Технология приближенного вычисления

Технология приближенного вычисления определенного интеграла в табличном процессоре основана на построении табличных значений подынтегрального выражения для каждого из значений аргумента функции, задаваемых на отрезке, определяемом пределами интегрирования с достаточно малым шагом. Используя его, можно получить лишь приближенное значение интеграла.

Технологию приближенного вычисления определенного интеграла в табличном процессоре с использованием формулы трапеций рассмотрим на примере.

Пример 1.29

Требуется вычислить определенный интеграл .

Величина интеграла, вычисленная аналитически, равна 9.

Решение

Табулируем подинтегральную функцию в диапазоне изменения значений аргумента 0-3 с шагом 0,2.

В ячейку С2 введем формулу =(А3-А2)*В2+(А3-А2)*(В3-В2)/2, которая реализует часть размещенной правее знака суммы приведенной выше формулы трапеций, т.е. вычисляет величину элементарной площадки (криволинейной трапеции).

Скопируем буксировкой формулу, записанную в ячейке С2, до значения аргументах х= 2,8. В ячейке С17 просуммируем с помощью автосуммирования полученные результаты. Вычисленное значение в ячейке С17 и будет величиной интеграла – 9 (рис. 1.37).

Рис. 1.37

Технология точного вычисления

Технология точного вычисления основана на использовании аппарата циклических ссылок и итераций табличного процессора. Применение этой технологии позволяет задавать достаточно малый шаг интегрирования, что увеличивает точность вычислений. Для точного вычисления выполним следующие операции:

-определим, на сколько интервалов нужно разбить диапазон интегрирования, чтобы получить требуемую точность, и задать их количество в виде числа итераций. Положим для решения нашей задачи достаточно 10000 интервалов;

- выполним команду меню Сервис/Параметры, откроем закладку Вычисления в диалоговом окне Параметры и в поле Предельное число итераций введем число 10 000. Если установлен флажок Итерации, то выключим его. Закроем диалоговое окно Параметры;

-в ячейки рабочего листа введем исходные данные и формулы для вычислений (рис. 1.38).

 

 

Рис. 1.38 Пример реализации технологии точного вычисления определенного интеграла

 

В ячейке В6 формула =(В4-В2)/В5 вычисляет шаг интегрирования. В ячейке С3 формула =0+С3+В6 - вычисляет текущее значение аргумента х. Значение 0 в формуле устанавливает нижний предел интегрирования. В формуле есть циклическая ссылка на эту же ячейку С3+В6, она реализует накопление величины х относительно нижнего предела интегрирования.

В ячейке D3 записана формула, реализующая метод трапеций и накопление суммы площадей элементарных трапеций.

После ввода исходных данных и формул вновь выполним команду меню Сервис/Параметры, откроем закладку Вычисления в диалоговом окне Параметры и установим флажок Итерации. Щелкнем на кнопке ОК. Потребуется некоторое время для того, чтобы табличный процессор выполнил заданное количество циклов итераций и вычислил результат.

После завершения вычислений вновь вызовем диалоговое окно Параметры и выключим флажок Предельное число итераций.

 

 

Задания для практической работы

Задача 1.1 Даны два массива, каждый элемент которых содержит числовые данные:

Требуется перемножить значения элементов двумерного массива на значения элементов одномерного массива.

Задание 1.2 Вычислите в электронной таблице суммы векторов:

Задание 1.3 Вычислить в электронной таблице произведение вектора на число:

 

 

Задание 1.4 Вычислите в табличном процессоре скалярные произведения векторов:

 

Задание 1.5

1. Вычислите произведение матриц в табличном процессоре:

А)

 

В)

 

 

2. Найдите матрицу, обратную заданной:

 

 

Задание 1.6 Решите систему линейных уравнений:

При решении в электронной таблице используйте имена диапазонов. Выполните проверку решения.

 

Задание 1.7. Решите системы уравнений:

 

Задание 1.8. В таблице приведены данные о дневной производительности пяти предприятий холдинга, выпускающих четыре вида продукции с использованием трех видов сырья, а также продолжительность работы каждого предприятия в году и цена каждого вида сырья.

Вид изделия (№)	Производительность предприятия (изд/день)	Затраты видов сырья (ед.веса/изд)
	Количество рабочих дней в году	Цена видов сырья

 

Требуется определить:

- годовую производительность каждого предприятия по каждому виду изделий;

- годовую потребность каждого предприятия в каждом виде сырья;

- годовую сумму финансирования каждого предприятия для закупки сырья, необходимого для выпуска продукции указанных видов.

Задание 1.9

1. В таблице приведены данные баланса трех отраслей промышленности за некоторый период.

№ п/п	Отрасль	Потребление	Конечный продукт (ден.ед)	Валовой выпуск (ден.ед)
	Добыча и переработка углеводородов
	Энергетика
	Машиностроение

Требуется найти объем валового выпуска каждого вида продукции, если конечное потребление по отраслям увеличить соответственно до 60, 70 и 30 условных денежных единиц.

