Вычисление определителей 2-го и 3-го порядков. Миноры, алгебраические дополнения.

 

Вычисление определителей второго порядка.
Определитель второго порядка (матрицы размера 2 на 2) вычисляется по правилу:

Запомнить просто: произведение элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной.
.

Вычисление определителей третьего порядка.

Определитель третьего порядка вычисляется по правилу:

40) Перемножение матриц. Нахождение обратной матрицы.

Операция умножения двух матриц выполнима только в том случае, если число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором; в этом случае говорят, что форма матриц согласована. В частности, умножение всегда выполнимо, если оба сомножителя — квадратные матрицы одного и того же порядка.

 

Элемент произведения матриц приведённых выше вычисляется следующим образом

 

 

Нахождение обратной матрицы:

 

1)Пусть А – квадратная невырожденная матрица (определитель не равен нулю).
Матрица А^-1 называется обратной к матрице А, если А*A^-1=E (единичная матрица)

 

1)Сначала вычисляем определитель.

2) , где А_{i j} (i,j=1,2,3) - алгебраические дополнения элементов а_{i j} Например,

 

3)Транспонируем полученную матрицу

4)Вычисляем обратную матрицу по формуле ,Ст – транспонента.

 

5)Делаем проверку: A*A^-1 = E

 

41) Решение систем линейных уравнений матричным методом и методом Крамера:

 

Метод Крамера:

 

Система линейных уравнений:

Определители:

 

Решение:

 

Матричный метод (обратная матрица):

 

1)Сначала вычисляем определитель.

2) , где А_{i j} (i,j=1,2,3) - алгебраические дополнения элементов а_{i j} Например,

 

3)Транспонируем полученную матрицу

4)Вычисляем обратную матрицу по формуле ,Ст – транспонента.

 

5)Делаем проверку: X=A^-1*B

 

42) Геометрическим вектором называется направленный отрезок, который можно перемещать параллельно ему самому. Направленный отрезок с началом в точке A и концом в точке B обозначается AB.

Когда заданы направление и длина, но не фиксируется точка приложения, говорят, что задан свободный вектор. Термин подчеркивает, что точка приложения геометрического вектора может меняться произвольно

Геометрические векторы, точка приложения которых не может изменяться, называют еще связанными векторами.

Линейные операции над геометрическими векторами

Сложение векторов:

Пусть даны два вектора и . Приложим вектор к точке (концу вектора ) и получим вектор / Вектор называется суммой векторов и и обозначается . Это нахождение суммы называется правилом треугольника.

 

Сумму двух неколлинеарных векторов и можно найти по правилу параллелограмма. Для этого откладываем от любой точки векторы и , а затем строим параллелограмм (рис. 1.7,6). Диагональ параллелограмма определяет сумму:

 

 

Умножение вектора на число:

 

Произведением вектора на число называется вектор, который:

1. коллинеарен вектору ;
2. сонаправлен ему, если , или противоположнонаправлен, если ;
3. длины связаны следующим соотношением: .

Компланарность векторов:

Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами.

Условия компланарности векторов

• Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.
• Три вектора компланарны если они линейно зависимы.

Коллинеарность векторов:

Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными.

Условия коллинеарности векторов

• Два вектора коллинеарные, если отношения их координат равны.
• Два вектора коллинеарные, если их векторное произведение равно нулю.

Орт вектора

Ортом вектора называется вектор единичной длины, имеющий то же направление, что и вектор .
Орт вектора можно получить, разделив вектор на его длину:

.

Модуль вектора (длина вектора) |a| в прямоугольных декартовых координатах равен квадратному корню из суммы квадратов его координат.

Так в случае плоской задачи модуль вектора можно найти по следующей формуле

.

 

 

Свойства линейных операций над векторами

 

Сложение векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами. Для любых векторов , , и любых действительных чисел справедливы равенства: