Определение квадратичной формы

Определение. Квадратичной формой от n неизвестных называется алгебраическая сумма, каждый член которой является либо квадратом одного из неизвестных, либо произведением двух различных неизвестных.

В общем виде квадратичная сумма может быть записана следующим образом:

Коэффициенты a_ij в этой записи образуют треугольную матрицу. Однако эта форма записи неудобна.

Запишем в следующем виде:

 

 

где . Такую запись квадратичной формы назовем правильной. Матрица называется матрицей квадратичной формы. Очевидно, что С – симметрическая матрица.

Квадратичная форма может быть записана более компактно, если использовать матричные обозначения. Вынося из первой строки записи, – из второй, …, – из последней, получим

Таким образом, квадратичная форма в матричной записи имеет вид

,

где , С – симметрическая квадратная матрица порядка n, коэффициент которой равен коэффициенту при , а коэффициент , половине коэффициента при произведении x_ix_j.

Квадратичную форму можно представить и в виде скалярного произведения векторов. Для этого введем

.

Тогда .

Пример. Представить квадратичную форму

в виде скалярного произведения векторов.

Решение. Очевидно, что

.

Тогда

.

7.2. Линейное преобразование переменных в квадратичной форме

Пусть в квадратичной форме делается линейное преобразование переменных :

.

В результате данного преобразования будет получена квадратичная форма, зависящая от новых переменных :

.

Покажем, что квадратичная форма автоматически получается правильно записанной. Для этого достаточно убедиться в том, что матрица симметрична. Действительно,

.

Откуда следует симметричность матрицы .

Пример. Осуществить над квадратичной формой линейное преобразование, заданное матрицей

.

Решение. Переменные матрицей В преобразуются в переменные . Связь между переменными выражается матричным уравнением

,

откуда .

В квадратичную форму вместо переменных подставим их выражения через переменные . Получим квадратичную форму

Определение. Квадратичная форма имеет канонический вид, если матрица С диагональна.

Из данного определения следует, что квадратичная форма в каноническом виде содержит только квадраты переменных и имеет вид

.

Нормальным видом квадратичной формы называется сумма квадратов переменных с коэффициентами . Если , то положив

получим .

Теорема. Всякая квадратичная форма может быть приведена некоторым невырожденным линейным преобразованием к каноническому виду.

Доказательство. Обратимся к методу математической индукции по числу переменных. При n =1 квадратичная форма имеет канонический вид: . Допустим, что для квадратичной формы от числа переменных, меньше чем n, теорема доказана.

Пусть

и пусть хотя бы один из коэффициентов , например . сгруппируем все слагаемые, содержащие , и вынесем коэффициент c ₁₁ за скобку. Получим

Выделим теперь в первой скобке квадрат линейной формы:

где – квадратичная форма от n -1 неизвестных . Осуществим следующее преобразование:

или

Данное преобразование задается матрицей

.

Так как , то преобразование является невырожденным. Форма зависит от n -1 переменных. В силу индуктивного предположения существует невырожденное линейное преобразование D такое, что

после которого квадратная форма преобразуется в квадратичную форму . Добавляя к преобразованию еще одну строчку, получим

Так как , то преобразование Y=DZ невырожденное. В результате получим

.

Если в квадратичной форме , то в этом случае осуществим линейное преобразование:

.

После данного преобразования член преобразуется следующим образом:

.

Коэффициент при отличен от нуля: . Теорема доказана.

Пример. Преобразовать квадратичную форму

к каноническому виду.

Решение. Матрица С квадратичной формы имеет вид

.

Сгруппируем все члены, содержащие переменные x ₁ и «выделим полный квадрат»:

Осуществим линейное преобразование переменных:

Выразим неизвестные через :

,

полученные выражения подставим в квадратичную форму. Придем к форме

.

Осуществляя вспомогательное преобразование , получим:

.

Выделим полный квадрат в квадратичной форме:

Осуществим линейное преобразование переменных:

и выразим переменные через :

.

После указанных преобразований получим квадратичную форму, зависящую от переменных :

.

Полагая и выражая переменные через получим

.

Канонический вид квадратичной формы содержит три переменных, а не четыре. Это связано с рангом квадратичной формы.

Определение. Рангом квадратичной формы называется ранг матрицы С. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду означает, что для данной симметрической матрицы С существует такая невырожденная матрица В, что , где D – диагональная матрица.

Из доказательства теоремы следует, что приведение квадратичной формы к каноническому виду может осуществляться бесконечным множеством способов – например, можно сделать произвольную линейную подстановку, а затем приступить к «выделению квадратов». Поэтому матрицы В и D определяются неоднозначно. Однако число ненулевых элементов матрицы D однозначно определено и равно рангу матрицы С.

 

7.3. Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду

Теорема (о приведении действительной квадратичной формы к главным осям). Всякая действительная квадратичная форма некоторым ортогональным преобразованием неизвестных может быть приведена к каноническому виду.

Доказательство. Применим метод индукции по числу n переменных. При n =1 утверждение очевидно. Допустим, что утверждение теоремы справедливо для квадратичной формы от n -1 переменных. Рассмотрим квадратичную форму от n переменных: . Пусть – нормированный собственный вектор матрицы С, соответствующий собственному значению . Примем за первый столбец ортогональной матрицы

.

Матрица преобразованной квадратичной формы есть . Так как первый столбец матрицы Т есть собственный вектор , то . Тогда

так как столбцы матрицы Т ортогональны и нормированы.

Матрица симметрична, поэтому имеет вид

,

где – симметричная матрица.

Рассмотрим квадратичную форму с матрицей В. В силу индуктивного предположения найдется ортогональная матрица Q такая, что

.

Положим .

Матрица Q ₁ ортогональна, так как ее первый столбец нормирован и ортогонален остальным столбцам, а остальные столбцы попарно ортогональны и нормированы в силу ортогональности матрицы Q. Тогда

.

Теорема доказана.

Ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду, определяется не однозначно. Однако из доказанной теоремы следует, что каково бы ни было ортогональное преобразование, приводящее к каноническому виду квадратичную форму , коэффициенты этого канонического вида равны собственным числам матрицы С, причем каждое собственное число повторяется столько раз, какова его кратность как корня характеристического уравнения.

Пример. Квадратичную форму

привести к каноническому виду.

Решение. Определяем собственные значения матрицы квадратичной формы

.

Характеристическое уравнение имеет вид

,

откуда .

Таким образом, канонический вид квадратичной формы следующий:

.

Найдем ортогональное преобразование, осуществляющее приведение к каноническому виду.

Решая уравнение , найдем собственные векторы

Преобразуя данную систему векторов в ортонормируемую систему, получим

.

Данная система векторов определяет ортогональную матрицу преобразования переменных . Действительно, Х=ТY, откуда .

Поэтому