до базиса векторного пространства.



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

до базиса векторного пространства.



Теорема 1.Пусть V – n-мерное векторное пространство над полем Р, (1) ā1,…,āk – линейно независимая система векторов из V. Тогда система (1) может быть дополнена до базиса векторного пространства V.

Доказательство. Если k=n, то (1) – базис векторного пространства V.

Пусть k<n. Рассмотрим линейную оболочку, натянутую на векторы системы (1): V1=L(ā1,…,āk)={ ā1+…+ āk| P, i= }. Отметим, что V1 V. Так как k<n, то V1 V. Пусть āk+1 V\V1. Покажем, что система ā1,…,ākk+1 (2) линейно независима. Допустим, что (2) – линейно зависимая система векторов вектор āk+1 является линейной комбинацией векторов ā1,…,āk āk+1 V1 – получили противоречие (2) –линейнонезависимая система векторов. Далее, пусть V2=L(ā1,…,āk, āk+1) и āk+2 V\V2. Тогда, как и выше, система ā1,…,āk, āk+1, āk+2 линейно независима. Продолжая этот процесс, получим линейно независимую систему, состоящую из n векторов, а это, ввиду dimpV=n, означает, что полученная система является базисом векторного пространства V. Теорема доказана.

Пространство всех решений однородной системы уравнений.

Фундаментальный набор решений однородной системы

Линейных уравнений.

Теорема 1. Пусть (1) - однородная система линейных уравнений над полем P, U – множество всех решений системы (1), т.е. U= - решение системы (1) . Тогда множество U является подпространством векторного пространства V=Pn.

Доказательство проводится непосредственной проверкой с помощью критерия подпространства.

Определение 1. Пусть (1) - однородная (неопределенная) система линейных уравнений над полем P, U – векторное пространство всех решений системы (1). Базис векторного пространства U называется фундаментальным набором решений однородной системы линейных уравнений (1).

Найдём фундаментальный набор решений системы (1). Пусть x1,…,xk – главные неизвестные, остальные – свободные неизвестные.

Составим систему векторов из U по следующему правилу

(*): придадим первой свободной неизвестной значение 1, остальным свободным неизвестным – значение 0, получим вектор ; придадим второй свободной неизвестной значение 1, остальным свободным неизвестным – значение 0, получим вектор , и т.д. Получим систему вида:

(2) .

Покажем, что (2) – базис векторного пространства U.

1) Покажем, что система (2) линейно независима.

Пусть (3) . Покажем, что i=0, i=1, . Из (3) =>

. Это означает, что система (2) линейно независима.

2) Покажем, что через векторы системы (2) линейно выражается каждый вектор из U. Пусть . Покажем, что вектор линейно выражается через (2). Рассмотрим вектор следующего вида:

Так как (2) U , то . Поскольку и (1) -однородная система линейных уравнений, то => => линейно выражается через (2).

Из 1) и 2) => система (2) - базис U => система (2) – фундаментальный набор решений системы (1).

Вывод: Для того, чтобы найти фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений, необходимо решить систему методом Гаусса и записать систему по правилу (*).

Связь между решениями неоднородной системы линейных уравнений с решениями ассоциированной с ней однородной системы линейных уравнений.

Лемма 1. Пусть (1) - неоднородная система линейных уравнений над полем P, (2) - однородная система линейных уравнений, ассоциированная с (1). Тогда выполняются следующие условия:

1) Если и - решения системы (1), то - решение системы (2).

2) Если - решение системы (1) и - решение (2), то - решение системы (1).

Доказательство. 1) Так как - решение (1), то . Так как - решение (1), то . Тогда

, => - решение системы (2).

2) Так как – решение системы (1), то . Так как – решение системы (2), то . Тогда

, => - решение системы (1). Лемма доказана.

Теорема 1. Пусть (1) - неоднородная система линейных уравнений над полем P, (2) - однородная система линейных уравнений, ассоциированная с (1), Н – множество всех решений системы (1), U - множество всех решений системы (2), - некоторое решение системы (1). Тогда Н= +U, где +U= .

Доказательство. Докажем, что Н= +U методом встречных включений.

а) Покажем, что . Пусть +U => = + ( – решение системы (2), - решение системы (1)) => - решение системы (1) => .

б) Покажем, что . Пусть и - решение системы (1) - - решение системы (2) => - = => => .

Из а) и б) следует, что Н= +U. Теорема доказана.

Замечание. Из теоремы 12 следует, что для того, чтобы найти множество всех решений системы (1), достаточно найти множество всех решений системы (2) и хотя бы одно решение системы (1).

