Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Собственные векторы и собственные значения.↑ ⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5 Содержание книги
Поиск на нашем сайте
Рассмотрим -мерные векторы и , координаты которых связаны зависимостью (21.1) где - любые скаляры. Тогда говорят, что вектору ставится в соответствие вектор по закону (21.1). Или: есть образ . Так как в формулах (21.1) координаты выражены через координаты линейно и однородно, то это линейное преобразование вектора в вектор с матрицей преобразования где . В матричной форме это преобразование принимает вид (21.2) где . Определение 21.1: Закон вида (21.1), задающий линейное преобразование любого вектора -мерного арифметического пространства в некоторый вектор этого же пространства называется линейным преобразованием. Пример 21.1. Пусть задана матрица линейного преобразования , где Возьмем произвольный вектор и найдем образ Если , то вектор . Следовательно, вектор изменит и длину и направление. Если , то вектор , а это значит, что изменит только длину. Рассмотрим преобразование с заданной матрицей . Будем искать такой вектор , который в результате линейного преобразования меняет длину, но не меняет направление исходного вектора, т.е. или, в матричной форме, . (21.3) Тогда, подставив (21.3) в (21.2), имеем матричное уравнение (21.4) Определение 20.2: ненулевой вектор называется собственным вектором матрицы , если выполнено равенство (21.4) , где - некоторое число. При этом называется собственным значением матицы . Для нахождения собственного вектора решим уравнение (21.4).
, т.к. , где - единичная матрица, играющая роль единицы в матричном исчислении. Тогда . (21.5) Получили однородную систему линейных уравнений относительно неизвестных координат собственного вектора с квадратной матрицей . Матрица имеет вид матрицы , у которой из элементов главной диагонали вычли число Необходимым и достаточным условием существования ненулевого решения такой системы является равенство нулю определителя матрицы этой системы, то есть . (21.6) Если вычислить определитель этой матрицы, то он будет зависеть от и представлять собой многочлен степени . Его называют характеристическим многочленом, а равенство (21.6) – характеристическим уравнением. Решая уравнение (21.6), находят собственные значения . Для матрицы второго порядка характеристическое уравнение имеет вид , то есть вид квадратного уравнения относительно неизвестного собственного значения . Пример 21.1. Зададимся матрицей преобразования и найдем собственный вектор , удовлетворяющий условию . Для этого решим однородную систему (21.5): (21.7) Эта система имеет ненулевое решение, если ее определитель равен нулю, т.е. . Вычислим характеристический многочлен и для нахождения собственных значений приравняем его к нулю.
Найдем собственный вектор при . Подставим собственное значение в (21.7). Система примет вид: . Пусть . Тогда собственный вектор имеет вид . При система (21.7) имеет матричный вид , а, следовательно, можно записать, что Решение получается в базисной форме и, полагая , найдем собственный вектор Рекомендуемая литература 1. Клиот - Дашинский М.И. Алгебра матриц и векторов. СПб.: Издательство «Лань», 1998. 2. Клиот-Дашинский М.И. Линейная алгебра. Методические указания к выполнению самостоятельной работы для студентов I курса. Л.: ЛИСИ, 1988. 3. Боревич З.И. Определители и матрицы. М.: «Наука», 1988. 4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Ростов-на-Дону: «Феникс», 1997. Содержание 1. Определители второго порядка…………………………………………………….…..……3 2. Определители третьего порядка………………………………………………………………3 3.Элементарные сведения о перестановках……………………………………………………...5 4.Определители n-го порядка…………………………………………………...……………6 5. Основные свойства определителей……………………………………………………………7 6. Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя………………………...8 7. Разложение определителей по элементам его рядов……………………………….……9 8. Общие сведения о матрицах. Основные определения…………………..……………..12 9. Разновидности матриц……………………………………………………………………..13 10. Арифметические операции над матрицами……………………………..…..…………15 11. Свойства перемножения матриц…………………………………………...…………...16 12. Обратная матрица и ее вычисление с помощью союзной матрицы……….……….18 13.Cистемы линейных уравнений………………………………………………………….....…20 14.Матричная запись системы уравнений………………………………………...……..……...21 15. Системы с неособенной квадратной матрицей. Формулы Крамера………………….........22 16. Системы уравнений в базисной форме…………………..…………………….………24 17.Метод Гаусса………………………………………………………………………………….26 18.Нахождение решения в базисной форме……………………………………….…..…..32 19. Вычисление обратной матрицы по схеме Гаусса………………………….…………….….33 20.Понятие об -мерном арифметическом пространстве и -мерном векторе…………………………………………………………………………………………...…35 21. Линейное преобразование векторов. Собственные векторы и собственные значения…………………………………………………………………………………………….37 Лидия Евсеевна Морозова Ольга Валентиновна Соловьева
ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Редактор Корректор
Подписано к печати 00.00.2005. Формат 60x84 1/16. Бум. Офсетная. Усл. печ. л.. Уч.-изд. л.. Тираж 500 экз. Заказ.»С». Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет. 198005, Санкт-Петербург, 2-ая Красноармейская, 4. Отпечатано на ризографе. 198005, Санкт-Петербург, 2-ая Красноармейская, 5.
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-09-19; просмотров: 397; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.145.112.23 (0.007 с.) |