Теоремы о непрерывности монотонной функции

Теоремы о непрерывности монотонной функции

Если ф-ии f(x)b g(x) определены на одном и том же промежутке[a,b]и обе непрерывны в т. Хо,тогда в этой точке непрерывными будут ф-ии f(x)+-g(x),f(x)*g(x),f(x)/g(x),lim(f(x)+-g(x))=limf(x)+-limg(x)

Правило Лопиталя, при 0 / 0.

Пусть функции f(x) и φ(x) непрерывны и дифферен-цируемы в окрестности точки x0 и обращается в нуль в этой точке.

Пусть φ ′(x) ≠ 0 в окрестности точки x0

Если существует предел ,то

Применим к функциям f(x) и φ(x) теорему Коши для отрезка [x0;x], лежащего в окрестности точки x0, тогда , где с лежит между x0 и х.

При x→x0 величина с также стремится к х0; перейдем в предыдущем равенстве к пределу:

Так как то Поэтому

(предел отношения двух бесконечно малых равен преде-лу отношения их производных, если последний суще-ствует)

Правило Лопиталя, при ∞ / ∞.

Пусть функции f(x) и φ(x) непрерывны и дифферен-цируемы в окрестности точки x0 (кроме точки x0), в этой окрестности

Если существует предел ,то

Неопределенности вида 0∙∞; ∞-∞; 1∞; ∞0; 00 сводятся к двум основным.

Например, 0∙∞

Пусть f(x)→0, φ(x)→∞ при х→х0

 

22.. Непрерывные функции и их свойства. Точка разрыва функций и их классификация.

Пусть функция y=f(x) определена в точке х0 и в некото-рой окрестности этой точки. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0, если существует предел функ-ции в этой точке и он равен значению функции в этой точке:

 

 

Это означает:

- функция определена в точке х0 и в ее окрестности;

- функция имеет предел при х→х0

- предел функции в точке х0 равен значению функции в этой точке, т.е. выполняется равенство.

Это означает, что при нахождении предела непрерыв-ной функции f(x) можно перейти к пределу под знаком функции, то есть в функции f(x) вместо аргумента х подставить предельное значение х0

Свойства непрерывных функций

Теорема Больцана-Коши

Пусть f(x) на промежутке [a,b] непрерывна и на концах промежутка принимает значение разных знаков,тогда сущ-ет С, а<c<b f(c)=0

Теорема Больцана-Коши2

Пусть ф-я оределена и непрерывна в некотором промежутке Х,если а<b

A,b-ф-я принимает неравные значения

 

Точки разрыва функции – это точки в которых нару-шается непрерывность функции.

Точка разрыва х0 называется точкой разрыва 1 рода функции y=f(x), если в этой точке существуют конеч-ные пределы функции слева и справа (односторонние пределы)

и

При этом, если:- А1=А2 то точка х0 называется точкой устранимого разрыва;

- А1≠А2 то точка х0 называется точкой конечного раз-рыва.

|A1 – A2| называется скачком функции.

Точка разрыва х0 называется точкой разрыва 2 рода функции y=f(x), если по крайней мере один из односто-ронних пределов (слева или справа) не существует, либо равен бесконечности.

Теорема Вейерштрасса 1

Если ф-я f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a,b],то она ограничена

Теорема Вейерштрасса 2

Если ф-я f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a,b],то она достигает в этом промежутке своей верхней и нижней границы.

 

Теорема Ролля,Теорема Ферма

Теорема Ро́лля (теорема о нуле производной) утверждает, что

Если вещественная функция, непрерывная на отрезке[a,b] и дифференцируемая на интервале(a,b), принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

Доказательство

Если функция на отрезке постоянна, то утверждение очевидно, поскольку производная функции равна нулю в любой точке интервала.

