ГЛАВА 4. Векторные пространства.

ГЛАВА 4. Векторные пространства.

Понятие векторного пространства. Примеры.

Простейшие свойства векторных пространств.

Определение 1. Множество V называется векторным пространством над полем Р, а его элементы называются векторами, если множество V замкнутоотносительно операции сложения (т.е. ) и относительно операции умножения на элементы из поля Р (т.е. ), и выполняются следующие аксиомы (аксиомы векторного пространства):

I. < V,+>- абелева группа:

1) ассоциативность сложения: ;

2) ;

3) ;

4) коммутативность сложения: .

II. Во множестве V выполняются обобщенные дистрибутивные законы:

а) ;

б) .

III. Во множестве V выполняется обобщенный ассоциативный закон:

.

IV. Во множестве V выполняется унитарный закон:

где 1 - единичный элемент в Р.

Примеры.

1) Пусть . Тогда V - векторное пространство над любым полем – нульмерное векторное пространство.

2) Если P – поле, то P – векторное пространство над полем Р, т.е. всякое поле является векторным пространством над самим собой. Кроме того, всякое поле являетсявекторным пространством над любым своим подполем.

3) Арифметическое n-мерное векторное пространство. Пусть Р – поле,

. Тогда множество V является векторным пространством над полем Р относительно следующих операций:

; .

Векторное пространство называется арифметическим n- мерным векторным пространством над полем Р.

Простейшие свойства векторных пространств.

Пусть V – векторное пространство над полем Р.

Свойство 1. .

Доказательство. Так как (по обобщенному дистрибутивному закону) и , то . Тогда по закону сокращения в аддитивной группе V получаем . Свойство доказано.

Свойство 2.

Доказательство. Так как (по обобщенному дистрибутивному закону) и , то . Тогда по закону сокращения в аддитивной группе V получаем Свойство доказано.

Свойство 3. Пусть , . Тогда .

Доказательство. Доказательство проведем методом математической индукции по параметру п.

1) Проверим, что утверждение верно при п=1. Действительно, по определению 1.

2) Предположим, что утверждение верно при п=к, т.е. что .

3) Докажем, что утверждение верно при п=к+1. Действительно,

.

Из 1)-3) по методу математической индукции утверждение верно ℕ. Свойство доказано.

Определение 2. Пусть V - векторное пространство над Р, . Вектор называется линейной комбинацией векторов .

Определение 3. Пусть V - векторное пространство над Р, . Множество L ()= называется линейной оболочкой, натянутой на векторы системы .

Замечание. Линейная оболочка, натянутая на систему векторов, является векторным пространством над рассматриваемым полем.

 

Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

Определение 1. Пусть V – векторное пространство над полем P, . Система векторов называется линейно зависимой, если Р, не равные 0 одновременно, такие что .

Определение 2. Пусть V – векторное пространство над полем P, . Система векторов называется линейно независимой, если

= 0, = 0,..., = 0.

Базис и размерность векторного пространства.

Дополнение линейно независимой системы векторов

До базиса векторного пространства.

Теорема 1. Пусть V – n-мерное векторное пространство над полем Р, (1) ā₁,…,ā_k – линейно независимая система векторов из V. Тогда система (1) может быть дополнена до базиса векторного пространства V.

Доказательство. Если k=n, то (1) – базис векторного пространства V.

Пусть k < n. Рассмотрим линейную оболочку, натянутую на векторы системы (1): V₁=L(ā₁,…,ā_k)={ ā₁+…+ ā_k| P, i= }. Отметим, что V₁ V. Так как k<n, то V₁ V. Пусть ā_k+1 V\V₁. Покажем, что система ā₁,…,ā_k,ā_k+1 (2) линейно независима. Допустим, что (2) – линейно зависимая система векторов вектор ā_k+1 является линейной комбинацией векторов ā₁,…,ā_k ā_k+1 V₁ – получили противоречие (2) –линейнонезависимая система векторов. Далее, пусть V₂=L(ā₁,…,ā_k, ā_k+1) и ā_k+2 V\V₂. Тогда, как и выше, система ā₁,…,ā_k, ā_k+1, ā_k+2 линейно независима. Продолжая этот процесс, получим линейно независимую систему, состоящую из n векторов, а это, ввиду dim_pV=n, означает, что полученная система является базисом векторного пространства V. Теорема доказана.

Пространство всех решений однородной системы уравнений.

Фундаментальный набор решений однородной системы

Линейных уравнений.

Теорема 1. Пусть (1) - однородная система линейных уравнений над полем P, U – множество всех решений системы (1), т.е. U = - решение системы (1) . Тогда множество U является подпространством векторного пространства V=Pⁿ.

Доказательство проводится непосредственной проверкой с помощью критерия подпространства.

Определение 1. Пусть (1) - однородная (неопределенная) система линейных уравнений над полем P, U – векторное пространство всех решений системы (1). Базис векторного пространства U называется фундаментальным набором решений однородной системы линейных уравнений (1).

Найдём фундаментальный набор решений системы (1). Пусть x_1,…,x_k – главные неизвестные, остальные – свободные неизвестные.

Составим систему векторов из U по следующему правилу

(*): придадим первой свободной неизвестной значение 1, остальным свободным неизвестным – значение 0, получим вектор ; придадим второй свободной неизвестной значение 1, остальным свободным неизвестным – значение 0, получим вектор , и т.д. Получим систему вида:

(2) .

