Использование операций над матрицами

Пример 1. Рассмотрим пример умножения матрицы на вектор. Анализируя продолжительность подписки на различные газеты, исследователи охарактеризовали вероятности перехода подписчика от одной газеты к другой в зависимости от продолжительности подписки с помощью соответствующей матрицы. Упрощенный вариант этой матрицы имеет вид:

.

В этой матрице для вероятностей перехода данные структурированы в соответствии с продолжительностью подписки: до одного года, от одного года до двух лет, более двух лет и, наконец, аннулированные подписки.

Предположим, что известно распределение 1000 подписчиков по этим категориям: 500 – принадлежат к 1-й категории, 200 – ко 2-й категории, 300 – к 3-й категории. Тогда вся группа, состоящая из 1000 подписчиков, может быть описана вектором-строкой:

Для того чтобы определить вероятностное количество подписчиков в каждой из категорий через год, умножим на матрицу вероятностей перехода P:

.

Вектор, полученный после умножения, показывает, что из первоначальной тысячи подписчиков через год 350, вероятно, будут принадлежать к категории 2, 430- к категории 3 и 220 к категории 4.

Пример 2. Некоторое производственное объединение должно выпустить три вида продукции А1, А2, А3 в количествах, выраженных в процентах к плану, соответственно: 20%, 30% и 50%.

В объединении участвуют четыре предприятия, причем по плану предприятие №1 должно выпустить 30% всей продукции А1, 40% всей продукции А2 и 10% всей продукции А3. План для остальных предприятий соответственно следующий:

 

Номер предприятия	А1	А2	А3
предприятие №2	40%	10%	30%
предприятие №3	30%	20%	30%
предприятие №4	0%	30%	30%

 

Требуется найти процент выполнения плана объединения каждым предприятием.

Решение:

Для решения задачи применим операции над матрицами. Обозначим через количество продукции выпускаемой по плану j -ым предприятием, тогда получим следующее матричное уравнение:

Выполнив операцию умножения матриц в правой части, будем иметь следующие значения :

.

Матричная алгебра находит большое применение при балансовых расчетах.

Пусть в народном хозяйстве имеется n отраслей. Проанализируем взаимоотношения между ними. Они выражаются в виде поставок друг другу соответствующей продукции (в денежном выражении) в течение некоторого периода, например, одного года.

Для i -ой отрасли часть продукции идет на потребление первой отраслью, – второй и т.д. Вообще – материальные затраты i -ой отрасли, потребляемые j-той отраслью ; – внутреннее потребление i -ой отрасли (очень часто ).

Пусть – стоимость товаров i -ой отрасли, идущих на непроизводственное потребление (личное и общественное), накопление и экспорт – «конечный спрос».

Стоимость всего производства (валовая продукция) i -ой отрасли равна сумме соответствующих затрат:

Межотраслевые взаимоотношения записываются в виде системы уравнений:

(8.1.1)

Коэффициент показывает количество продукции i -ой отрасли, используемой для производства единицы продукции j -той отрасли и считается постоянным в течении планируемого периода.

Подставляя в уравнение (8.1.1) получим:

	(8.1.2)
или в матричной форме

где – матрица прямых затрат.

 

Уравнение (8.1.2) межотраслевых связей можно записать в другом виде:

(8.1.3)

Определим, сколько продукции должна выпускать каждая отрасль, если известен «конечный спрос» отраслей. Решим матричное уравнение (8.1.3) относительно Х. Для этого умножим его на обратную матрицу слева:

,

.

Матрица называется матрицей полных затрат. Элемент показывает количество валовой продукции i -ой отрасли, затрачиваемое на единицу конечной продукции j -ой отрасли. Матрица S–A называется матрицей косвенных затрат.

Пример 3. Рассмотрим систему двух отраслей экономики: промышленности и сельского хозяйства. Пусть матрица прямых затрат имеет вид:

,

и задан «конечный спрос» каждой отрасли соответственно 330 тыс. руб. и 66 тыс. руб. Каков должен быть валовой выпуск каждой отрасли?

Решение:

Составим матрицу E–A:

Найдем обратную матрицу для с помощью присоединенной матрицы:

Определитель ,

Матрица полных затрат будет следующей:

Валовой выпуск каждой отрасли составляет:

Таким образом, выпуск промышленности составляет 900 тыс. руб., а сельского хозяйства – 420 тыс. руб.

Матрица косвенных затрат имеет вид:

 

 

8.2. Модель планирования производства

Имеется определенное количество изделий (деталей, полуфабрикатов, узлов), которые необходимы для производства других изделий, в том числе конечной продукции. Между отдельными изделиями должны соблюдаться технологические соотношения. Например:

Стрелки и числа на них показывают, сколько единиц i -го изделия необходимо для изготовления единицы j -го изделия. В общем виде эта информация может быть представлена в виде матрицы затрат:

Если, кроме того, требуется определенное количество деталей и узлов в качестве запасных частей, то для построения математической модели целесообразно также ввести

– общий выпуск,

– конечный выпуск.

Тогда

 

 

Если задан конечный выпуск, а требуется найти общий выпуск, то задача состоит в том, чтобы разрешить эту систему относительно Х:

8.3. Модель планирования материальных затрат

1. Расчет общих затрат материалов.

Для того чтобы заготовить нужное количество сырья и материалов, необходимо прежде всего рассчитать общие материальные затраты на предприятии.

Обозначим через – затраты материалов k -го вида на производство одного изделия j -го вида , а через – общие затраты материалов k -го вида.

Если объединить все в вектор , а все в матрицу , то имеет место равенство

,

где B – матрица материальных затрат,

– вектор суммарных материальных затрат.

Подставив Х из (8.1.1) получим формулу для вектора суммарных материальных затрат

(8.3.1)

2. Расчет суммарной стоимости затраченных материалов.

Если заданы цены всех материалов , то суммарная стоимость всех затраченных материалов вычисляется по формуле:

(8.3.2)

где .

3. Расчет стоимости затрат по каждому виду материалов.

Если требуется определить стоимость затрат по каждому виду материалов, то целесообразно использовать не вектор, а диагональную матрицу цен, т.е.

.

Вектор стоимости затрат по каждому виду материалов получается следующим образом:

(8.3.3)

Пример: Рассчитать материальные затраты для схемы, изображенной на рис.1., если заданы:

– конечный выпуск,

– матрица материальных затрат,

– вектор цен.

Решение:

– общий выпуск,

– общая потребность в материалах,

– общая стоимость материальных ресурсов,

– затраты по каждому виду материалов.