2. Отрасль включает четыре предприятия. Вектор выпуска проекции и матрица коэффициентов прямых затрат имеют вид

.

Требуется найти вектор объемов конечного продукта, предназначенного для реализации вне отрасли.

Задание 1.10 Создайте в табличном процессоре числовые последовательности из элементов: {n*(n-2)},{n/(n+1)}.

Задание 1.11

1. Известно, что число е является пределом последовательности

.

Вычислите приближено значение числа е.

2. Найдите предел

.

 

3. Найдите предел последовательности .

Задание 1.12

1. Вычислите частичную сумму первых 7 членов ряда:

 

2.Найдите частичную сумму первых 10 членов ряда: .

Задание 1.13

1. Сумма вклада в банк 2000 ед. Банк начисляет проценты по сложной ставке 6% годовых. Вычислите накопленную сумму на вкладе через 7 лет. Решите задачу двумя способами: с использованием функции БС и вычисляя частичную сумму ряда с использованием приведенной выше формулы.

2. Клиент взял кредит в сумме 100 000 руб. под 15% годовых на срок 6 месяцев. Проценты по кредиту начисляются ежемесячно. Какую сумму должен будет вернуть клиент кредитору по окончании срока кредита?

Задание 1.14 В таблице, приведенной ниже, заданы аналитические модели функций. Постройте в табличном процессоре табличную и графическую модель функции для выбранного варианта

 

Вариант
Функция	sin(x)	cos(x)	lg(x)	e^x
Диапазон изменения аргумента	(-p:+p)	(-p:+p)	(0:80)	(0:3)

 

Задание 1.15

Найдите решения уравнений, приведенных в таблице

 

Вариант
Уравнение	2х-4=0	2sin(x)*cos(x)=0, x [-p;p]	lg(x+2)-x=0	lg(x^2+2)-x=0

 

Задание 1.16

1. Вычислите все корни уравнения X³+2,84X²-5,6064X-14,766336=0 на отрезке [3;-3] с относительной погрешностью 0,00001.

2. Решите уравнение .

 

Задание 1.17 Решите графически систему:

 

в диапазоне с точностью +/-0,2.

 

Задание 1.18

Вычислите двумя способами определенный интеграл

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Как могут быть представлены матрицы в табличном процессоре?

2. Что такое массив?

3. Какой формат имеет адресная ссылка?

4. В чем заключается метод обратной матрицы для решения систем линейных уравнений?

5. Что представляет собой сумма векторов?

6. Какова технология вычисления суммы векторов?

7. Какую последовательность операций необходимо выполнить для вычисления произведения вектора на число?

8. Опишите технологию скалярного произведения векторов.

9. Поясните технологию вычисления произведения матриц.

10. Опишите встроенные функции MS Excel для работы с матрицами.

11. Опишите технологию решения системы линейных уравнений методом обратной матрицы?

12. В каких случаях для решения систем линейных уравнений применяется метод наименьших квадратов, какова технология его применения?

13. Экономические задачи какого типа решаются с применением технологии решения систем линейных уравнений?

14. В чем заключается суть применения технологии при решении макроэкономических задач?

15. Какие действия нужно выполнить для создания массива элементов последовательности в табличном процессоре?

16. В чем заключается суть метода для вычисления предела числовой последовательности?

17. Какова технология приближенного вычисления предела числовой последовательности?

18. Поясните формулу сложных процентов.

19. Какова технология построения графической модели функции, заданной табличной моделью?

20. Какой ряд называется функциональным?

21. Поясните метод конечных разностей для вычисления производной функции в точке.

22. Что такое функция?

23. Опишите технологию построения графической модели функции.

24. Что такое график функции?

25. Какими способами можно приближенно вычислить корни функции одного переменного?

26. Какими способами можно получить аналитическую функции, заданной таблично?

27. Опишите технологию вычисления предела функций?

28. Как можно приближенно решить систему нелинейных уравнений?

29. Опишите процесс вычисления корней функции одной переменной?

30. Какие способы можно применить для уточнения решения системы нелинейных уравнений?

31. Опишите технологию вычисления локальных экстремумов функции.

32. Как можно вычислить определенный интеграл численным методом?

33. В чем заключается решение задач интерполяции и экстраполяции.

34. Укажите виды подбираемых эмпирических функций в зависимости от характерны экспериментальных данных.

35. Опишите технологию получения аппроксимирующей формулы в табличном процессоре.

36. Опишите технологию построения и исследования паутинной модели рынка.

37. В чем заключается вычисление предельных экономических показателей.

38. Опишите процесс вычисления эластичности экономических показателей.

39. В чем заключается технология точного вычисления определенного интеграла?

 

Практическая работа №2