Алгебраические операции над матрицами

Виды матриц

1) Матрица называется положительной (неотрицательной), если все ее элементы

положительны (неотрицательны).

2) Матрицу, состоящую из одного столбца называют вектор-столбцом

3)Матрицу, состоящую из одной строки, будем называют вектор-строкой

4) Квадратная матрица называется верхней треугольной, если a _iJ =0, i>j

5) Квадратная матрица называется нижней треугольной, если a _iJ =0 i<j

6) Квадр. матрица наз-ся - симметричной если ai j =a ji

7) Квадр. Матрица наз-ся - антисимметричной матрицей, если ai j = -a ji

8) диагональной, если a _iJ = 0, i ≠j

9) Диагональная матрица называется скалярной, если а₁₁= а₂₂ = … а_2nn цифры по главной диагонали равны и!=1

10) Скалярная матрица называется единичной, если!=1

11) нулевой,все 0

12) Матрица называется верхней трапецевидной, если a _iJ =0, i>j

13) нижней трапецевидной, если a _iJ =0, i<j

Алгебраические операции над матрицами

1) Суммой матриц A = (a _iJ) и B (b _iJ) одной и той же размерности размерности m x n, наз-ся матрица С (с _iJ), той же размерности, элементы которой равны с _iJ = a _iJ + b _iJ обозн. С= А+B

2) Произведением матрицы А на число k называется матрица D той же размерности элементы которой равны d _iJ = k* a _iJ обозн D = k A

3) Произведением A = (a _ik), размерности m x p и B (b _kJ)) размерности p x n наз-ся такая матрица С (с _iJ) размерности m x n с _iJ = ∑a _ik * b _kJ = a _i1 b_1J + a _i2 b_2J + … + a _ip b_pJ, обознач. С=АВ Число столбцов первой матрицы должно совпадать с числом строк второй, Правило "строка на столбец

4) Транспонированние матриц. Матрица A^T = (a^T_iJ) m xn называется транспонированной по отношению к матрице A = (a _iJ) m xn, если a^T_iJ = a _Ji. При транспонир. строки <═> столбцы

Свойства алгебраических операций над матрицами

1) A+B=B+A (коммутативность),

2) (A+B)+C=A+(B+C) (ассоциативность).

матрицs A, B одинаковых размеров и любые числа S, t

1) (s t) A= s (t A); 2) s (A+B)= s A+ s B;

3) (s +t) A= s A+ t A.

Свойства операции умножения матриц:

1) (A B) C= A (B C) (ассоциативность),

2) A (B+C)=A B+ A C, (A+B) C= A C+ B C\(дистрибутивность),

3) t(A B)= (t A) B=A (t B).

Определители второго, третьего порядков и матрицы n-го порядка. Свойства определителей.

Определитель – это число. Обозн. Det A, |A|, D(A)

1) det (a ₁₁) = a ₁₁

2) Определители второго

3) Определители третьего с помощью метода треугольника.

Матрицы n-го????

Свойства определителей

1) Если в определителе есть нулевая строка (столбец), то он равен 0.

2) При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак

3) Определитель с двумя одинаковыми строками равен 0.

4)

5)

6)

7) Если одна из строк определителя есть линейная комбинация других строк, то определитель равен нулю.

8) Если к строке определителя прибавить линейную комбинацию других его строк, то определитель не изменится

9) Сумма произведений элементов какой-либо строки на соответствующие алгебраические дополнения другой строки равна нулю.

10) |A^T | = |A| 11) |AB|=|A| |B|

11) |AB| = |A| |B|

 

Алгебраическое дополнение и его свойства. Разложение определителя по строке

Алгебраическое дополнение A_{i j} = (-1) ^{i + j} M _{i j}

| a₁₁ a₁₂ ……a_1n |

Минор: M_IJ = | a₂₁ a₂₂ ……a_2n |

| …. … a_iJ …...|

| a_n1 a_{n2 …..} a_nn|

| a₁₁ a₁₂ ……a₁₃ | A₁₁= +(a₂₂ a₃₃- a₂₃ a₃₂)

|a₂₁ a₂₂ ……a₂₃ | A₁₂ = - (a₂₁ a₃₃ - a₂₃ a₃₁)

|a₃₁ a_{32 …..} a₃₃| A₁₃ = + (a₂₁ a₃₂ - a₂₂ a₃₁)

n

Определитель |A| = ∑a_1J A_1J= a₁₁ A₁₁ + a₁₂ A₁₂ ….. a_1n A_1n

J=1

Разложение определителя по k-ой строке

Теорема о базисном миноре.

