Умножение матриц. Согласованные матрицы.

Умножение матриц. Согласованные матрицы.

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Произведением матрицы А_m*n = (a_i,g) на матрицу В_n*p = (b_i,k) называется матрица Сm*p = (с_i,k) такая, что:

,

где i= , , т.е. элемент i-той и k-ого столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы А на соответствующие элементы к-ого столбца матрицы В.

Матрицы А, n*m и В, m*n, назыв. согласованными. (если А согласованно с В, то это не значит, что В согласованно с А).

Смысл согласованности в том, чтобы количество столбцов 1-ой матрицы совпадало с количеством строк 2-ой матрицы. Для согласованных матриц можно определить операцию умножения.

Если матрицы A и B квадратные и одного размера, то A*B и B*A всегда существуют. Транспонированием называется смена всех элементов столбца соотв элементами строки. Если A^T=A, то матрица А наз. симметричная (она обязательно квадратная).

1. Определитель квадратной матрицы. Свойства определителей.

Определителем матрицы А называется число:

- матрица второго порядка.

Матрица 3-его порядка:

 

Свойства определителей:

1. если А и В – квадратные матрицы n*n, то:

Замечание: АВ ВА

2.

3. пусть А = (а_i,j) и при этом ее какой-либо ряд (либо столбец, либо строка) i-я строка обладает свойством, что:

4. определитель равен нулю, если в нем есть нулевой ряд.

5. определитель = 0, если у него есть два одинаковых (пропорциональных) параллельных ряда.

6. определитель диагональной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

7. определитель треугольной матрицы равен произведению чисел, стоящих на главной диагонали.

8. если в определителях поменять местами, то определитель поменяет знак.

9. если к какому-то ряду определителя прибавить элементы другого параллельного ряда, умноженные на какое-то число (одинаковое), то определитель при этом не изменяется.

10. если какой-то ряд определителя содержит в себе обдщий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

Теорема о разложении определителя. Теорема Лапласа.

Пусть есть определитель n-ого порядка. Зафиксируем число к: 1 .

В исходном определителе вычеркнем к строк и к столбцов.

В результате такой операции все элементы определителя можно отнести к 3-ем разным типам:

1. незачеркнутые

2. 1 раз зачеркнутые

3. дважды зачеркнутые

Теперь из дважды зачеркнутых составим определитель. Такой определитель называется минором.

Теорема 1: (о разложении определителя): Это теорема лапласа:

Определитель равен сумме произведения всевозможных миноров одного и того же порядка к (к<n), ктр. можно составить из произвольно выбранных к параллельных рядов на их алгебраическое дополнение.

Наиболее часто на практике применяется случай, когда к=1, тогда Т1 переходит в Т2:

Т2 (о разложении определителя по элементам ряда):
определитель равен сумме произведения элементов некоторого ряда на их алгебраическое дополнение.

Обратная матрица. Процедура ее нахождения.

Пусть есть матрица А – невырожденная.

А^-1, A^-1*A=A*A^-1=E, где E –единичная матрица. A^-1 имеет те же размеры, что и A.

Алгоритм нахождения обратной матрицы:

1. вместо каждого элемента матрицы а_ij записываем его алгебраическое дополнение.

а_ij А_ij

А* - союзная матрица.

1. транспонируем полученную союзную матрицу. А^*Т
2. делим каждый элемент союзной матрицы на определитель матрицы А.

, A^-1 = A^*Т

Теорема: (об аннулировании определителя):
сумма произведений элементов некоторого ряда определителя на алгебраическое дополнение к элементам другого параллельного ряда всегда равна нулю.

Невырожденные системы СЛАУ. Способы решения.

СЛАУ принято записывать в матричной форме, когда сами неизвестные не указываются, а указывается только матрица системы А и столбец свободных членов В.

Решение невырожденных СЛАУ методом Крамера:

Х=А^-1*В

А^-1=

X1= (A₁₁b₁ + A₂₁b₂ + …+A_n1b_n)

Теорема: (Крамера):
решение невырожденных уравнений АХ=В, можно записать так:

, Ак получается из А путем замены к-го столбца на столбец свободного члена В.

Прямая на плоскости.

Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания прямой соответствует в прямоугольной система координат разные виды ее уравнений.

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

 

Пусть: tg =k, , тогда: y = kx + b.

Число tg =k называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение – уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Плоскость в пространстве.

Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в пространстве можно задавать различными способами. Каждому из них соответствует определенный вид ее уравнения.

1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору:

Точка Мо(Хо, Уо), вектор

2. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:

3. Нормальное уравнение плоскости: .

4. Угол между двумя плоскостями:

5. расстояние от точки до плоскости:

Прямая в пространстве.

