Фдз 1. Матрицы. Операции над матрицами.

Фдз 1. Матрицы. Операции над матрицами.

Операции с матрицами: равенство матриц; умножение матрицы на число; сложение матриц; перемножение матриц.

Транспонирование матрицы.

Квадратные, треугольные, диагональные, симметричные матрицы. Единичная матрица.

Возведение квадратной матрицы в натуральную степень.

 

1. Для матриц найти:

.

2. Для матриц найти:

.

3. . Выполнить те из операций, которые указаны ниже

(в случае невыполнимости операции указать причину невыполнимости):

.

4.

Какие из приведенных выше матриц являются:

1) симметрическими; 2) диагональными; 3) треугольными; 4) единичными.

________________________________________________________________________

 

Домашнее задание.

1. Для заданных матриц

найти .

 

Фдз 2. Определители.

Определитель -го порядка. Правила Саррюса вычисления определителей 2-го и 3-го порядков.

Основные свойства определителей.

 

1. Установить четность (нечетность) перестановок: .

2. Дать определение определителя го порядка.

3. Записать правила Саррюса вычисления определителей 1-го, 2-го, 3-го порядков.

4. Вычислить по правилам Саррюса определители:

.

5. Сформулировать основные свойства определителей.

6. Почему можно не вычисляя указанных ниже определителей сразу сказать, что каждый из них равен нулю?

.

7. Вычислить определители: .

8. Вычислить следующие определителя, сведя их к определителям треугольных матриц:

.

___________________________________________________________________________

Домашнее задание.

1. Определить четность перестановки .

2. Даны квадратные матрицы

, , , .

1) Вычислить определители матриц по правилам Саррюса.

2) Вычислить определитель матрицы с помощью свойств определителей (сведя его к определителю матрицы треугольного вида).

 

Фдз 3. Определители (продолжение). Обратная матрица

Миноры и алгебраические дополнения.

Разложение определителя по строке (столбцу).

Обратная матрица, ее нахождение.

 

1. Сформулировать теорему о разложении определителя по строке (столбцу).

2. Найти миноры и алгебраические дополнения для матрицы . Вычислить затем тремя способами:

по правилу Саррюса; разложением по 2-й строке; разложением по 1-му столбцу.

3. Найти миноры и алгебраические дополнения для матрицы . Вычислить затем тремя способами:

по правилу Саррюса; разложением по 3-й строке; разложением по 2-му столбцу.

4. Вычислить определитель двумя способами:

разложением по 2-й строке; разложением по 3-му столбцу.

5. Дать определение обратной матрицы.

6. Найти обратные матрицы для матриц (если это невозможно, указать причину):

.

Выполнить проверку найденных обратных матриц.

 

_________________________________________________________________________

 

Домашнее задание.

1. Дана матрица .

Найти миноры и алгебраические дополнения

Вычислить определитель матрицы двумя способами:

а) разложением по 3-й строке; б) разложением по 4-му столбцу.

 

2. Найти обратные матрицы для матриц , .

 

 

Фдз 4. Использование матриц и определителей при решении линейных алгебраических систем.

Совместные, несовместные линейные системы. Матричная запись линейной системы.

Невырожденные линейные системы.

Решение невырожденных систем по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы.

 

1. Даны три системы уравнений:

.

Какие из этих систем являются линейными системами?

2. Какие линейные системы называются совместными (несовместными)? Привести примеры совместной и несовместной линейных систем.

3. Сформулировать правило Крамера.

4. Даны три линейные системы:

Выявить из данных систем те, которые можно решить с помощью правила Крамера и решить их с помощью этого правила.

5. Записать системы из задания 4. в матричном виде.

6. В каком случае матричные уравнения с заданными матрицами и неизвестной матрицей могут быть решены матричным методом (с помощью обратной матрицы)? Как проводится решение в этом случае?

7. Выделить из систем задания 4. системы, которые можно решить матричным методом и решить их этим методом.

 

____________________________________________________________________________

 

Домашнее задание.

1. Решить систему двумя способами

а) с помощью правила Крамера; б) с помощью обратной матрицы.

 

2. Решить следующие матричные уравнения:

; .

 

 

Фдз 8. Прямая на плоскости.

Различные виды задания прямой на плоскости. Основные задачи по нахождению прямой на плоскости.

Взаимное расположение двух прямых. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.

 

1. Записать общее, каноническое и параметрические уравнения прямой на плоскости.

2. Дано уравнение прямой . Как называется такое уравнение прямой? Какой смысл имеет точка в этом уравнение? Какой геометрический смысл имеет вектор , координатами которого являются коэффициенты при ?

3. Дано уравнение прямой . Как называется такое уравнение прямой? Какой смысл имеет точка в этом уравнение? Какую «геометрическую» информацию можно извлечь из этого уравнения?

4. Уравнение прямой задано в виде . Как называется такое задание прямой? Какой смысл имеет точка в этом уравнение? Какую «геометрическую» информацию можно извлечь из приведенной системы уравнений?

5. Что определяет на плоскости (точку, прямую) каждое из приведенных ниже равенств:

а) б) в) , г) .

6. Найти общее уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору , где .

7. Найти каноническое, параметрические и общее уравнения прямой, проходящей через точки .

