Подпространство. Критерий подпространства.

Определение 1. Подмножество H векторного пространства V над полем Р называется подпространством векторного пространства V, если H является векторным пространством над полем Р относительно тех же операций, что и векторное пространство V.

Теорема 1 (Критерий подпространства). Пусть H - непустое подмножество векторного пространства V над полем Р. Н является подпространством векторного пространства V тогда и только тогда, когда выполняются два условия:

1) ;

2) .

Доказательство.

1. Необходимость ( ⇒ ). Пусть Н – подпространство векторного пространства V над полем Р. Тогда по определению 1 Н – векторное пространство над полем Р. По определению векторного пространства множество Н является замкнутым относительно сложения и относительно умножения векторов из Н на элементы из поля Р, т.е. выполняются условия 1) и 2).

2. Достаточность(⇐). Пусть выполняются условия 1) и 2). Покажем, что Н – подпространство векторного пространства V. В силу определения подпространства, достаточно показать, что Н – векторное пространство над полем Р. Из условий 1) и 2) следует, что множество Н замкнуто относительно сложения и относительно умножения элементов из Н на элементы из поля Р. Проверим для Н выполнимость аксиом векторного пространства. Предварительно отметим что, так как и V – векторное пространство над полем Р, то в Н выполняются обобщенные дистрибутивные законы; обобщенный ассоциативный закон; унитарный закон; ассоциативность и коммутативность сложения.

Покажем, что для Н выполняется аксиома I 2). Так как ∅, то существует . Тогда , т.е. . Это означает, что выполняется аксиома I 2).

Покажем, что для Н выполняется аксиома I 3). Пусть . Тогда по условию 2) . Отсюда, по унитарному закону, следует, что . Следовательно, выполняется аксиома I 3).

Таким образом, Н – векторное пространство над полем Р. По определению подпространства получаем, что Н – подпространство векторного пространства V. Теорема доказана.

 

Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

Определение 1. Пусть V – векторное пространство над полем P, . Система векторов называется линейно зависимой, если Р, не равные 0 одновременно, такие что .

Определение 2. Пусть V – векторное пространство над полем P, . Система векторов называется линейно независимой, если

= 0, = 0,..., = 0.

Простейшие свойства линейно зависимой системы векторов.

Свойство 1. Система векторов является линейно зависимой хотя бы один её вектор является линейной комбинацией остальных.

Свойство 2. Пусть V – векторное пространство над полем P. Если система векторов (1) содержит нулевой вектор, то система (1) линейно зависима.

Доказательство. Пусть, например, . Тогда , где . Это означает, что система (1) линейно зависима. Свойство доказано.

Свойство 3. Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то она линейно зависима, т.е. если (1), (2), _, (2) – линейно зависима, то система (1) линейно зависима.

Доказательство. Так как система (2) линейно зависима, то по определение 1 Р, не равные нулю одновременно, такие что (3). Пусть, например, по определению 1 система (1) линейно зависима. Свойство доказано.

Свойство 4. Если система векторов (1) линейно независима, а система векторов (4) линейно зависима, то вектор является линейной комбинацией векторов системы (1), т.е. говорят, что вектор линейно выражается через векторы системы (1).

Доказательство. Так как система (4) линейно зависима, то по определению 1 Р, не равные нулю одновременно, такие что

(5).

Покажем, что 0. Допустим, что =0 равенство (5) примет вид , причем не равны 0 одновременно система (1) линейно зависима. Противоречие. Следовательно, 0 равенство (5) можно записать в виде:

= + +... + . Таким образом, вектор является линейной комбинацией векторов системы (1). Свойство доказано.

Свойство 5. Если большая система линейно выражается через меньшую, то большая система линейно зависима. Другими словами, пусть (1), (6), и каждый вектор системы (1) линейно выражается через векторы системы (6). Если n > r, то система (1) линейно зависима.

Следствие 5.1. Пусть каждый вектор системы (1) линейно выражается через векторы системы (6) . Если система (1) линейно независима, то n r.