Изоморфизм векторных пространств

 

Определение. Векторные пространства R и R’ называются изоморфными, если между их векторами-элементами можно установить взаимно однозначное соответствие такое, что если и , где , , то и .

Из определения изоморфизма следует, что если ,... – векторы из R, a ,... – вектора из R', то равенство равносильно равенству . Следовательно, линейно независимым векторам из R соответствуют линейно независимые векторы из R' и обратно.

Пространства различной размерности не могут быть между собой изоморфны. В самом деле, пусть R и R' изоморфны. Тогда максимальное число линейно независимых векторов в R и R' одно и то же, т.е. размерности пространств R и R' равны.

Все пространства, имеющие одну и ту же размерность n, изоморфны между собой.

 

5.5. Преобразование координат при изменении базиса

 

Пусть и – два базиса пространства R_n. Каждый вектор можно выразить через векторы :

, ……………………………

(5.5.1)

Выражения (5.5.1) показывают, что новые базисные векторы получаются из старых базисных векторов с помощью матрицы:

,

причем коэффициенты их разложений по старым базисным векторам образуют столбцы этой матрица.

Матрица А называется матрицей перехода от базиса к базису .

Определитель матрицы А отличен от нуля, так как в противном случае ее столбцы, а следовательно, и векторы были бы линейно зависимы.

Рассмотрим, как связаны между собой координаты одного и того же вектора в старом и новом базисах. Пусть

(5.5.2)

и в то же время

(5.5.3)

Подставим в (5.5.3) вместо их выражения из (5.5.1):

(5.5.4)

Из (5.5.2) и (5.5.4) в силу единственности разложения вектора по базису получаем

,

или в матричном виде

X=AX',

(5.5.5)

где , .

Уравнение (5.5.5.) показывает связь между координатами х_j и x'_j вектора в базиcах и , .

Из (5.5.5.) получаем:

X'=А^-1Х

Таким образом, при переходе от базиса к базису координаты вектора преобразуются с помощью матрицы А^-1, являющейся обратной к транспонированной матрице, задающей преобразование базисов.

Пример. В базисе , , пространства R₃ заданы векторы , , , . Показать, что векторы образует базис. Найти координаты вектора в базисе . Выразить связь между базисами и .

Решение. Векторы образуют базис пространства R₃, если они линейно независимы. Векторы линейно независимы если векторное равенство выполняется тогда и только тогда, когда , , . Найдем решение векторного равенства

методом Жордана-Гаусса.

откуда .

Система векторов линейно независима и, следовательно, образует базис в R₃.

Выразим каждый вектор через векторы :

Матрица А перехода от базиса к базису имеет вид:

.

Вычислив

,

определим координаты вектора в новом базисе

.

Таким образом, в базисе вектор определяется координатами .

Связь между базисом и базисом определяется из следующих соотношений:

,

,

,

или в матричном виде:

E=XA,

где

.

Решение данного матричного уравнения имеет вид X=A^-1, откуда получаем

,

,

,

Данные соотношения выражают связь между базисами.

 

Евклидово пространство

n -мерное векторное пространство Е_n называется евклидовым, если каждой паре векторов и из Е поставлено в соответствие вещественное число (, ), называемое скалярным произведением, при чем это соответствие удовлетворяет следующим аксиомам:

I. Линейности по первому аргументу

;

II. Симметрии

;

III. Положительной определенности

, при

и тогда и только тогда, когда .

Из линейности по первому аргументу и симметрии следует и линейность по второму аргументу

Примеры.

1. Векторами пространства E_n является любая упорядоченная система n действительных чисел . Сложение векторов и умножение их на число определены в п.5.1, а скалярное произведение векторов и определим формулой .

Легко убедиться в том, что аксиомы I-III действительно выполняются.

2. Рассмотрим более общий случай. Вектор по-прежнему определим как упорядоченную совокупность n действительных чисел. Сложение векторов и умножение их на число определим так же, как в примере 1.

