Условие совместности общей линейной системы 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Условие совместности общей линейной системы



Теорем1 (теорема Кронекера Капелли) .Для того чтобы система m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных (6.1) была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы А и ранг расширенной матрицы системы (6.1) были равны, т. е. rang A rang r.

Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы.

Теорем2. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т. е. r = n, то система (6.1) имеет единственное решение.

Теорема3. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т. е. r < n, то система (6.1) обладает бесконечным множеством решений, зависящих от n – r произвольных параметров.

1. – система несовместна.

2. – система имеет единственное решение.

3. – система имеет бесконечно много решений.

Общим решением системы называется представление базисных неизвестных через свободные.

Пусть дана общая система линейных уравнений (14)и требуется установить признак существования решения этой системы, т.е. условия, при которых система (14)является совместной.

Из коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы (14) составим матрицу

a11 a12 … a1n

A = a21 a22 … a2n

……………………

am1 am2 … amn

которую назовем основной матрицей системы (14), и матрицу

 


a11 a12 … a1n b1

B = a21 a22 … a2n b2

……………………… …… (26)

am1 am2 … amn bm

которую назовем расширенной матрицей системы (14).

Теорема 2.1. Для того чтобы система (14) линейных неоднородных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы был равен рангу ее основной матрицы.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть система (14) совместна и c1, c2,..., сп некоторое ее решение. Тогда имеют место равенства:

а11с1 + а12с2 + …+ а1nсn = b1;

а21с1 + а22с2 + …+ а2nсn = b2;

. ……………………………………

аm1с1 + аm2с2 + …+ аmnсn = bm

из которых следует, что последний столбец расширенной матрицы (26) есть линейная комбинация остальных ее столбцов с коэффициентами с1, с2,..., сп. Согласно предложению 2, последний столбец матрицы В

может быть вычеркнут без изменения ее ранга. При этом мы из матрицы В получим матрицу А. Таким образом, если ci, cz,..., сп решение системы уравнении (14), то rang А = rang В.

Достаточность. Пусть теперь rang A = rang В. Покажем, что при этом система уравнений (14) совместна. Рассмотрим r базисных столбцов матрицы А. Очевидно, что они будут базисными столбцами и матрицы В. Согласно теореме о базисных строках и столбцах, последний столбец матрицы В можно представить как линейную комбинацию базисных столбцов, а следовательно, и как линейную комбинацию всех столбцов матрицы А, т. е.

b1 = а11с1 + а12с2 + …+ а1nсn ;

b2 = а21с1 + а22с2 + …+ а2nсn ;

. …………………………………

bm = аm1с1 + аm2с2 + …+ аmnсn,

где c1, c2,..., сп коэффициенты линейных комбинаций. Таким образом, системе (27) удовлетворяют значения x1 = c1,..., хп = сп, следовательно, она совместна. Т е о р е м а д о к а з а н а.

Доказанная теорема совместности системы линейных уравнений называется теоремой Кронекера – Капелли.

 

Прямые методы решения СЛАУ:
Метод Крамера
Метод обратной матрицы
Метод Гаусса

 

 

Векторы.Оновные понятия

 

Скалярная величина - величина, которая может быть охарактеризована числом. Например, длина,площадь, масса, температура и т.д.

Вектором называется направленный отрезок ; точка - начало, точка - конец вектора (рис. 1).

Вектор обозначается либо двумя большими буквами - своим началом и концом: либо одной малой буквой: .

Определение

Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым. Чаще всего нулевой вектор обозначается как .

Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых (рис. 2).

Определение

Два коллинеарных вектора и называются сонаправленными, если их направления совпадают: (рис. 3, а). Два коллинеарных вектора и называются противоположно направленными, если их направления противоположны: (рис. 3, б).

Определение

Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости или лежат в одной плоскости (рис. 4).

Два вектора всегда компланарны.

Определение

Длиной (модулем) вектора называется расстояние между его началом и концом:

Подробная теория про длину вектора по ссылке.

Длина нулевого вектора равна нулю.

Определение

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом.

Векторы называются равными, если они лежат на одной или параллельных прямых; их направления совпадают и длины равны.

Иначе говоря, два вектора равны, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют равные длины:

, если

В произвольной точке пространства можно построить единственный вектор , равный заданному вектору .

 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-09-05; просмотров: 238; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 54.90.236.179 (0.013 с.)