Глава 3. Алгебра матриц (продолжение)

Обратная матрица

Пусть задана квадратная матрица порядка n.

Определение. Квадратная матрица А ^-1 порядка n называется обратной к матрице А, если она удовлетворяет соотношению

(3.1.1)

Присоединенной матрицей квадратной матрицы А называется матрица А *, каждый элемент которой есть алгебраическое дополнение элемента транспонированной матрицы А, т.е.

.

Квадратная матрица А называется невырожденной (неособенной), если ее определитель | A | отличен от нуля, и вырожденной, если | A |=0.

Теорема. Для всякой невырожденной матрицы А существует единственная обратная матрица А ^-1, определяемая следующим выражением:

(3.1.2)

Доказательство. Докажем сначала единственность. Предположим, что существуют две различные обратные матрицы и . Тогда имеем

	(3.1.3)
	(3.1.4)

Из двух последних равенств следует, что = .

Покажем теперь, что выражение (3.1.2) действительно задает обратную матрицу. Составим произведение АА ^*. Очевидно, что элементами данного произведения являются суммы произведений элементов строк матрицы А на алгебраические дополнения, т.е. . Как известно из гл.2, при i=j =0. В итоге получаем

,

или ,

откуда .

В заключение отметим, что А ^* перестановочна с А, т.е. , что видно непосредственно. Теорема доказана.

Пример. Вычислить обратную матрицу для матрицы А, равной:

.

Решение. . Вычислим присоединенную матрицу А ^*:

А ₁₁=-3, А ₁₂=-1, А ₂₁=-1, А ₂₂=2,

; .

Проверкой убеждаемся, что АА ^-1= Е.

Обратная матрица обладает следующими свойствами:

1. Определитель обратной матрицы равен обратной величине определителя исходной матрицы, т.е. | A ^-1|= .

2. Произведение двух невырожденных матриц А и В является невырожденной матрицей и .

3. Если матрица А невырожденная, то .

4. Обратная матрица к транспонированной является транспонированной матрицей к обратной, т.е. .

 

Ранг матрицы

 

Рассмотрим прямоугольную матрицу . Выделим в матрице произвольно k строк и k столбцов .Определитель М_к, стоящий на пересечении выделенных строк и столбцов, называется минором k -го порядка матрицы А. Число миноров k -го порядка равно .

Определение. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля ее миноров.

Ранг матрицы обозначается r(A). Ранг матрицы равен нулю только у нулевой матрицы. Если матрица отлична от нулевой, то

.

Если ранг матрицы равен r, то среди миноров этой матрицы есть, по крайней мере, один минор порядка r, отличный от нуля, а все миноры порядков (r+1) и выше равны нулю. Следует отметить, что если все миноры некоторого порядка матрицы А равны нулю, то равны нулю все миноры более высоких порядков. Справедливость этого утверждения следует из теоремы о разложении определителя.

Одним из способов вычисления ранга матрицы является метод элементарных преобразований матрицы.

Перечислим элементарные преобразования:

1. Перестановка двух строк или столбцов.

2. Умножение всех элементов строки или столбца на любое число, отличное от нуля.

3. Прибавление ко всем элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.

Теорема. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.

Доказательство. Справедливость теоремы относительно преобразований 1 и 2 доказывается на основании соответствующих свойств определителей.

Докажем теорему относительно преобразования 3. Рассмотрим матрицу В, полученную из матрицы A прибавлением к i -му столбцу k -го столбца, умноженного на число :

.

Пусть ранг матрицы А равен r(А). Покажем, что . Для этого докажем, что любой минор порядка r +1 матрицы В равен нулю.

Рассмотрим минор матрицы В, который не содержит i -ый столбец. В этом случае в точности соответствует некоторому минору порядка r +1 матрицы А и, следовательно, равен нулю. Если минор содержит i-ый и k-ый столбцы, то по свойству определителей он равен сумме двух миноров порядка r +1, причем один из них равен нулю, так как совпадает с минором (r +1)-го порядка матрицы А, а второй минор равен нулю, так как i- ый и k -ый столбцы его пропорциональны.

Пусть минор содержит i -ый столбец, но не содержит k -ый столбец. В этом случае минор равен сумме двух миноров, один из которых совпадает с минором порядка (r +1) матрицы А и поэтому равен нулю, а второй минор равен нулю, так как отличается от соответствующего минора матрицы А множителем .

Таким образом,

(3.2.1)

Матрицу А можно получить из матрицы В с помощью элементарного преобразования 3, следовательно,

(3.2.2)

Из полученных равенств (3.2.1) и (3.2.2) следует, что .

Теорема доказана.

С помощью элементарных преобразований любую матрицу можно привести к виду, содержащему единичную подматрицу порядка r.

Пример. Вычислить ранг матрицы с помощью элементарных преобразований.

.

Решение. Осуществим над матрицей А элементарные преобразования:

.

Прибавим ко второй строке матрицы первую строку, умноженную на (–2), третью строку оставим без изменения, к четвертой строке прибавим первую строку, умноженную на (–1). Получим матрицу

.

Прибавим первый столбец, умноженный на (–2), на (–4), на (–5) и на (–2) соответственно ко второму, третьему, четвертому и пятому столбцам. Затем вторую строку прибавим к третьей и четвертой строкам. Умножим вторую строку на –1. Получим:

.

Прибавим второй столбец, умноженный на нужные множители, к третьему, четвертому и пятому столбцам:

.

r(A)= 2.

Определение. Минор , отличный от нуля, называется базисным минором матрицы. Число базисных миноров матрицы А = не больше чем . Строки и столбцы, на пересечении которых стоит некоторый базисный минор, называются базисным.