1. Канонические уравнения прямой линии в пространстве, или уравнения прямой с направляющими коэффициентами, имеют вид:

.

где x0, y0, z0 - координаты точки, через которую проходит прямая, а m, n и p - направляющие коэффициенты прямой, которые являются проекциями на координатные оси Ox, Oy, Oz направляющего вектора прямой.

2. В параметрическом виде уравнения прямой линии в пространстве записываются так:

.

3. Общие уравнения прямой:

А₁х +B₁y + C₁z + D₁=0

A₂x + B₂y + C₂z + D₂=0

4. Векторное уравнение прямой:

5. уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки:

6. угол между прямыми:

Эллипс.

Геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости (обычно называемых фокусных) постоянна, называется эллипсом.

Если оси координат расположены так, что Ox проходит через фокусы F₁(C,0) и F₂(-C,0), а О(0,0) совпадает с серед отрезка F₁F₂, то по F₁М+F₂M получаем:

каноническое ур-ие эллипса ,

b²=-(с²-a²).

а и b- полуоси эллипса., а-большая, b-меньшая.

Эксцентриситет. , (если а>b)

(если а<b)

Эксцентриситет характеризует выпуклость эллипса.

У эллипса эксцентриситет находится: 0 .

Случай =0 возникает только тогда, когда с=0, а это есть случай окружности – это эллипс с нулевым эксцентриситетом.

Директрисы (D) Геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до точки эллипса к расстоянию от этой точки эллипса до фокуса постоянно и равно величине , называется директрисами. .

Примечание: у окружности нет директрисы.

Гипербола.

Геометрическое место точек, модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости постоянна, называется гиперболой.

Каноническое уравнение гиперболы:
, где .

Гипербола есть линия второго порядка.

Гипербола имеет 2 асимптоты: и

Гипербола называется равносторонней, если ее полуоси равны. (а=b). Каноническое уравнение:

Эксцентриситет – отношение расстояния между фокусами к величине действительной оси гиперболы:

Так как для гиперболы с>а, то эксцентриситет гиперболы >1.

Эксцентриситет характеризует форму гиперболы: . Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен равен .

Директрисы – прямые .

Фокальные радиусы: и .

Есть гиперболы, которые имеют общие асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.

Парабола.

Парабола – множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Расстояние от фокуса до директрисы – параметр параболы (p>0).- полуфокальный диаметр.

Парабола есть линия второго порядка.

 

 

М(х,у) – произвольная точка параболы. Соединим точку М с F, проведем отрезок MN перпендикулярно директрисе. Согласно определению параболы MF=MN. По формуле расстояния между 2 точкам находим: => = =>

=>

Каноническое уравнение параболы:
y² = 2px.

Эллипсоид.

Исследуем поверхность, заданную уравнением:

Рассмотрим сечения поверхности с плоскостями, параллельными плоскости xOy. Уравнения таких плоскостей: z=h,где h – любое число. Линия, получаемая в сечении, определяется двумя ур-ниями:

z=h.

Исследуем поверхность:

А) если то Линия пересечения поверхности с плоскостямиz=h не существует.

Б) если , линия пересечения вырождается в две точки (0,0,с), и (0,0,-с). Плоскости z = c, z = - c касается данной поверхности.

В) если , то уравнения можно переписать в виде: , как видно, линия пересечения есть эллипс с полуосями а1 = , b1 = . При этом, чем меньше h, тем больше полуоси. При н=0 они достигают своих наибольших значений. а1=а, b1=b. Уравнения примут вид:

h=0.

Рассмотренные сечения позволяют изобразить поверхность как замкнутую овальную поверхность. Поверхность называется эллипсоидами., если какие-либо полуоси равны, трехосный эллипсоид превращается в эллипсоид вращения, а если а=b=c, то в сферу.

25. Гиперболоид и конус.

1. Исследуем поверхность . Пересекая поверхностьплоскостью z=h, получим линию пересечения, уравнения которой имеет вид

z=h. или z=h

полуоси: а1= b1=

полуоси достигают своего наименьшего значения при h=0: а1=а, b1=b. При возрастании h полуоси эллипса будут увеличиваться. =>

х=0.

Анализ этих сечений показывает, что поверхность, определяемая уравнением, имеет форму бесконечной расширяющейся трубки. Поверхность называется однополостным гиперболоидом.

2. -уравнение поверхности.

 

и -поверхность, состоящая из 2 полостей, имеющих форму выпуклых неограниченных чаш. Поверхность называется двухполостным гиперболоидом.

3. Конус второй степени

Каноническое уравнение:

a = b - конус вращения (прямой круговой).

