Суммирование и вычитание матриц

Суммой матриц А и В одинаковой размерности называется матрица С такой же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матрицы А и В. Например, если

 

А = и В = , то С = .

 

Пример 1.5 Сложить матрицы А = и В = .

Решение

Введем значения элементов матрицы А в диапазон А2:С3, а элементы матрицы В – в диапазоне D2:E3. Выделим диапазон, где будут размещаться элементы результирующей матрицы С, например G2:H3.

В выделенном диапазоне введем формулу =A2:B3+D2:E3.

Нажмем комбинацию клавиш <Ctrl>+<Shift>+<Enter>. После выполнения операций выполнения в диапазоне ячеек G2:H3 будут помещены результаты вычислительных значений элементов результирующей матрицы С (рис.1.5.).

 

 

Рис. 1.5

 

Подобным образом вычисляют разность матриц, а также их скалярное произведение (деление). В библиотеке Excel в категории математических функций есть функции для выполнения операций над матрицами, список которых приведен в таблице 1.1.

Все перечисленные функции, кроме функции ТРАНСП, размещены в Мастере функций в группе Математические функции. Функция ТРАНСП находится в группе функций Ссылки и массивы.

Параметрами функций, приведенных в таблице могут быть адресные ссылки и массивы, содержащие значения элементов матриц, или имена диапазонов, например МОБР(А1:В2), или МОПР(Матрица_А) (табл1.1.).

Таблица 1.1

Встроенные функции MS Excel для работы с матрицами

Русифицированное имя функции	Англоязычное имя функции	Выполняемое действие
МОБР (параметр) MINVERSE (parametr) обращение матрицы
МОПР (параметр) MDETERM (parametr) вычисление определителя матрицы
МУМНОЖ (параметр) ULT (parametrlist) умножение матриц
ТРАНСП(параметр) транспонирование матриц

 

Вычисление произведения матриц

Произведение матриц может быть вычислено, если количество столбцов умножаемой матрицы равно количеству строк матрицы множителя.

Если А = (а_ij) имеет размерность т x п, и В=(b_ij) с размерностью п р, то матрица С, полученная умножением матрицы А на матрицу В, будет иметь размер т р, а каждый ее элемент будет равен сумме произведений i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-ro столбца матрицы В:

Вычисление произведения матриц в табличном процессоре выполняется с помощью специальной функции рабочего листа, имя которой МУМНОЖ. Она имеет синтаксис:

МУМНОЖ(Массив1; Массив2),

где Массив1 - адрес диапазона, в котором записаны элементы первой матрицы;

Массив2 - адрес диапазона, в котором записаны элементы второй матрицы.

Пример 1.6 Умножить матрицу А= на матрицу В= . Решение в электронной таблице приведено на рис. 1.6.

 

Рис. 1.6

Решение систем линейных уравнений

Метод обратной матрицы

Система т линейных уравнений с п неизвестными х_1, х₂,..., х_n имеет вид

 

Матрица А называется матрицей системы.

 

Свободные и неизвестные члены представляются в виде матриц-столбцов

 

 

В матричной форме система линейных уравнений записывается в виде А X=В.

В частном случае, когда число уравнений в системе (m) равно числу неизвестных (n), т.е. т = n, то решение такой системы можно найти и методом обратной матрицы в виде Х=А^-1 В - матрица, обратная по отношению к исходной матрице А.

Технологию решения системы линейных уравнений методом обратной матрицы рассмотрим на примере.

Пример 1.7 Система уравнений задана матрицами А= В= . Требуется решить заданную систему линейных уравнений.

Решение

Присвоим диапазону А3:В4 имя (например, А) и введем в ячейки значения элементов матрицы А.

Присвоим диапазону D3:D4 имя (например, В) и введем значения элементов вектора В.

Выделим область F3:F4 для помещения результата решения системы и введем в него формулу

=МУМНОЖ(МОБР(А);В).

Нажмем комбинацию клавиш <Ctrl> + <Shift> + <Enter>, в ячейках диапазона F3:F4 будет получен результат (рис.1.7.).

