Невырожденные матрицы. Обратная матрица.

12.

13. Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.

14.

15. Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.

16.

17. Определение. Матрица вида:

18. = E,

19. называется единичной матрицей.

20.

21. Определение. Если a_mn = a_nm, то матрица называется симметрической.

22. Определение. Квадратная матрица вида называется диагональной матрицей.

23.

24. Определение. Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.

25. А = ; В = А^Т= ;

26.

27. другими словами, b_ji = a_ij.

28.

29. Определение. Если все элементы матрицы расположенные ниже диагонали равны нулю, то матрица называется диагональной.

30.

31. 3. матрицы. Основные действия над матрицами.

32.

33. Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

34. Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

35.

_36. c_ij = a_ij±b_ij

Пусть m и n два произвольных натуральных числа. Матрицей размера m на n (записывается так )называется совокупность m*n вещественных (комплексных) чисел или элементов другой структуры (многочлены, функции и т.д.), записанных в виде прямоугольной таблицы, которая состоит из

 

С = А + В = В + А.

 

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

A×B = C;

.

Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

 

Свойства операции умножения матриц.

1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ¹ ВА. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.

2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е.:

(АВ)С=А(ВС).

3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е.:

А(В + С) = АВ + АС

(А + В)С = АС + ВС.

 

4) Если произведение АВ определено, то для любого числа a верно соотношение:

a(AB) = (aA)B = A(aB).

 

5) Если определено произведение АВ, то определено произведение В^ТА^Т и выполняется равенство:

(АВ)^Т = В^ТА^Т, где

индексом Т обозначается транспонированная матрица.

 

6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detA×detB.

 

 

4. Элементарные преобразования. Приведение матрицы к ступенчатому виду.

 

Определение. Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие преобразования:

 

1) умножение строки на число, отличное от нуля;

2) прибавление к одной строке другой строки;

3) перестановка строк;

4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);

5) транспонирование;

 

Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями.

С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу прибавить линейную комбинацию остальных строк (столбцов).

 

С помощью этих преобразований матрицу можно привести к ступенчатому виду.

 

Определители 2 и 3-го порядка и методы их вычисления.

Вычисления определителей второго порядка

Чтобы вычислить определитель матрицы второго порядка, надо от произведения элементов главной диагонали отнять произведение элементов побочной диагонали:

Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком "плюс"; аналогично, для второго определителя - соответствующие произведения берутся со знаком "минус", т.е.

Теорема Кронекера-Капелли

Метод Гаусса решения общей

Векторы.Оновные понятия

 

Скалярная величина - величина, которая может быть охарактеризована числом. Например, длина,площадь, масса, температура и т.д.

Вектором называется направленный отрезок ; точка - начало, точка - конец вектора (рис. 1).

Вектор обозначается либо двумя большими буквами - своим началом и концом: либо одной малой буквой: .

Определение

Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым. Чаще всего нулевой вектор обозначается как .

Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых (рис. 2).

Определение

Два коллинеарных вектора и называются сонаправленными, если их направления совпадают: (рис. 3, а). Два коллинеарных вектора и называются противоположно направленными, если их направления противоположны: (рис. 3, б).

Определение

Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости или лежат в одной плоскости (рис. 4).

Два вектора всегда компланарны.

Определение

Длиной (модулем) вектора называется расстояние между его началом и концом:

Подробная теория про длину вектора по ссылке.

Длина нулевого вектора равна нулю.

Определение

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом.

Векторы называются равными, если они лежат на одной или параллельных прямых; их направления совпадают и длины равны.

Иначе говоря, два вектора равны, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют равные длины:

, если

В произвольной точке пространства можно построить единственный вектор , равный заданному вектору .

 

12.

13. Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.

14.

15. Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.

16.

17. Определение. Матрица вида:

18. = E,

19. называется единичной матрицей.

20.

21. Определение. Если a_mn = a_nm, то матрица называется симметрической.

22. Определение. Квадратная матрица вида называется диагональной матрицей.

23.

24. Определение. Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.

25. А = ; В = А^Т= ;

26.

27. другими словами, b_ji = a_ij.

28.

29. Определение. Если все элементы матрицы расположенные ниже диагонали равны нулю, то матрица называется диагональной.

30.

31. 3. матрицы. Основные действия над матрицами.

32.

33. Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

34. Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

35.

_36. c_ij = a_ij±b_ij

Пусть m и n два произвольных натуральных числа. Матрицей размера m на n (записывается так )называется совокупность m*n вещественных (комплексных) чисел или элементов другой структуры (многочлены, функции и т.д.), записанных в виде прямоугольной таблицы, которая состоит из

 

С = А + В = В + А.

 

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

A×B = C;

.

Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

 

Свойства операции умножения матриц.

1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ¹ ВА. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.

2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е.:

(АВ)С=А(ВС).

3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е.:

А(В + С) = АВ + АС

(А + В)С = АС + ВС.

 

4) Если произведение АВ определено, то для любого числа a верно соотношение:

a(AB) = (aA)B = A(aB).

 

5) Если определено произведение АВ, то определено произведение В^ТА^Т и выполняется равенство:

(АВ)^Т = В^ТА^Т, где

индексом Т обозначается транспонированная матрица.

 

6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detA×detB.

 

 

4. Элементарные преобразования. Приведение матрицы к ступенчатому виду.

 

Определение. Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие преобразования:

 

1) умножение строки на число, отличное от нуля;

2) прибавление к одной строке другой строки;

3) перестановка строк;

4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);

5) транспонирование;

 

Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями.

С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу прибавить линейную комбинацию остальных строк (столбцов).

 

С помощью этих преобразований матрицу можно привести к ступенчатому виду.

 

невырожденные матрицы. Обратная матрица.

Определение. Матрица называется вырожденной если определитель составленный из элементов этой матрицы равен нулю., в противном случае невырожденной

 

Обратные матрицы существуют только для невырожденных матриц.

Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А, удовлетворяющие условию:

XA = AX = E,

где Е - единичная матрица того же самого порядка, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А^-1.

 

Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.

 

обычно применяют следующую формулу:

 

 

,

 

где A_ji - матрица алгебраических дополнений.

 

То есть для того чтобы найти обратную мактрицу надо выполнить следующие операции:

1. Найти определитель