 

Сечения конуса плоскостями: в плоскости, пересекающей все прямолинейные образующие, - эллипс; в плоскости, параллельной одной прямолинейной образующей, - парабола; в плоскости, параллельной двум прямолинейным образующим, - гипербола; в плоскости, проходящей через вершину конуса, - пара пересекающихся прямых или точка (вершина).
26. Параболоид.

1. -это эллиптический параболоид.

Каноническое уравнение:

(р>0, q>0).

p = q - параболоид вращения вокруг оси Oz.

Сечения эллиптического параболоида плоскостями - либо эллипс, либо парабола, либо точка.

2. - гиперболический параболоид.

Сечения гиперболического параболоида плоскостями - либо гипербола, либо парабола, либо пара прямых (прямолинейных образующих).

Цилиндрические поверхности.

Поверхность, образованная движением прямой L, которая перемещается в пространстве, сохраняя постоянное направление и пересекая каждый раз некоторую кривую K, называется цилиндрической поверхностью или цилиндром при этом кривая К – направляющая цилиндра, а L – его образующая.

Эллиптический цилиндр

Эллиптическое уравнение:

Частным случаем эллиптического цилиндра является круговой цилиндр, его уравнение x² + y² = R². Уравнение x²=2pz определяет в пространстве параболический цилиндр.

Уравнение: определяет в пространстве гиперболический цилиндр.

Все эти поверхности называются цилиндрами второго порядка, так как их уравнения есть уравнения второй степени относительно текущих координат x, y, z.

Полярная система координат.

Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью.

 

Суть задания какой- либо системы координат на плоскости состоит в том, чтобы каждой точке плоскости поставить в соответствие пару действительных чисел, определяющих положение этой точки на плоскости. В случае полярной системы координат роль этих чисел играют расстояние точки от полюса и угол между полярной осью и радиус– вектором этой точки. Этот угол j называется полярным углом.

Можно установить связь между полярной системой координат и декартовой прямоугольной системой, если поместить начало декартовой прямоугольной системы в полюс, а полярную ось направить вдоль положительного направления оси Ох.

Действительные числа.

Действительные числа образуют совокупность элементов, обладающую следующими свойствами.

Если a и b - действительные числа (алгебраические, рациональные, целые, положительные целые), то таковыми же являются и

1. a + b и ab (замкнутость),

2. a + b = b + a, ab = ba (коммутативность),

3. a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c, a(bc) = (ab)c = abc (ассоциативность

4. a * 1 = a (единица),

5. a(b + c) = ab + ac (дистрибутивность),

6. из a + c = b + c следует a = b, из ca = cb,, следует a = b (сокращение).

 

Действительное число 0 (нуль) обладает свойствами a + 0 = a, a * 0 = 0 для каждого действительного числа a.

 

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными.

Действительными алгебраическими числами называются действительные корни алгебраических уравнений с целочисленными коэффициентами, а действительными трансцендентными числами - остальные действительные числа.

Предел последовательности.

Число а называется пределом последовательности, если для любого положительного числа Е найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется равенство:

. В этом случае пишут и говорят, что последовательность {x_n}имеет предел, равный числу а. говорят,что последовательность сходится к а.

Коротко определение предела: .

Сходящаяся последовательность имеет только один предел. Последовательность, неимеющая предела, называется расходящейся.

Если =0 => последовательность бесконечно малая.

Если = => бесконечно большая.

=> .

- окрестности точки а.
34. Теоремы о пределах последовательности.

Теорема 1: (необходимый признак числовой последовательности):

если последовательность сходится, то она ограничена., если последовательность неограниченна, то она расходится.

Теорема Вейерштрасса: сформируем достаточный признак числовой последовательности: всякая ограниченная монотонная последовательность имеет предел.

Теорема: если две последовательности {x_n}и {y_n} сходятся, т.е. имеют конечные пределы, то сходятся также сумма, разность, произведение, частное этих последовательностей, т.е.:
=> и тд.

Теорема: если и начиная с некоторого номера выполняется неравенство x_n y_n, то а b.

Доказательство:
допустим, что а>b. Из равенств следует, что для любого >0 найдется такое натуральное число N(), что при всех n>N() будут выполняться неравенства и т.е.

и . Возьмем . Тогда: отсюда следует, что x_n>y_n, это противоречит условию x_n y_n следовательно, а b.

Предел функции.

Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения предела функции в точке:

Определение (по Коши): число А называется пределом функции в точке х₀, если для любого положительного найдется такое положительное число , что для всех х х₀, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Коротко это определение:

.

Определение (по Гейне):

Число А называется пределом функции в точке х0, если для любой последовательности допустимых значений аргумента хn, сходящейся к х0, последовательность соответствующих значений функции , , сходится к числу А.

Односторонние пределы:
число А называется пределом функции слева в точке x₀, если для любого число >0 существует число = ()>0 такое, что при выполняется неравенство .