Если же нет, поскольку значения функции в граничных точках сегмента равны, то согласно теореме Вейерштрасса, она принимает своё наибольшее или наименьшее значение в некоторой точке интервала, то есть имеет в этой точке локальный экстремум, и по лемме Ферма, в этой точке производная равна 0.в интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

Теорема Ролля:пусть

1)f(x)определена и непрерывна на промежутке[a,b]

2)сущ-ет конечная производная f’(x)в интервале(a,b)

3)на концах f(a)=f(b),тогда сущ-ет С,а<C<b f’(c)=0 m<=f(x)<=M

Функция достигает наибол. И наименьш. Зн-е дельта m=M отсюда следует f(x)=const отсюда следует f’(x)=0

2m не равно M

На концах значения одинаковые,то или мин или максимальное достигают во внутренней точке то по теор. Ферма в этой точке производная равна нулю

Теорема Ферма:
Пусть ф-я f(x)определена в некоторых промежутках Х и во внутренней точке С принимает наибольшее (наименьшее)значение,тогда f’(x)=0

Теорема Коши

1)Пусть f(x),g(x) определены на [a,b]

2)сущ-ют производные f’(x),g’(x) на интервале(a,b)

3)g’(x) не равно 0,любое Х э [a,b],тогда

Существует С, a<c<b, f’(c)/g’(c)=f(b)-f(a)/g(b)-g(a)

Док-во

g(b) не равно g(a)

составим вспомогательную фун-ию F(x)=f(x)-f(a)-f(b)-f(a)/g(b)-g(a)*(g(x)+g(a)) непрерывна F’(x)=f’(x)- f(b)-f(a)/g(b)-g(a)*g’(x)

F(a)=f(a)-f(a)-(f(b)-f(a)/g(b)-g(a))*(g(a)-g(a))=0

F(b)=f(b)-f(a)-(f(b)-f(a)/g(b)-g(a))*(g(b)-g(a))=0

Сущ-ет С F’(c)=0 отсюда следует f’(c)-(f(b)-f(a)/g(b)/g(a))*g’(c)=0

F’(c) /g’(c)=f(b)-f(a)/g(b)-g(a)

Формула Лейбница

Пусть y=f(x) дифференцируема функция, а ее аргумент х – независимая переменная. Тогда дифференциал dy=f ′(x)dx есть также функция х, можно найти дифференци-ал этой функции. Дифференциал от дифференциала есть второй дифференциал.

Производную можно рассматривать, как отношение дифференциала соответствующего порядка к соответ-ствующей степени дифференциала независимой пере-менной.

Дифференциал n-ого порядка, есть дифференциал от дифференциала (n-1)-ого порядка, т.е. производную функции можно рассматривать, как отношение ее диф-ференциала соответствующего порядка к соответству-ющей степени дифференциала независимой перемен-ной.

Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно. Полагаем

Если функция дифференцируема в, то производная первого порядка определяется соотношением

Пусть теперь производная -го порядка определена в некоторой окрестности точки и дифференцируема. Тогда

Если функция имеет в некоторой области D частную производную по одной из переменных, то названная производная, сама являясь функцией от может иметь в некоторой точке частные производные по той же или по любой другой переменной. Для исходной функции эти производные будут частными производными второго порядка (или вторыми частными производными).

или

или

 

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Например,

Формула Лейбница

Y^(n)=(U*V)^n=Сумма (от n до k=0) U^(n-k)*V^(k)

Вторая производная для функции, заданной параметрически

(f’(x))’-производная второго порядка

F’’(x); Y’’=d^2y/dx^2

29. Правило Лопиталя:

Правило Лопита́ля — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида и. Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Условия

1. или

2.f(x)и g(x) дифференцируемы в проколотой окрестности

3. в проколотой окрестности

4. существует

Пределы также могут быть односторонними.

Теорема.

Пусть f(x),g(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности т.а и равны нулю в этой точке. Пусть g’(a)не равно нулю,тогда если сущ-ет limf’(x)/g’(x)=l,то lim f(x)/g(x)= lim f’(x)/g’(x)=l

Замечание 1.

Теорема верна в том случае,если ф-и f(x) и g(x) не определены в точке а,но сущ-ет limf(x)=0,lim g(x)=0

Замечание 2.

Т.верна в том случае,если х принадлежит

Замечание 3

Если lim f’(x)/g’(x)=0/0 дифференцирование можно повторить еще раз

Теоремы о непрерывности монотонной функции

Если ф-ии f(x)b g(x) определены на одном и том же промежутке[a,b]и обе непрерывны в т. Хо,тогда в этой точке непрерывными будут ф-ии f(x)+-g(x),f(x)*g(x),f(x)/g(x),lim(f(x)+-g(x))=limf(x)+-limg(x)