 

Строчечный и столбцовый ранги матрицы.

Теорема Кронекера-Капелли.

Рассмотрим матрицу A над полем P размера m×n следующего вида:

. Пусть

Определение 1. Вектор называется i-й вектор-строкой матрицы А, ; вектор называется j-м вектор-столбцом матрицы А, .

Таким образом, (1) - система векторов-строк матрицы А, (2) - система векторов-столбцов матрицы А.

Определение 2.Строчным (горизонтальным) рангом матрицы называется ранг её системы векторов-строк, и обозначается rг(A). Столбцовым (вертикальным) рангом матрицы называется ранг её системы векторов-столбцов и обозначается rв(A).

Лемма 1. При элементарных преобразовании матрицы строчный и столбцовый ранги матрицы не изменяются.

Теорема 1. Строчечный и столбцовый ранги матрицы А совпадают, т.е. rг(A)=rв(A); и обозначается r(A); число r(A) называется рангом матрицы А.

Доказательство. Пусть А - матрица размера m×n над полем Р. Покажем что rг(A)=rв(A). Для этого приведём матрицу А с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду А' размера r×n: , где a'11 0, a'2k 0,…,a'rs 0. Так как по лемме 1 rг(A)= rг(A') и rв(A)= rв(A'), то достаточно показать, что rг(A')= rв(A').

Покажем что rг(A')=r. Рассмотрим систему векторов-строк матрицы А': (1'). Покажем, что ранг системы (1') равен r. Для этого достаточно показать, что (1') - линейно независимая система векторов.

Пусть - нулевая линейная комбинация системы (1'). Покажем, что все коэффициенты . В координатной форме нулевая линейная комбинация имеет вид

Умножая и складывая векторы покоординатно, получим систему уравнений

И, поскольку выражая коэффициенты ai поочередно из всех уравнений, начиная с первого, получим

Значит, (1') - линейно независимая система векторов. Тогда (1') - базис системы (1'), и значит, ранг системы (1') равен r, т.е. rг(A')=r.

2) Покажем, что rв(А')=r. Рассмотрим систему (2’) векторов-столбцов матрицы А'. Так как вектор имеет r координат, то Поскольку Pr - это r-мерное векторное пространство, т.е. dimpPr=r, то ранг системы (2) меньше либо равен r, т.е. rв(A')≤r. Рассмотрим систему векторов (3) (всего r векторов; эти векторы соответствуют элементам a'11 0, a'2k 0,…,a'rs 0). Покажем, что (3) - базис системы (2).

а) Покажем, что (3) - линейно независимая система векторов. Пусть

Так как ars 0, то из последнего равенства следует, что s=0 ; … ; так как a2k 0, то из 2-го равенства следует, что k=0; так как a11 0, то из 1-го равенства следует 1=0. Следовательно, (3) - линейно независимая система векторов.

б) Так как (3) - линейно независимая система векторов, состоящая из r векторов, и dimpPr=r, то (3) - базис Pr. В силу (2') – система векторов из Pr, получаем, что (3) - базис системы (2').

Таким образом, rв(A')=r rг(A')= rв(A') rг(A)= rв(A). Теорема доказана.

Исходя из доказанной теоремы, определение ранга матрицы часто формулируют следующим образом:

Определение 3. Рангом матрицы A называется ранг её системы векторов-строк, и обозначается r(A).

Теорема 1 (теорема Кронекера-Капелли). Пусть (4) - неоднородная система линейных уравнений над полем P, A и - соответственно основная и расширенная матрицы системы (4). Система (4) совместна r(A)=r( ), причём, если r=n, то система (4) определена, а если r<n, то система (4) неопределена.

Доказательство. Пусть система (4) совместна (4) имеет хотя бы одно решение (*), где

(5) - система векторов-столбцов матрицы А,

(6) - система векторов-столбцов матрицы . Равенство (*) выполняется вектор является линейной комбинацией векторов системы (5) ранг системы (6) равен рангу системы (5) rв(A)=rв( ) r(A)=r( ).

В случае, когда r(A)=r( ) исследование о том, является ли система (4) определенной или неопределенной, в зависимости от r и n, изложено в вопросе «Решение систем линейных уравнений методом Гаусса».

Замечание.Однородная система линейных уравнений имеет единственное решение тогда и только тогда, когда ранг её матрицы равен числу неизвестных.

Однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг её матрицы меньше числа неизвестных.



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-26; просмотров: 178; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 34.207.247.69 (0.008 с.)