Базисные строки (базисные столбцы) матрицы линейно независимы. Любая строка (любой столбец) матрицы является линейной комбинацией базисных строк (базисных столбцов).

Основным методом вычисления ранга матрицы является метод элементарных преобразований (метод Гаусса)

Операции, не меняющие ранга матрицы

1) Вычеркивание нулевой строки.

2) Вычеркивание одинаковых строк.

3) Перестановка строк.

4) Умножение строки на ненулевое число.

5) Прибавление к строке линейной комбинации других строк.

6) rang A ^Т = rang A.

7) rang (A × B)£min(rang A, rang B).

6)Система n линейных уравнений с n переменными (общий вид). Матричная форма записи системы. Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы

НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

(2) A × X = B

(b₁) столбец (x₁ ) столбец

B = (b₂) правых X = (x₂ ) неизвестных

(..) частей (…)

(b _m) (x _n)

 

(a₁₁ a₁₂ ……a_1n ) основная (a₁₁ a₁₂ ……a_1n ) расширенная

A = (a₂₁x₁ a₂₂ …a_2n) матрица A* = (a₂₁x₁ a₂₂ …a_2n) матрица

…………. системы ………….. системы

(a _m1 a _m2 … a_mn) (a _m1 a _m2 … a_mn)

Теорема 4 (теорема Кронекера и Капелли).

Неоднородная система уравнений (2) совместна тогда и только тогда, когда rangA = rangA *.

Поле комплексных чисел

Числовым полем называется такое числовое множество К, в котором корректны операции сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на ноль).

Образуют поле множества рациональных чисел Q, действительных чисел R.

Не образуют поле множества натуральных, целых, положительных, отрицательных.

Операция T называется корректной относительно некоторого числового

T

множества К, если " a, b? K → c? K

 

Элементарное определение

Связанные определения

В современном аксиоматическом подходе уже на основе понятия скалярного произведения векторов вводятся следующие производные понятия:

• Длина вектора, под которой понимается уже упомянутая выше его евклидова норма: (термин 'длина' обычно применяется к конечномерным векторам, однако в случае вычисления длины криволинейного пути часто используется и в случае бесконечномерных пространств).
• Углом между двумя ненулевыми векторами евклидова пространства (в частности, евклидовой плоскости) называется число, косинус которого равен отношению скалярного произведения этих векторов к произведению их длин (норм):
  
  В случае, если пространство является псевдоевклидовым, понятие угла определяется лишь для векторов, не содержащих изотропных прямых внутри образованного векторами сектора. Сам угол при этом вводится как число, гиперболический косинус которого равен отношению модуля скалярного произведения этих векторов к произведению их длин (норм):
  

• Ортогональными (перпендикулярными) называются векторы, скалярное произведение которых равно нулю. Это определение применимо к любым пространствам с положительно определённым скалярным произведением. Например, ортогональные многочлены на самом деле ортогональны (в смысле этого определения) друг другу в некотором гильбертовом пространстве.

• Пространство (вещественное или комплексное) с положительно определённым скалярным произведением называется предгильбертовым пространством.
• При этом конечномерное вещественное пространство с положительно определённым скалярным произведением называется также евклидовым, а комплексное — эрмитовым или унитарным пространством.
• Случай, когда скалярное произведение не является знакоопределённым, приводит к т. н. пространствам с индефинитной метрикой. Скалярное произведение в таких пространствах уже не порождает нормы (и она обычно вводится дополнительно). Конечномерное вещественное пространство с индефинитной метрикой называется псевдоевклидовым (важнейшим частным случаем такого пространства является пространство Минковского). Среди бесконечномерных пространств с индефинитной метрикой важную роль играют пространства Понтрягина и пространства Крейна.