8. Найти каноническое, параметрические и общее уравнения прямой, проходящей через точку параллельно прямой .

9. Найти каноническое, параметрические и общее уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

10. Выяснить взаимное расположение двух прямых , .

11. Выяснить взаимное расположение двух прямых .

12. Найти точку пересечения двух прямых

13. Пусть точки - вершины треугольника . Найти канонические уравнения следующих трех прямых: идущих по стороне , по высоте, по медиане треугольника из вершины .

___________________________________________________________________________

 

Домашнее задание.

1. Найти каноническое, параметрические и общее уравнения прямой, проходящей через точки .

2. Найти каноническое, параметрические и общее уравнения прямой, проходящей через точку параллельно прямой .

3. Найти каноническое, параметрические и общее уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

4. Найти точку пересечения двух прямых

 

Фдз 13. Комплексные числа.

Комплексные числа в алгебраической форме. Сравнение и изображение комплексных чисел на комплексной плоскости. Комплексное сопряжение. Сложение, умножение, деление комплексных чисел.

Модуль, аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа.

Возведение в целую степень и извлечение корня из комплексного числа.

 

1. Записать комплексное число в алгебраической форме. Дать определения действительной и мнимой части, модуля и аргумента комплексного числа.

2. Найти действительную и мнимую части комплексных чисел

, , .

Изобразить эти числа на комплексной плоскости.

3. Даны числа , , . Найти комплексно сопряженные с ними числа .

4. Найти , если .

5. Вычислить , если .

6. Найти модуль и главное значение аргумента чисел:

.

7. Найти тригонометрическую и экспоненциальную формы записи комплексных чисел из задания 6.

8. Найти и , если .

9. Найти в показательной форме все значения .

10. Найти в показательной форме все значения .

 

_______________________________________________________________________

 

 

Домашнее задание.

1. Найти действительную и мнимую части, модуль и аргумент следующих комплексных чисел: . Изобразить эти числа на комплексной плоскости. Представить эти числа в показательной и тригонометрической формах.

2. Найти для комплексного числа .

3. Найти все значения .

 

Фдз 14. Многочлены.

Корни многочлена, их кратность. Деление многочлена на многочлен (алгоритм Евклида). Целая и дробная части отношения двух многочленов.

Теорема Безу. Основная теорема алгебры многочленов.

Многочлены с действительными коэффициентами, их разложение на множестве действительных и комплексных чисел.

 

1. Найти степень многочленов, приведенных ниже:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) -7.

2. Найти корни многочлена и указать их кратность.

3. Найти корни многочлена и указать их кратность.

4. Найти целую часть, остаток и дробную часть от деления многочлена на многочлен .

5. Найти целую часть, остаток и дробную часть от деления многочлена на многочлен .

6. Показать, что многочлен делится нацело на многочлен .

7. Сформулировать теорему Безу. Выяснить с ее помощью, будет ли делится нацело многочлен многочленом ?

8. Написать в общем виде разложения многочлена на множестве комплексных и на множестве действительных чисел.

9. Найти разложения многочлена на множестве комплексных и на множестве действительных чисел

10. Найти разложения многочлена на множестве комплексных и на множестве действительных чисел, если известно, что - корень кратности 2 этого многочлена.

 

______________________________________________________________________

 

Домашнее задание.

1. Найти все корни многочлена и указать их кратность.

2. Найти целую и дробную части отношения , где , .

3. Найти разложения многочлена на множестве комплексных и на множестве действительных чисел.

 

 

Фдз 1. Матрицы. Операции над матрицами.

Операции с матрицами: равенство матриц; умножение матрицы на число; сложение матриц; перемножение матриц.

Транспонирование матрицы.

Квадратные, треугольные, диагональные, симметричные матрицы. Единичная матрица.

Возведение квадратной матрицы в натуральную степень.

 

1. Для матриц найти:

.

2. Для матриц найти:

.

3. . Выполнить те из операций, которые указаны ниже

(в случае невыполнимости операции указать причину невыполнимости):

.

4.

Какие из приведенных выше матриц являются:

1) симметрическими; 2) диагональными; 3) треугольными; 4) единичными.

________________________________________________________________________

 

Домашнее задание.

1. Для заданных матриц

найти .

 

Фдз 2. Определители.

Определитель -го порядка. Правила Саррюса вычисления определителей 2-го и 3-го порядков.

Основные свойства определителей.

 

1. Установить четность (нечетность) перестановок: .

2. Дать определение определителя го порядка.

3. Записать правила Саррюса вычисления определителей 1-го, 2-го, 3-го порядков.

4. Вычислить по правилам Саррюса определители:

.

5. Сформулировать основные свойства определителей.

6. Почему можно не вычисляя указанных ниже определителей сразу сказать, что каждый из них равен нулю?

.

7. Вычислить определители: .

8. Вычислить следующие определителя, сведя их к определителям треугольных матриц:

.

___________________________________________________________________________

Домашнее задание.

1. Определить четность перестановки .

2. Даны квадратные матрицы

, , , .

1) Вычислить определители матриц по правилам Саррюса.

2) Вычислить определитель матрицы с помощью свойств определителей (сведя его к определителю матрицы треугольного вида).