Зададимся некоторой квадратной матрицей А=(a_ij)_n,n, Скалярное произведение векторов и определим формулой

(5.6.1)

Рассмотрим, каким условиям должна удовлетворять матрица А, чтобы определенное данной формулой скалярное произведение удовлетворяло бы аксиомам I-Ш.

Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что аксиома I выполняется для любой матрицы А=(a_ij)_n,n. Для того, чтобы была выполнена аксиома II, т.е. чтобы выражение было симметричным относительно и , необходимо и достаточно, чтобы , т.е. чтобы матрица А=(a_ij)_n,n, была симметричной.

Аксиома III требует, чтобы выражение

(5.6.2)

было неотрицательно для любых и обращалось в нуль лишь если .

Однородный многочлен (квадратичная форма), определяемый формулой (5.6.2), называется положительно определенным, если он принимает неотрицательные значения и обращается в нуль, только тогда, когда все равны нулю. Следовательно, аксиома III требует, чтобы квадратичная форма (5.6.2) была положительно определенной. Таким образом, всякая матрица А=(a_ij)_n,n задает скалярное произведение в Е_n, определяемое формулой (5.6.1), если только эта матрица симметричная и соответствующая ей квадратичная форма положительно определенная.

Если а качестве матрицы А=(a_ij)_n,n взять единичную матрицу Е, т.е. положить a_ii =1, а a_ij =0 (), то скалярное произведение принимает вид

и мы получаем евклидово пространство, определенное в примере 1.

3. Векторами пространства Е_n будем называть непрерывные функции, заданные на интервале (а,b). Скалярное произведение таких функций определим как интеграл их произведения

.

Можно проверить, что при таком определении скалярного произведения аксиомы I-III выполнены.

С помощью введенного понятия скалярного произведения определим длину вектора и угол между векторами.

Определение. Нормой (длиной) вектора в Е_n называется корень квадратный из этого скалярного произведения:

.

Векторы и , скалярное произведение которых равно нулю, называются ортогональными.

В любом евклидовом пространстве Е_n верна «теорема Пифагора»: если и ортогональны, то

.

Определение. Угол между ненулевыми векторами и определяется равенством

.

Можно доказать, что в любом пространстве Е_n справедливо неравенство Коши-Буняковского:

,

откуда следует, что

или, что то же самое,

Это означает, что косинус угла между векторами из Е_n по модулю, не превосходит единицы. Если и – ненулевые векторы из Е_{n ,} то ортогональность означает, что угол между ними равен . Ненулевой вектор пространства Е_n, называется нормированным если его норма равна единице. Любой ненулевой вектор можно умножить на некоторое число так, что в результате получится нормированный вектор. Действительно, пусть – ненулевой вектор. Тогда и достаточно взять таким, чтобы

Число называется нормирующим множителем для вектора .

Определение. Система векторов пространства Е_n называется ортогональной, если векторы этой системы попарно ортогональны.

Система векторов называется ортонормированной, если векторы этой системы попарно ортогональны и имеют норму, равную единице, т.е. если

.

Теорема. Ортогональная система ненулевых векторов пространства Е_n линейно независима.

Доказательство. Пусть ненулевые векторы попарно ортогональны. Тогда .

Покажем, что векторное равенство

(5.6.3)

выполняется тогда и только тогда, когда . Умножим обе части равенства (5.6.3) скалярно на . Получим

из условия ортогональности векторов имеем

, , .

Следовательно, . Аналогично, умножая (5.6.3) на , получим что и т.д. Таким образом, мы доказали, что линейно независимы.

Рассмотрим процесс ортогонализации векторов. Он состоит в том, что из заданных линейно независимых векторов строятся m попарно ортогональных векторов . Положим . Вектор будем искать в виде . Число следует подобрать так, чтобы векторы и были ортогональны, т.е. , откуда .

Допустим теперь, что попарно ортогональные и отличные от нуля векторы уже построены. Вектор ищем в виде:

,

т.е. вектор мы получаем из вектора «исправлением» его с помощью линейной комбинации уже построенных векторов . Коэффициенты находим из условия ортогональности вектора к векторам :

(5.6.4)

Так как векторы попарно ортогональны, то из равенств (5.6.4) получаем

,

,

……………………………

,

откуда

.

