до базиса векторного пространства.

Теорема 1. Пусть V – n-мерное векторное пространство над полем Р, (1) ā₁,…,ā_k – линейно независимая система векторов из V. Тогда система (1) может быть дополнена до базиса векторного пространства V.

Доказательство. Если k=n, то (1) – базис векторного пространства V.

Пусть k < n. Рассмотрим линейную оболочку, натянутую на векторы системы (1): V₁=L(ā₁,…,ā_k)={ ā₁+…+ ā_k| P, i= }. Отметим, что V₁ V. Так как k<n, то V₁ V. Пусть ā_k+1 V\V₁. Покажем, что система ā₁,…,ā_k,ā_k+1 (2) линейно независима. Допустим, что (2) – линейно зависимая система векторов вектор ā_k+1 является линейной комбинацией векторов ā₁,…,ā_k ā_k+1 V₁ – получили противоречие (2) –линейнонезависимая система векторов. Далее, пусть V₂=L(ā₁,…,ā_k, ā_k+1) и ā_k+2 V\V₂. Тогда, как и выше, система ā₁,…,ā_k, ā_k+1, ā_k+2 линейно независима. Продолжая этот процесс, получим линейно независимую систему, состоящую из n векторов, а это, ввиду dim_pV=n, означает, что полученная система является базисом векторного пространства V. Теорема доказана.

Пространство всех решений однородной системы уравнений.

Фундаментальный набор решений однородной системы

Линейных уравнений.

Теорема 1. Пусть (1) - однородная система линейных уравнений над полем P, U – множество всех решений системы (1), т.е. U = - решение системы (1) . Тогда множество U является подпространством векторного пространства V=Pⁿ.

Доказательство проводится непосредственной проверкой с помощью критерия подпространства.

Определение 1. Пусть (1) - однородная (неопределенная) система линейных уравнений над полем P, U – векторное пространство всех решений системы (1). Базис векторного пространства U называется фундаментальным набором решений однородной системы линейных уравнений (1).

Найдём фундаментальный набор решений системы (1). Пусть x_1,…,x_k – главные неизвестные, остальные – свободные неизвестные.

Составим систему векторов из U по следующему правилу

(*): придадим первой свободной неизвестной значение 1, остальным свободным неизвестным – значение 0, получим вектор ; придадим второй свободной неизвестной значение 1, остальным свободным неизвестным – значение 0, получим вектор , и т.д. Получим систему вида:

(2) .

Покажем, что (2) – базис векторного пространства U.

1) Покажем, что система (2) линейно независима.

Пусть (3) . Покажем, что _i =0, i =1, . Из (3) =>

. Это означает, что система (2) линейно независима.

2) Покажем, что через векторы системы (2) линейно выражается каждый вектор из U. Пусть . Покажем, что вектор линейно выражается через (2). Рассмотрим вектор следующего вида:

Так как (2) U, то . Поскольку и (1) -однородная система линейных уравнений, то => => линейно выражается через (2).

Из 1) и 2) => система (2) - базис U => система (2) – фундаментальный набор решений системы (1).

Вывод: Для того, чтобы найти фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений, необходимо решить систему методом Гаусса и записать систему по правилу (*).

Связь между решениями неоднородной системы линейных уравнений с решениями ассоциированной с ней однородной системы линейных уравнений.

Лемма 1. Пусть (1) - неоднородная система линейных уравнений над полем P, (2) - однородная система линейных уравнений, ассоциированная с (1). Тогда выполняются следующие условия:

1) Если и - решения системы (1), то - решение системы (2).

2) Если - решение системы (1) и - решение (2), то - решение системы (1).

Доказательство. 1) Так как - решение (1), то . Так как - решение (1), то . Тогда

, => - решение системы (2).

2) Так как – решение системы (1), то . Так как – решение системы (2), то . Тогда

, => - решение системы (1). Лемма доказана.

Теорема 1. Пусть (1) - неоднородная система линейных уравнений над полем P, (2) - однородная система линейных уравнений, ассоциированная с (1), Н – множество всех решений системы (1), U - множество всех решений системы (2), - некоторое решение системы (1). Тогда Н = + U, где + U = .

Доказательство. Докажем, что Н = + U методом встречных включений.

а) Покажем, что . Пусть + U => = + ( – решение системы (2), - решение системы (1)) => - решение системы (1) => .

б) Покажем, что . Пусть и - решение системы (1) - - решение системы (2) => - = => => .

Из а) и б) следует, что Н = + U. Теорема доказана.