 

Рис. 1.7

Чтобы выполнить проверку полученных результатов, достаточно перемножить исходную матрицу на вектор результата, итогом этой операции является массив, содержащий такие же значения, как и вектор В.

При решении некоторых задач в электронной таблице в формулах удобно использовать ссылки на имена ячеек или диапазонов. Имя - это идентификатор. Область действия имени - вся рабочая книга. Для присвоения имени диапазону молено применить два приема:

—выделить диапазон и в поле имени записать идентификатор;

—выполнить команду меню Вставка/Имя/Присвоить. В открывшемся окне в поле Имя ввести идентификатор имени, а в поле Формула записать адрес диапазона (лучше в виде абсолютного адреса. Для установки абсолютного адреса используйте клавишу <F4c>.

Метод наименьших квадратов

Технология решения систем линейных уравнений для случая, когда т= п, рассмотрена выше. Однако в общем случае т может быть не всегда равно п. Возможны три случая: т < п, т = п. и т > п. При т < п, если система является совместной, то она не определена и имеет бесконечное множество решений.

В случае если т>п система совместна, то матрица А имеет по крайней мере т- п линейно независимых строк. В этом случае решение может быть получено отбором п любых линейно независимых уравнений и применением формулы х =А^-1 В. Однако при решении задачи в электронной таблице удобнее применить более общий подход - метод наименьших квадратов. Для этого обе части уравнения нужно умножить на транспонированную матрицу системы А^Т: А^Т АХ = А^TВ.

Затем обе части уравнения нужно умножить на (А^ТА)^-1. Если эта матрица существует, то система определена. С учетом того, что (А^TА)^-1 А^ТА = Е, где Е - единичная матрица, решение системы будет иметь вид X = (А^ТА)^-1 А^ТВ.

Рассмотрим технологию решения систем линейных уравнений методом наименьших квадратов на примере.

Пример 1.8 Требуется решить систему уравнений:

Решение

Введем значения элементов матрицы А в диапазон ячеек рабочего листа (А2:В4).

Введем значения элементов вектора В в ячейки рабочего листа, например D2:D4.

Транспонируем исходную матрицу, для чего выделим диапазон ячеек размерность 3 2(А6:С7), введем в него формулу

=ТРАНСП(А2:В4).

Нажмем комбинацию клавиш <Ctrl> + <Shift> + <Enter> - в ячейках выделенного диапазона будут помещены элементы транспонированной матрицы.

Вычислим произведение А^TА, для чего выделим диапазон (А9:В10) и введем в него формулу

=МУМНОЖ(А6:С7;А2:В4).

Вычислим произведение А^ТВ, для чего выделим диапазон из двух ячеек (Е6:Е7) и введем в него формулу

=MУMHОЖ(A6:C7;D2:D4).

Выделим диапазон (D9:E10), введем в него формулу =МОБР(А9:В10) для вычисления обратной матрицы (А^тА)^-1. Матрица существует, следовательно, исходная система определена.

Для вычисления итогового результата - решения системы уравнений выделим диапазон (В12:В13) и введем в него формулу умножения матриц (А^ТА)^-1 А^ТВ

=МУМНОЖ(D9:Е10;А9:В10).

Нажмем комбинацию клавиш <Ctrl> + <Shift> + <Enter> - в ячейках диапазона В12:В13 будет получен результат решения системы (рис.1.8.).

 

 

Рис. 1.8

При достаточно хорошем навыке работы с Мастером функций приведенную задачу можно решить без промежуточных вычислений, как это рассмотрено выше, а введя сразу все выражение для вычисления в строку формул.

Рассмотрим эту технологию более подробно на том же примере. Формула, которая дает решение системы X = (А^ТА)^-1 (А^ТВ) содержит две группы (заключенные в скобки), которые должны быть перемножены с помощью функции МУМНОЖ(аргумент 1; аргумент 2). Аргумент 1 в нашем случае сам является вычисляемым выражением (А^ТА)^-1, аргумент 2 также вычисляется - (А^ТВ). При вводе формул, представляющих сложные выражения, целесообразно придерживаться технологии, которая предлагается далее.