Условие совместности общей линейной системы

Теорем1 (теорема Кронекера – Капелли) .Для того чтобы система m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных (6.1) была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы А и ранг расширенной матрицы системы (6.1) были равны, т. е. rang A rang r.

Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы.

Теорем2. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т. е. r = n, то система (6.1) имеет единственное решение.

Теорема3. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т. е. r < n, то система (6.1) обладает бесконечным множеством решений, зависящих от n – r произвольных параметров.

1. – система несовместна.

2. – система имеет единственное решение.

3. – система имеет бесконечно много решений.

Общим решением системы называется представление базисных неизвестных через свободные.

Пусть дана общая система линейных уравнений (14)и требуется установить признак существования решения этой системы, т.е. условия, при которых система (14)является совместной.

Из коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы (14) составим матрицу

a₁₁ a₁₂ … a_1n

A = a₂₁ a₂₂ … a_2n

……………………

a_m1 a_m2 … a_mn

которую назовем основной матрицей системы (14), и матрицу

 

a₁₁ a₁₂ … a_1n b₁

B = a₂₁ a₂₂ … a_2n b₂

……………………… …… (26)

a_m1 a_m2 … a_mn b_m

которую назовем расширенной матрицей системы (14).

Теорема 2.1. Для того чтобы система (14) линейных неоднородных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы был равен рангу ее основной матрицы.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть система (14) совместна и c₁, c₂,..., с_п – некоторое ее решение. Тогда имеют место равенства:

а₁₁с₁ + а₁₂с₂ + …+ а_1nс_n = b₁;

а₂₁с₁ + а₂₂с₂ + …+ а_2nс_n = b₂;

_. ……………………………………

а_m1с₁ + а_m2с₂ + …+ а_mnс_n = b_m

из которых следует, что последний столбец расширенной матрицы (26) есть линейная комбинация остальных ее столбцов с коэффициентами с₁, с₂,..., с_п. Согласно предложению 2, последний столбец матрицы В

может быть вычеркнут без изменения ее ранга. При этом мы из матрицы В получим матрицу А. Таким образом, если ci, c_z,..., с_п — решение системы уравнении (14), то rang А = rang В.

Достаточность. Пусть теперь rang A = rang В. Покажем, что при этом система уравнений (14) совместна. Рассмотрим r базисных столбцов матрицы А. Очевидно, что они будут базисными столбцами и матрицы В. Согласно теореме о базисных строках и столбцах, последний столбец матрицы В можно представить как линейную комбинацию базисных столбцов, а следовательно, и как линейную комбинацию всех столбцов матрицы А, т. е.

b₁ = а₁₁с₁ + а₁₂с₂ + …+ а_1nс_n ;

b₂ = а₂₁с₁ + а₂₂с₂ + …+ а_2nс_n ;

_. …………………………………

b_m = а_m1с₁ + а_m2с₂ + …+ а_mnс_n,

где c₁, c₂,..., с_п — коэффициенты линейных комбинаций. Таким образом, системе (27) удовлетворяют значения x₁ = c₁,..., х_п = с_п, следовательно, она совместна. Т е о р е м а д о к а з а н а.

Доказанная теорема совместности системы линейных уравнений называется теоремой Кронекера – Капелли.

 

Прямые методы решения СЛАУ:
Метод Крамера
Метод обратной матрицы
Метод Гаусса

 

 

Векторы.Оновные понятия

 

Скалярная величина - величина, которая может быть охарактеризована числом. Например, длина,площадь, масса, температура и т.д.

Вектором называется направленный отрезок ; точка - начало, точка - конец вектора (рис. 1).

Вектор обозначается либо двумя большими буквами - своим началом и концом: либо одной малой буквой: .

Определение

Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым. Чаще всего нулевой вектор обозначается как .

Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых (рис. 2).

Определение

Два коллинеарных вектора и называются сонаправленными, если их направления совпадают: (рис. 3, а). Два коллинеарных вектора и называются противоположно направленными, если их направления противоположны: (рис. 3, б).

Определение

Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости или лежат в одной плоскости (рис. 4).

Два вектора всегда компланарны.

Определение

Длиной (модулем) вектора называется расстояние между его началом и концом:

Подробная теория про длину вектора по ссылке.

Длина нулевого вектора равна нулю.

Определение

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом.

Векторы называются равными, если они лежат на одной или параллельных прямых; их направления совпадают и длины равны.

Иначе говоря, два вектора равны, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют равные длины:

, если

В произвольной точке пространства можно построить единственный вектор , равный заданному вектору .