Замечание. Из теоремы 12 следует, что для того, чтобы найти множество всех решений системы (1), достаточно найти множество всех решений системы (2) и хотя бы одно решение системы (1).

 

Строчечный и столбцовый ранги матрицы.

Теорема Кронекера-Капелли.

Рассмотрим матрицу A над полем P размера m×n следующего вида:

. Пусть

Определение 1. Вектор называется i-й вектор-строкой матрицы А, ; вектор называется j-м вектор-столбцом матрицы А, .

Таким образом, (1) - система векторов-строк матрицы А, (2) - система векторов-столбцов матрицы А.

Определение 2. Строчным (горизонтальным) рангом матрицы называется ранг её системы векторов-строк, и обозначается r_г(A). Столбцовым (вертикальным) рангом матрицы называется ранг её системы векторов-столбцов и обозначается r_в(A).

Лемма 1. При элементарных преобразовании матрицы строчный и столбцовый ранги матрицы не изменяются.

Теорема 1. Строчечный и столбцовый ранги матрицы А совпадают, т.е. r_г(A)=r_в(A); и обозначается r(A); число r(A) называется рангом матрицы А.

Доказательство. Пусть А - матрица размера m×n над полем Р. Покажем что r_г(A)=r_в(A). Для этого приведём матрицу А с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду А' размера r×n: , где a'₁₁ 0, a'_2k 0,…, a'_rs 0. Так как по лемме 1 r_г(A)= r_г(A') и r_в(A)= r_в(A'), то достаточно показать, что r_г(A')= r_в(A').

Покажем что r_г(A')=r. Рассмотрим систему векторов-строк матрицы А': (1'). Покажем, что ранг системы (1') равен r. Для этого достаточно показать, что (1') - линейно независимая система векторов.

Пусть - нулевая линейная комбинация системы (1'). Покажем, что все коэффициенты . В координатной форме нулевая линейная комбинация имеет вид

Умножая и складывая векторы покоординатно, получим систему уравнений

И, поскольку выражая коэффициенты a_i поочередно из всех уравнений, начиная с первого, получим

Значит, (1') - линейно независимая система векторов. Тогда (1') - базис системы (1'), и значит, ранг системы (1') равен r, т.е. r_г(A')=r.

2) Покажем, что r_в(А')=r. Рассмотрим систему (2’) векторов-столбцов матрицы А'. Так как вектор имеет r координат, то Поскольку P^r - это r- мерное векторное пространство, т.е. dim_pP^r=r, то ранг системы (2) меньше либо равен r, т.е. r_в(A')≤r. Рассмотрим систему векторов (3) (всего r векторов; эти векторы соответствуют элементам a'₁₁ 0, a'_2k 0,…, a'_rs 0). Покажем, что (3) - базис системы (2).

а) Покажем, что (3) - линейно независимая система векторов. Пусть

Так как a_rs 0, то из последнего равенства следует, что _s =0; …; так как a_2k 0, то из 2-го равенства следует, что _k =0; так как a₁₁ 0, то из 1-го равенства следует ₁= 0. Следовательно, (3) - линейно независимая система векторов.

б) Так как (3) - линейно независимая система векторов, состоящая из r векторов, и dim_pP^r=r, то (3) - базис P^r. В силу (2') – система векторов из P^r, получаем, что (3) - базис системы (2').

Таким образом, r_в(A')=r r_г(A')= r_в(A') r_г(A)= r_в(A). Теорема доказана.

Исходя из доказанной теоремы, определение ранга матрицы часто формулируют следующим образом:

Определение 3. Рангом матрицы A называется ранг её системы векторов-строк, и обозначается r(A).

Теорема 1 (теорема Кронекера-Капелли). Пусть (4) - неоднородная система линейных уравнений над полем P, A и - соответственно основная и расширенная матрицы системы (4). Система (4) совместна r(A)=r(), причём, если r=n, то система (4) определена, а если r<n, то система (4) неопределена.

Доказательство. Пусть система (4) совместна (4) имеет хотя бы одно решение (*), где

(5) - система векторов-столбцов матрицы А,

(6) - система векторов-столбцов матрицы . Равенство (*) выполняется вектор является линейной комбинацией векторов системы (5) ранг системы (6) равен рангу системы (5) r_в(A)=r_в() r(A)=r().

В случае, когда r(A)=r() исследование о том, является ли система (4) определенной или неопределенной, в зависимости от r и n, изложено в вопросе «Решение систем линейных уравнений методом Гаусса».

Замечание. Однородная система линейных уравнений имеет единственное решение тогда и только тогда, когда ранг её матрицы равен числу неизвестных.

Однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг её матрицы меньше числа неизвестных.