Билет 37. Определение евклидова пространства и его примеры

Определение. Вещественное линейное пространство L называется евклидовым, если в нём определена операция скалярного умножения: любым двум элементам x, yÎL сопоставлено вещественное число a = (x, y), удовлетворяющее следующим требованиям,

1. (x, y)= (y, x); 2. (x + y, z) = ((x, z) + (y, z)); 3. (ax, y)= (x,ay)= a(x, y); 4. (x, x)> 0 для всех x ¹ q; 5. (x, x)= 0, если x = q.

Любое подпространство L¢ Í L - также является евклидовым пространством, так как для его элементов определено то же самое скалярное умножение.

Определение. Вещественное линейное пространство L называется евклидовым, если в нём задана положительно определённая квадратичная форма.

Примеры евклидовых пространств.

1. Геометрические векторы на плоскости L2 и в пространстве L3 с заданным скалярным произведением образуют соответствующие евклидовы пространства.

2. В арифметическом пространстве Rn мы можем ввести для элементов число

a = (x,h)= x1h1 + x2h2 +... + xnhn = xTh. Используя свойства умножения матриц

3. В пространстве функций, непрерывных на отрезке [a,b], можно ввести скалярное произведение по формуле

Матрица системы векторов

Для векторов ..., в базисе () - матрица

m векторов пространства линейно независимы тогда и только тогда, когда rank A = m.

Матрица S перехода от базиса к базису - матрица системы векторов в базисе

Если , то:

или кратко:

Если то т. е. - матрица перехода от базиса к базису .

Преобразование координат вектора

Если то В развернутой записи:

Очевидно, что

Пример.

Найдите фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .

Решим ее методом Крамера:

Таким образом, .

Теперь построим X⁽²⁾. Для этого придадим свободным неизвестным переменным значения x₂ = 0, x₄ = 1, тогда основные неизвестные найдем из системы линейных уравнений

.

Опять воспользуемся методом Крамера:

Получаем .

Так мы получили два вектора фундаментальной системы решений и , теперь мы можем записать общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений:

, где C₁ и C₂ – произвольные числа.

 

Виды матриц

1) Матрица называется положительной (неотрицательной), если все ее элементы

положительны (неотрицательны).

2) Матрицу, состоящую из одного столбца называют вектор-столбцом

3)Матрицу, состоящую из одной строки, будем называют вектор-строкой

4) Квадратная матрица называется верхней треугольной, если a _iJ =0, i>j

5) Квадратная матрица называется нижней треугольной, если a _iJ =0 i<j

6) Квадр. матрица наз-ся - симметричной если ai j =a ji

7) Квадр. Матрица наз-ся - антисимметричной матрицей, если ai j = -a ji

8) диагональной, если a _iJ = 0, i ≠j

9) Диагональная матрица называется скалярной, если а₁₁= а₂₂ = … а_2nn цифры по главной диагонали равны и!=1

10) Скалярная матрица называется единичной, если!=1

11) нулевой,все 0

12) Матрица называется верхней трапецевидной, если a _iJ =0, i>j

13) нижней трапецевидной, если a _iJ =0, i<j

Алгебраические операции над матрицами

1) Суммой матриц A = (a _iJ) и B (b _iJ) одной и той же размерности размерности m x n, наз-ся матрица С (с _iJ), той же размерности, элементы которой равны с _iJ = a _iJ + b _iJ обозн. С= А+B

2) Произведением матрицы А на число k называется матрица D той же размерности элементы которой равны d _iJ = k* a _iJ обозн D = k A

3) Произведением A = (a _ik), размерности m x p и B (b _kJ)) размерности p x n наз-ся такая матрица С (с _iJ) размерности m x n с _iJ = ∑a _ik * b _kJ = a _i1 b_1J + a _i2 b_2J + … + a _ip b_pJ, обознач. С=АВ Число столбцов первой матрицы должно совпадать с числом строк второй, Правило "строка на столбец

4) Транспонированние матриц. Матрица A^T = (a^T_iJ) m xn называется транспонированной по отношению к матрице A = (a _iJ) m xn, если a^T_iJ = a _Ji. При транспонир. строки <═> столбцы