Фдз 5. Метод Гаусса решения линейных алгебраических систем.

Приведение системы к треугольному виду.

Выделение свободных и базисных неизвестных.

Получение общего решения системы или вывода о несовместности системы.

 

1. Какие линейные системы называются эквивалентными?

2. Что называется общим решением линейной системы?

3. Какие из приведенных ниже линейных систем являются системами треугольного вида:

?

4. Сформулировать элементарные преобразования линейных систем, переводящих заданную систему в эквивалентную ей систему.

5. Решить следующие системы треугольного вида, выделив в них свободные и базисные неизвестные:

.

6. В чем состоит основная идея метода Гаусса решения линейных алгебраических систем?

7. Решить методом Гаусса (или доказать несовместность) следующие системы:

________________________________________________________________________

 

 

Домашнее задание.

Решить методом Гаусса следующие системы (или доказать несовместность):

1) ; 2) .

 

 

Фдз 6. Векторы в , . Скалярное произведение векторов.

Вектор как направленный отрезок. Проекции вектора, длина вектора, направляющие косинусы.

Сложение векторов. Умножение вектора на число. Условие коллинеарности двух векторов.

Скалярное произведение векторов, его свойства, координатное выражение. Условие ортогональности двух векторов.

 

1. Найти , направляющие косинусы, орт вектора в случаях:

а) ; б) ; в) .

Нарисовать полученные векторы в соответствующих пространствах и отметить на этих рисунках направляющие углы..

2. Найти , если .

3. Сформулировать и записать условие коллинеарности двух векторов.

4. Выделить из приведенной системы векторов пары коллинеарных векторов:

.

5. Выяснить, лежат ли три точки на одной прямой?

6. Дать определение скалярного произведения векторов и указать его свойства.

7. Записать координатное выражение скалярного произведения.

8. Пусть - угол между векторами . Найти скалярное произведение в случаях:

а) ; б) ;

в) ; г) .

9. Найти угол между векторами и проекцию вектора на вектор в случаях:

а) ; б) .

10. Сформулировать и записать условие ортогональности двух векторов.

11. Даны векторы . При каком значении параметра векторы перпендикулярны друг другу?

12. Даны векторы . При каких значениях параметра вектор перпендикулярен вектору ?

 

 

Домашнее задание.

1. Найти координаты, длину и направляющие косинусы вектора , если .

 

2. При каких значениях параметров точки лежат на одной прямой?

3. - угол между . Найти .

4. . При каком значении векторы ортогональны?

 

5. - вершины треугольника . Найти величину длины сторон этого треугольника и его углы при вершинах.

 

 

Фдз 7. Векторное и смешанное произведение векторов.

Компланарные, некомпланарные тройки векторов. Ориентация тройки векторов.

Векторное произведение: определение; свойства; координатное выражение.

Смешанное произведение: определение; свойства; координатное выражение. Условие компланарности тройки векторов.

 

1. Какие тройки векторов называются компланарными?

2. Дать определение правой (левой) тройки векторов.

3. Определить с помощью соответствующих рисунков ориентацию следующих троек векторов: 1) ; 2) ; 3) , где - орты осей .

4. Дать определение векторного произведения векторов и сформулировать его свойства и геометрический смысл.

5. Записать формулу, по которой находится координатное выражение .

6. Вычислить в следующих случаях:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах .

8. Найти площадь треугольника на плоскости с вершинами в точках .

9. Найти координаты орта , перпендикулярного одновременно векторам и такого, чтобы тройка была правой.

10. Дать определение смешанного произведения векторов и указать его геометрический смысл.

11. Вычислить в случаях:

1) ; 2) .

С помощью найденных результатов определите ориентацию этих троек векторов.

12. Найти объем пирамиды с вершинами .

13. Выяснить, лежат ли точки

на одной плоскости.

________________________________________________________________________

 

Домашнее задание.

1. Найти координаты вектора , удовлетворяющего одновременно следующим условиям а), б), в):

а) ; б) ; в) - левая тройка,

если .

2. Вычислить площадь треугольника с вершинами .

3. Найти объем пирамиды с вершинами .

4. При каком значении параметра точки лежат в одной плоскости?

 

 

Фдз 8. Прямая на плоскости.

Различные виды задания прямой на плоскости. Основные задачи по нахождению прямой на плоскости.

Взаимное расположение двух прямых. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.

 

1. Записать общее, каноническое и параметрические уравнения прямой на плоскости.

2. Дано уравнение прямой . Как называется такое уравнение прямой? Какой смысл имеет точка в этом уравнение? Какой геометрический смысл имеет вектор , координатами которого являются коэффициенты при ?

3. Дано уравнение прямой . Как называется такое уравнение прямой? Какой смысл имеет точка в этом уравнение? Какую «геометрическую» информацию можно извлечь из этого уравнения?

4. Уравнение прямой задано в виде . Как называется такое задание прямой? Какой смысл имеет точка в этом уравнение? Какую «геометрическую» информацию можно извлечь из приведенной системы уравнений?

5. Что определяет на плоскости (точку, прямую) каждое из приведенных ниже равенств:

а) б) в) , г) .

6. Найти общее уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору , где .

7. Найти каноническое, параметрические и общее уравнения прямой, проходящей через точки .

8. Найти каноническое, параметрические и общее уравнения прямой, проходящей через точку параллельно прямой .

9. Найти каноническое, параметрические и общее уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

10. Выяснить взаимное расположение двух прямых , .

11. Выяснить взаимное расположение двух прямых .

12. Найти точку пересечения двух прямых

13. Пусть точки - вершины треугольника . Найти канонические уравнения следующих трех прямых: идущих по стороне , по высоте, по медиане треугольника из вершины .

___________________________________________________________________________

 

Домашнее задание.

1. Найти каноническое, параметрические и общее уравнения прямой, проходящей через точки .

2. Найти каноническое, параметрические и общее уравнения прямой, проходящей через точку параллельно прямой .

3. Найти каноническое, параметрические и общее уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

4. Найти точку пересечения двух прямых