![]()
Заглавная страница
Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
ГЛАВА 4. Векторные пространства.Стр 1 из 3Следующая ⇒
ГЛАВА 4. Векторные пространства. Понятие векторного пространства. Примеры. Простейшие свойства векторных пространств. Определение 1. Множество V называется векторным пространством над полем Р, а его элементы называются векторами, если множество V замкнутоотносительно операции сложения (т.е. I. <V,+>- абелева группа: 1) ассоциативность сложения: 2) 3) 4) коммутативность сложения: II. Во множестве V выполняются обобщенные дистрибутивные законы: а) б) III. Во множестве V выполняется обобщенный ассоциативный закон:
IV. Во множестве V выполняется унитарный закон:
Примеры. 1) Пусть 2) Если P – поле, то P – векторное пространство над полем Р, т.е. всякое поле является векторным пространством над самим собой. Кроме того, всякое поле являетсявекторным пространством над любым своим подполем. 3) Арифметическое n-мерное векторное пространство. Пусть Р – поле,
Векторное пространство Простейшие свойства векторных пространств. Пусть V – векторное пространство над полем Р. Свойство 1. Доказательство. Так как Свойство 2. Доказательство. Так как Свойство 3.Пусть Доказательство. Доказательство проведем методом математической индукции по параметру п. 1) Проверим, что утверждение верно при п=1. Действительно, 2) Предположим, что утверждение верно при п=к, т.е. что 3) Докажем, что утверждение верно при п=к+1. Действительно,
Из 1)-3) по методу математической индукции утверждение верно Определение 2. Пусть V - векторное пространство над Р, Определение 3.Пусть V - векторное пространство над Р, Замечание.Линейная оболочка, натянутая на систему векторов, является векторным пространством над рассматриваемым полем.
Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Определение 1. Пусть V – векторное пространство над полем P, Определение 2.Пусть V – векторное пространство над полем P,
Базис и размерность векторного пространства. Дополнение линейно независимой системы векторов До базиса векторного пространства. Теорема 1.Пусть V – n-мерное векторное пространство над полем Р, (1) ā1,…,āk – линейно независимая система векторов из V. Тогда система (1) может быть дополнена до базиса векторного пространства V. Доказательство. Если k=n, то (1) – базис векторного пространства V. Пусть k<n. Рассмотрим линейную оболочку, натянутую на векторы системы (1): V1=L(ā1,…,āk)={ Пространство всех решений однородной системы уравнений. Фундаментальный набор решений однородной системы Линейных уравнений. Теорема 1. Пусть (1) Доказательство проводится непосредственной проверкой с помощью критерия подпространства. Определение 1. Пусть (1) Найдём фундаментальный набор решений системы (1). Пусть x1,…,xk – главные неизвестные, остальные – свободные неизвестные. Составим систему векторов из U по следующему правилу (*): придадим первой свободной неизвестной значение 1, остальным свободным неизвестным – значение 0, получим вектор (2) Покажем, что (2) – базис векторного пространства U. 1) Покажем, что система (2) линейно независима. Пусть (3)
2) Покажем, что через векторы системы (2) линейно выражается каждый вектор из U. Пусть Так как (2) Из 1) и 2) => система (2) - базис U => система (2) – фундаментальный набор решений системы (1). Вывод: Для того, чтобы найти фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений, необходимо решить систему методом Гаусса и записать систему Теорема Кронекера-Капелли. Рассмотрим матрицу A над полем P размера m×n следующего вида:
Определение 1. Вектор Таким образом, (1) - система векторов-строк матрицы А, (2) - система векторов-столбцов матрицы А. Определение 2.Строчным (горизонтальным) рангом матрицы называется ранг её системы векторов-строк, и обозначается rг(A). Столбцовым (вертикальным) рангом матрицы называется ранг её системы векторов-столбцов и обозначается rв(A). Лемма 1. При элементарных преобразовании матрицы строчный и столбцовый ранги матрицы не изменяются. Теорема 1. Строчечный и столбцовый ранги матрицы А совпадают, т.е. rг(A)=rв(A); и обозначается r(A); число r(A) называется рангом матрицы А. Доказательство. Пусть А - матрица размера m×n над полем Р. Покажем что rг(A)=rв(A). Для этого приведём матрицу А с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду А' размера r×n: Покажем что rг(A')=r. Рассмотрим систему векторов-строк матрицы А': Пусть Умножая и складывая векторы покоординатно, получим систему уравнений И, поскольку Значит, (1') - линейно независимая система векторов. Тогда (1') - базис системы (1'), и значит, ранг системы (1') равен r, т.е. rг(A')=r. 2) Покажем, что rв(А')=r. Рассмотрим систему а) Покажем, что (3) - линейно независимая система векторов. Пусть Так как ars б) Так как (3) - линейно независимая система векторов, состоящая из r векторов, и dimpPr=r, то (3) - базис Pr. В силу (2') – система векторов из Pr, получаем, что (3) - базис системы (2'). Таким образом, rв(A')=r Исходя из доказанной теоремы, определение ранга матрицы часто формулируют следующим образом: Определение 3. Рангом матрицы A называется ранг её системы векторов-строк, и обозначается r(A). Теорема 1 (теорема Кронекера-Капелли). Пусть (4) Доказательство. Пусть система (4) совместна
В случае, когда r(A)=r( Замечание.Однородная система линейных уравнений имеет единственное решение тогда и только тогда, когда ранг её матрицы равен числу неизвестных. Однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг её матрицы меньше числа неизвестных. ГЛАВА 4. Векторные пространства. Понятие векторного пространства. Примеры. |
||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-26; Нарушение авторского права страницы infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.238.70.175 (0.03 с.) |