:

1) она имеет производные всех порядков;

2) построенный ряд сходится в этой точке.

 

При а =0 получаем ряд, называемый рядом Маклорена:

 

Пример 1. Разложить в степенной ряд функцию f(x)= 2 ^x.

Решение. Найдем значения функции и ее производных при х =0

f(x) = 2 ^x, f( 0 ) = 2 ⁰ =1;

f¢(x) = 2 ^x ln2, f¢( 0 ) = 2 ⁰ ln2= ln2;

f¢¢(x) = 2 ^x ln²2, f¢¢( 0 ) = 2 ⁰ ln²2= ln²2;

…

f⁽ⁿ⁾(x) = 2 ^x ln ⁿ 2, f⁽ⁿ⁾( 0 ) = 2 ⁰ ln ⁿ 2= ln ⁿ 2.

Подставляя полученные значения производных в формулу ряда Тейлора, получим:

Радиус сходимости этого ряда равен бесконечности, поэтому данное разложение справедливо для -¥< x <+¥.

 

Пример 2. Написать ряд Тейлора по степеням (х +4) для функции f(x)= e ^x.

Решение. Находим производные функции e ^x и их значения в точке х =-4.

f(x) = е ^x, f( -4 ) = е ^-4;

f¢(x) = е ^x, f¢( -4 ) = е ^-4;

f¢¢(x) = е ^x, f¢¢( -4 ) = е ^-4;

…

f⁽ⁿ⁾(x) = е ^x, f⁽ⁿ⁾( -4 ) = е ^-4.

Следовательно, искомый ряд Тейлора функции имеет вид:

Данное разложение также справедливо для -¥< x <+¥.

 

Пример 3. Разложить функцию f(x) =ln x в ряд по степеням (х- 1),

(т.е. в ряд Тейлора в окрестности точки х =1).

Решение. Находим производные данной функции.

…

Подставляя эти значения в формулу, получим искомый ряд Тейлора:

С помощью признака Даламбера можно убедиться, что ряд сходится при

½ х- 1½<1. Действительно,

Ряд сходится, если ½ х- 1½<1, т.е. при 0< x <2. При х =2 получаем знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница. При х =0 функция не определена. Таким образом, областью сходимости ряда Тейлора является полуоткрытый промежуток (0;2].

 

Приведем полученные подобным образом разложения в ряд Маклорена (т.е. в окрестности точки х =0) для некоторых элементарных функций:

(1) ,

(2) ,

(3) ,

(4) ,

(5) .

( последнее разложение называют биномиальным рядом)

 

Пример 4. Разложить в степенной ряд функцию

Решение. В разложении (1) заменяем х на – х ², получаем:

.

 

Пример 5. Разложить в ряд Маклорена функцию

Решение. Имеем

Пользуясь формулой (4), можем записать:

;

подставляя вместо х в формулу –х, получим:

Отсюда находим:

Раскрывая скобки, переставляя члены ряда и делая приведение подобных слагаемых, получим

Этот ряд сходится в интервале

(-1;1), так как он получен из двух рядов, каждый из которых сходится в этом интервале.

 

Замечание.

Формулами (1)-(5) можно пользоваться и для разложения соответствующих функций в ряд Тейлора, т.е. для разложения функций по целым положительным степеням (х-а). Для этого над заданной функцией необходимо произвести такие тождественные преобразования, чтобы получить одну из функций (1)-(5), в которой вместо х стоит k(х-а)^m, где k – постоянное число, m – целое положительное число. Часто при этом удобно сделать замену переменной t = х-а и раскладывать полученную функцию относительно t в ряд Маклорена.

Этот метод иллюстрирует теорему о единственности разложения функции в степенной ряд. Сущность этой теоремы состоит в том, что в окрестности одной и той же точки не может быть получено два различных степенных ряда, которые бы сходились к одной и той же функции, каким бы способом ее разложение ни производилось.

 

Пример 6. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки х =3.

Решение. Эту задачу можно решить, как и раньше, с помощью определения ряда Тейлора, для чего нужно найти производные функции и их значения при х =3. Однако проще будет воспользоваться имеющимся разложением (5):

Полученный ряд сходится при или –3< x- 3<3, 0< x < 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

 

Пример 7. Написать ряд Тейлора по степеням (х -1) функции .

Решение.

Ряд сходится при , или -2 < x £ 5.

 

Пример 8. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x= 2.

Решение. Сделаем замену t = х -2:

.

Воспользовавшись разложением (3), в котором на место х подставим , получим:

Полученный ряд сходится к заданной функции при , т.е. при .

Таким образом,

 

Решить: Разложить заданную функцию в ряд:

A 1) по степеням х 2) по степеням х

3) по степеням х 4) по степеням х

5) по степеням (х+ 1)6) по степеням (х- 2)

7) по степ. х 8) в ряд Маклорена

9) в ряд Маклорена 10) в ряд Маклорена