Покажем, что (2) – базис векторного пространства U.

1) Покажем, что система (2) линейно независима.

Пусть (3) . Покажем, что _i =0, i =1, . Из (3) =>

. Это означает, что система (2) линейно независима.

2) Покажем, что через векторы системы (2) линейно выражается каждый вектор из U. Пусть . Покажем, что вектор линейно выражается через (2). Рассмотрим вектор следующего вида:

Так как (2) U, то . Поскольку и (1) -однородная система линейных уравнений, то => => линейно выражается через (2).

Из 1) и 2) => система (2) - базис U => система (2) – фундаментальный набор решений системы (1).

Вывод: Для того, чтобы найти фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений, необходимо решить систему методом Гаусса и записать систему по правилу (*).

Теорема Кронекера-Капелли.

Рассмотрим матрицу A над полем P размера m×n следующего вида:

. Пусть

Определение 1. Вектор называется i-й вектор-строкой матрицы А, ; вектор называется j-м вектор-столбцом матрицы А, .

Таким образом, (1) - система векторов-строк матрицы А, (2) - система векторов-столбцов матрицы А.

Определение 2. Строчным (горизонтальным) рангом матрицы называется ранг её системы векторов-строк, и обозначается r_г(A). Столбцовым (вертикальным) рангом матрицы называется ранг её системы векторов-столбцов и обозначается r_в(A).

Лемма 1. При элементарных преобразовании матрицы строчный и столбцовый ранги матрицы не изменяются.

Теорема 1. Строчечный и столбцовый ранги матрицы А совпадают, т.е. r_г(A)=r_в(A); и обозначается r(A); число r(A) называется рангом матрицы А.

Доказательство. Пусть А - матрица размера m×n над полем Р. Покажем что r_г(A)=r_в(A). Для этого приведём матрицу А с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду А' размера r×n: , где a'₁₁ 0, a'_2k 0,…, a'_rs 0. Так как по лемме 1 r_г(A)= r_г(A') и r_в(A)= r_в(A'), то достаточно показать, что r_г(A')= r_в(A').

Покажем что r_г(A')=r. Рассмотрим систему векторов-строк матрицы А': (1'). Покажем, что ранг системы (1') равен r. Для этого достаточно показать, что (1') - линейно независимая система векторов.

Пусть - нулевая линейная комбинация системы (1'). Покажем, что все коэффициенты . В координатной форме нулевая линейная комбинация имеет вид

Умножая и складывая векторы покоординатно, получим систему уравнений

И, поскольку выражая коэффициенты a_i поочередно из всех уравнений, начиная с первого, получим

Значит, (1') - линейно независимая система векторов. Тогда (1') - базис системы (1'), и значит, ранг системы (1') равен r, т.е. r_г(A')=r.

2) Покажем, что r_в(А')=r. Рассмотрим систему (2’) векторов-столбцов матрицы А'. Так как вектор имеет r координат, то Поскольку P^r - это r- мерное векторное пространство, т.е. dim_pP^r=r, то ранг системы (2) меньше либо равен r, т.е. r_в(A')≤r. Рассмотрим систему векторов (3) (всего r векторов; эти векторы соответствуют элементам a'₁₁ 0, a'_2k 0,…, a'_rs 0). Покажем, что (3) - базис системы (2).

а) Покажем, что (3) - линейно независимая система векторов. Пусть

Так как a_rs 0, то из последнего равенства следует, что _s =0; …; так как a_2k 0, то из 2-го равенства следует, что _k =0; так как a₁₁ 0, то из 1-го равенства следует ₁= 0. Следовательно, (3) - линейно независимая система векторов.

б) Так как (3) - линейно независимая система векторов, состоящая из r векторов, и dim_pP^r=r, то (3) - базис P^r. В силу (2') – система векторов из P^r, получаем, что (3) - базис системы (2').

Таким образом, r_в(A')=r r_г(A')= r_в(A') r_г(A)= r_в(A). Теорема доказана.

Исходя из доказанной теоремы, определение ранга матрицы часто формулируют следующим образом:

Определение 3. Рангом матрицы A называется ранг её системы векторов-строк, и обозначается r(A).

Теорема 1 (теорема Кронекера-Капелли). Пусть (4) - неоднородная система линейных уравнений над полем P, A и - соответственно основная и расширенная матрицы системы (4). Система (4) совместна r(A)=r(), причём, если r=n, то система (4) определена, а если r<n, то система (4) неопределена.

Доказательство. Пусть система (4) совместна (4) имеет хотя бы одно решение (*), где

(5) - система векторов-столбцов матрицы А,

(6) - система векторов-столбцов матрицы . Равенство (*) выполняется вектор является линейной комбинацией векторов системы (5) ранг системы (6) равен рангу системы (5) r_в(A)=r_в() r(A)=r().

В случае, когда r(A)=r() исследование о том, является ли система (4) определенной или неопределенной, в зависимости от r и n, изложено в вопросе «Решение систем линейных уравнений методом Гаусса».

Замечание. Однородная система линейных уравнений имеет единственное решение тогда и только тогда, когда ранг её матрицы равен числу неизвестных.

Однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг её матрицы меньше числа неизвестных.

ГЛАВА 4. Векторные пространства.

Понятие векторного пространства. Примеры.