Предел слева записывают так:

Аналогично определяется предел функции справа:

.

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами.

Предел функции при :

Число А называется пределом функции при , если для любого положительного числа существует такое число М=М() >0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство . Коротко:

Односторонние пределы.

число А называется пределом функции слева в точке x₀, если для любого число >0 существует число = ()>0 такое, что при выполняется неравенство .

Предел слева записывают так:

Аналогично определяется предел функции справа:

.

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами.

Сравнение бесконечно малых.

Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения:

1. если , то и называются бесконечно малыми одного порядка.

2. если то называется бесконечно малой более высокого порядка, чем .

3. если то называется бесконечно малой более низкого порядка, чем .

4. если не существует, то и называются несравнимыми бесконечно малыми.

Таковы же правила сравнения б.м.ф. при и .

Эквивалентные бесконечно малые:

Sinx	x, при	e^x - 1	x,
tgx	x,	a^x - 1	x*lna,
arcsinx	x,	ln(1+x)	x,
arctgx	x,	loga(1+x)	x*loga^e
1-cosx	,	(1+x)^k - 1	k*x, k>0,

 

Теоремы о пределах.

Теорема: если существует и и они равны между собой, то существует = .

Теорема: если , , то =>

1)

2)

3)

Примечание 1: 1-е и 2-е свойства распространяются на любое конечное число слагаемых или сомножителей, однако число слагаемых и сомножителей не может быть .

Примечание 2:

Теорема: если , то функция g(x) = f(x) – a является б.м. при .

Следствие: если => в окрестности т. х₀ g(x) + а = f(x), где g(x)- б.м. при .

Теорема: если и существуют конечные пределы, когда , => .

Теорема (о сжатой переменной): если и существуют конечные пределы => существует: .

Теорема (о пределе сложной функции):

Пусть: х_0, , U=f(x), .

Сама теорема:

Если задана сложная функция, и существуют конечные пределы и , то

Дифференциал функции.

Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:

Тогда можно записать: , где a®0, при Dх®0.

Следовательно: .

Величина aDx- бесконечно малая более высокого порядка, чем f¢(x)Dx, т.е. f¢(x)Dx- главная часть приращения Dу.

 

Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции.

Обозначается dy или df(x).

Из определения следует, что dy = f¢(x)Dx или dy = f¢(x)dx.

Можно также записать:

Свойства дифференциала.

Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:

 

1) d(u ± v) = (u ± v)¢dx = u¢dx ± v¢dx = du ± dv

2) d(uv) = (uv)¢dx = (u¢v + v¢u)dx = vdu + udv

3) d(Cu) = Cdu

Доказательство.

(с учетом того, что если Dx®0, то Du®0, т.к. u = g(x) – непрерывная функция)

Тогда . Теорема доказана.

Умножение матриц. Согласованные матрицы.

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Произведением матрицы А_m*n = (a_i,g) на матрицу В_n*p = (b_i,k) называется матрица Сm*p = (с_i,k) такая, что:

,

где i= , , т.е. элемент i-той и k-ого столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы А на соответствующие элементы к-ого столбца матрицы В.

Матрицы А, n*m и В, m*n, назыв. согласованными. (если А согласованно с В, то это не значит, что В согласованно с А).

Смысл согласованности в том, чтобы количество столбцов 1-ой матрицы совпадало с количеством строк 2-ой матрицы. Для согласованных матриц можно определить операцию умножения.

Если матрицы A и B квадратные и одного размера, то A*B и B*A всегда существуют. Транспонированием называется смена всех элементов столбца соотв элементами строки. Если A^T=A, то матрица А наз. симметричная (она обязательно квадратная).

1. Определитель квадратной матрицы. Свойства определителей.

Определителем матрицы А называется число:

- матрица второго порядка.

Матрица 3-его порядка:

 

Свойства определителей:

1. если А и В – квадратные матрицы n*n, то:

Замечание: АВ ВА

2.

3. пусть А = (а_i,j) и при этом ее какой-либо ряд (либо столбец, либо строка) i-я строка обладает свойством, что:

4. определитель равен нулю, если в нем есть нулевой ряд.

5. определитель = 0, если у него есть два одинаковых (пропорциональных) параллельных ряда.

6. определитель диагональной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

7. определитель треугольной матрицы равен произведению чисел, стоящих на главной диагонали.

8. если в определителях поменять местами, то определитель поменяет знак.

9. если к какому-то ряду определителя прибавить элементы другого параллельного ряда, умноженные на какое-то число (одинаковое), то определитель при этом не изменяется.

10. если какой-то ряд определителя содержит в себе обдщий множитель, то его можно вынести за знак определителя.