Докажем теперь, что построенный вектор отличен от нуля. Вектор есть линейная комбинация векторов . Но вектор можно заменить линейной комбинацией вектора и векторов и т.д. Окончательно мы получаем, что вектор записывается в виде

(5.6.5)

откуда следует, что . Действительно, в противном случае левая часть равенства (5.6.5) была бы равна , что противоречит линейной независимости векторов (коэффициент при равен единице). Таким образом, доказано, что . По векторам и построен вектор . Таким же образом, по векторам , можно построить вектор . Продолжая этот процесс, можно по заданной системе n линейно независимых векторов в Е_n построить систему n ненулевых ортогональных векторов. Докажем следующую теорему.

Теорема. Во всяком евклидовом пространстве Е_n существуют ортонормированные базисы.

Доказательство. По определению n -мерного векторного пространства в нем существует некоторый базис . С помощью процесса ортогонализации из него можно построить ортогональный базис . Если теперь каждый вектор разделить на его норму, то получится ортонормированный базис, образованный векторами

.

Найдем выражение скалярного произведения в координатах. Пусть произвольный базис пространства Е_n и

,

.

Тогда

.

Если – нормированный базис, то , а, значит . И обратно, если в базисе скалярное произведение векторов и равно , то этот базис ортонормированный, так как в этом случае и . Если в некотором базисе скалярное произведение , то этот базис ортонормированный.

Пусть – ортонормированный базис в Е_n и . Умножив обе части последнего равенства скалярно на получим , т.е. i -я координата вектора в ортонормированном базисе равна скалярному произведению на единичный вектор . Это скалярное произведение называется ортогональной проекцией вектора на вектор . Таким образом, координаты вектора в ортонормированном базисе – это его проекции на базисные векторы.

Определим в пространстве Е_n расстояние между векторами. Расстояние между векторами и определяется как норма вектора :

.

Из определения расстояния следует, что

1) ;

2) ;

3) ;

4) для любых из .

Пример. По заданной в Е_n системе линейно независимых векторов построить ортонормированный базис.

Решение. Полагаем . Вектор будем находить в виде: , где коэффициент

.

Тогда .

Находим вектор .

.

Находим нормы векторов .

Нормируем векторы . Получим ортонормированный базис:

 

5.7. Ортогональные преобразования

 

Рассмотрим свойства матрицы перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису в пространстве Е_n. Введем понятие ортогональной матрицы.

Определение. Матрица Т с вещественными элементами называется ортогональной, если т.е. .

Из определения следует, что ортогональная матрица всегда невырожденная, так как и , то .

Основные свойства ортогональной матрицы.

1. Матрица, обратная ортогональной, также ортогональна.

Пусть Т – ортогональная матрица, т.е. . Тогда , т.е. . Значит, матрица – ортогональна.

2. Матрица ортогональна тогда и только тогда, когда ее элементы удовлетворяют равенствам

.

Линейное преобразование Y=ТХ с ортогональной матрицей Т называется ортогональным. Так как , то ортогональное преобразование всегда невырожденное.

Теорема. Ортогональное преобразование координат не изменяет скалярного произведения векторов.

Доказательство. Рассмотрим линейный оператор , соответствующий матрице Т, и два произвольных вектора и из Е_n. Их образы обозначим через и , т.е. , . Тогда .

Поэтому .

Следствие 1. Ортогональное преобразование не меняет норм векторов и углов между векторами.

Следствие 2. Ортогональное преобразование переводит ортонормированный базис в ортонормированный.

Следствие 3. Матрица Т перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису является ортогональной.

Следствие 4. Матрица Т, приводящая симметричную матрицу А к диагональному виду, является ортогональной.

 

Выпуклые множества

 

Рассмотрим совместную систему линейных уравнений

(5.8.1)

у которой ранг r матрицы меньше n, и пусть k=n-r.

Определение. Множество точек из Е_n, координаты которых удовлетворяют системе уравнений (5.8.1), называется k -мерной плоскостью. Одномерные плоскости называются прямыми, а (n-1)-мерные плоскости – гиперплоскостями.

Очевидно, что каждую гиперплоскость можно задать всего одним линейным уравнением:

.

В трехмерном пространстве Е₃ гиперплоскости – это обычные плоскости, а в Е₂ – это прямые.

Определение. Отрезком в Е_n, соединяющим точки , называется множество таких точек , что

Точки называются концами отрезка .

Определение. Множество Х пространства Е_n называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками ему принадлежит и соединяющих их отрезок .

Выпуклость множества Х означает, что из следует для всех . Например, в Е₂ выпуклый отрезок, полупрямая, круг, треугольник, полуплоскость и вся плоскость.

Определение. Множество Х точек пространства Е_n называется ограниченным, если координаты всех его точек в некотором базисе ограничены.

Пусть в пространстве задана гиперплоскость . Все точки из Е_n разбиваются этой гиперплоскостью на два полупространства: Х₁ – множество точек, для которых и – множество точек, для которых .

Теорема. Каждое полупространство пространства Е_n является выпуклым множеством.

Доказательство. Пусть точки и из Е_n принадлежат, например, полупространству Х₁. Тогда

Если – произвольная точка отрезка , то

Для этой точки имеем:

т.е. произвольная точка отрезка принадлежит Х₁. Теорема доказана.

Теорема. Пересечение любого числа выпуклых множеств есть множество выпуклое.

Доказательство. Пусть – выпуклые множества в Е_n. Если состоит из одной точки, то оно выпукло. Если более чем из одной, то пусть – любые две из них. Тогда и, так как все множества выпуклы, то и, следовательно, , что и требовалось доказать.

Из данной теоремы следует, что гиперплоскость как пересечение выпуклых множеств Х₁ и Х₂, является выпуклым множеством. Каждая k -мерная плоскость в Е_n также выпукла.

Пусть в Е_n даны m полупространств, определяемых неравенствами

.

(5.8.2)

Пересечение этих полупространств, называемое выпуклой многогранной областью, определяет множество решений системы линейных неравенств (5.8.2). Если это пересечение ограничено, оно называется выпуклым многогранником в Е_n.

Определение. Последовательность точек в Е_n сходится к точке при , если

.

Множество называется окрестностью точки .

Определение. Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

Определение. Точка из Е_n называется внутренней точкой множества Х, если существует такая ее -окрестность, все точки которой принадлежат множеству Х.

Определение. Точка из Е_n называется граничной точкой множества Х, если любая ее -окрестность содержит как точки, принадлежащие множеству Х, так и точки, ему не принадлежащие. Множество, состоящее из всех граничных точек множества Х, называется границей множества Х.

Определение. Точка называется крайней точкой (вершиной), если в Х не существует точек , что .

Для круга любая точка ограничивающей его окружности является крайней. Крайними точками являются все вершины выпуклого многогранника.

Определение. Точка называется выпуклой комбинацией точек , если существуют такие числа , что при условии .

Например, любая внутренняя точка круга является выпуклой комбинацией концов хорды, проходящей через эту точку.

Теорема (о представлении). Любая точка выпуклого замкнутого, ограниченного множества может быть представлена в виде выпуклой комбинации конечного числа крайних точек этого множества.

Пример. Используя теорему о представлении, выразить точку в виде выпуклой комбинации крайних точек множества , заданного системой неравенств

Решение. Очевидно, что множество Х выпукло. Множество Х (рис.5.1)

представляет собой треугольник с вершинами . На основании теоремы о представлении точку можно представить в виде следующей выпуклой комбинации:

.

В координатной форме получим два уравнения:

Добавляя к данной системе условие , получим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решая систему методом Жордана-Гаусса, получаем

,

откуда

Все эти коэффициенты удовлетворяют условию неотрицательности: . Поэтому искомое представление имеет вид