Необходимое и достаточное условия существования функции 2-х переменных.

 

 

Теорема 46.1 (необходимые условия экстремума). Если в точке N(x0;y0) дифференцируемая функция z=ƒ(х;у) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: ƒ'x(х0;у0)=0, ƒ'y(х0;у0)=0.

 

Зафиксируем одну из переменных. Положим, например, у=у0. Тогда получим функцию ƒ(х;у0)=φ(х) одной переменной, которая имеет экстремум при х = х0. Следовательно, согласно необходимому условию экстремума функции одной переменной (см. п. 25.4), φ'(х0) = 0, т. е. ƒ'x(х0;y0)=0.

 

Аналогично можно показать, что ƒ'y(х0;у0) = 0.

 

Геометрически равенства ƒ'x(х0;у0)=0 и ƒ'y(х0;у0)=0 означают, что в точке экстремума функции z=ƒ(х;у) касательная плоскость к поверхности, изображающей функцию ƒ(х;у), параллельна плоскости Оху, т. к. уравнение касательной плоскости есть z=z0 (см. формулу (45.2)).

 

Замечание. Функция может иметь экстремум в точках, где хотя бы одна из частных производных не существует. Например, функция имеет максимум в точке О(0;0) (см. рис. 211), но не имеет в этой точке частных производных.

 

Точка, в которой частные производные первого порядка функции z ≈ ƒ(х; у) равны нулю, т. е. f'x=0, f'y=0, называется стационарной точкой функ ции z.

 

Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками.

 

В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Рассмотрим, например, функцию z = ху. Для нее точка О(0; 0) является критической (в ней z'x=у и z'y — х обращаются в ноль). Однако экстремума в ней функция z=ху не имеет, т. к. в достаточно малой окрестности точки О(0; 0) найдутся точки для которых z>0 (точки I и III четвертей) и z < 0 (точки II и IV четвертей).

 

Таким образом, для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо каждую критическую точку функции подвергнуть дополнительному исследованию.

Теорема 46.2 (достаточное условие экстремума). Пусть в стационарной точке (хо;уо) и некоторой ее окрестности функция ƒ(х;у) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (х0;у0) значения A=f''xx(x0;y0), В=ƒ''xy(х0;у0), С=ƒ''уy(х0;у0). Обозначим Тогда:

 

1. если Δ > 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) имеет экстремум: максимум, если А < 0; минимум, если А > 0;

 

2. если Δ < 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

 

В случае Δ = 0 экстремум в точке (х0;у0) может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

 

Примем без доказательства.

28. Понятие неопределенного интеграла. Основные свойства неопределенного интеграла

Неопределенным интегралом называется функция F(x) + C, содержащая произвольное постоянное C, дифференциал которой равен подынтегральному выражению f(x)dx, т.е. или

Неопределенным интегралом от функции f(x) наз.совокупность всех её первообразных

dF(x) = f(x) dx = F(x) + C Первообразной от функции f(x) наз. другая функция F(x), производная от которой равна f(x).

Основные свойства неопределенного интеграла.

1⁰. ( f(x) dx)’ = f(x), т.к. (F(x) + C)’ = F’(x) = f(x)

Производная от интеграла равна подынтегральной функции.

2⁰. d ( f(x) dx) = ( f(x) dx)’dx = f(x) dx

Дифференциал от интеграла равен подынтегральному выражению

3⁰. d F(x) = F’(x) dx = f(x) dx = F(x) + C

Интеграл от дифференциала функции дает функцию плюс константа.

4⁰. a f(x) dx = a f(x) dx, т.к. d (a F(x)) = a dF(x)

Постоянный множитель выносится за знак интеграла.

5⁰. [f(x) + g(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx, т.к. производные совпадают.

Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов.

 

6⁰. Инвариантность формы неопределенного интеграла: Переменную интегрирования х можно заменить в интеграле на произвольную дифференцируемую функцию u=u(x), т.е.

если f(x) dx = F(x) + C (а), то f(u(x)) du(x) = F(u(x)) + C (б).

 

29. Основные методы интегрирования неопределенного интеграла

1. Метод введения нового аргумента. Если

то где — непрерывно дифференцируемая функция.

2. Метод разложения. Если то

3. Метод подстановки. Если — непрерывна, то, полагая где непрерывна вместе со своей производной , получим

4. Метод интегрирования по частям. Если и — некоторые дифференцируемые функции от , то

30. Интегрирование дробно-рациональной функции.

31. Интегрирование тригонометрических функций.

Интегралы типа sin^mx cosⁿx dx, где m или n НЕчетное число (8)

Используем метод подведения функции под знак дифференциала

 

sin^{2 m} x cos^{2 n +1} x dx = sin^{2 m} x cos^{2 n} x cos x dx= sin^{2 m} x cos^{2 n} x d (sin x) =

= sin^{2 m} x (1 – sin² x) ⁿ d (sin x) = u ^{2 m} (1 – u²) ⁿ du

Пр. = = - = -

sin³x dx = sin²x sin x dx = - (1-cos²x)d(cos x) = - (1–t²)dt = -cos x + cos³x/3 +C

sin²x cos x dx,

Интегралы типа sin^mx cosⁿx dx, где m и n четные числа (9)

Метод понижения степени по формулам

sin²x = ½ (1 – cos 2x); cos²x = ½ (1 + cos 2x); sin x cos x = ½ sin 2x

или замена tg x = t (см. ниже)

Пр. sin²x dx = ½ (1 – cos 2x) dx = ½ dx - ¼ cos 2x d(2x) = x/2 - ¼ sin 2x +C

sin²x cos²x dx, cos⁴x dx

Интегралы типа sin ax cos bx dx по формулам (10)

 

sin a cos b = ½[sin(a+b) + sin(a-b)]; cos a cos b = ½[cos(a+b) + cos(a-b)]

sin a sin b = ½[cos(a-b) – cos(a+b)]

Пр. sin 3x cos x dx = ½ (sin 4x + sin 2x)dx = -1/8 cos 4x - ¼ cos 2x + C

sin 5x cos 3x dx

Интегралы типа R(tg(x), sin²ⁿ x, cos^2mx) dx Замена tg x = t, тогда (11)

= (1 + tg²x) dx = dt dx = dt/(1+t²), x = arctg t

cos²x = = , sin²x = (1 – cos²x) =

Пр. tg³x dx = t³/ (1+t²) dt = (t³ + t – t)/ (1+t²) dt = t dt - t/(1+t²) dt =

= t²/2 - ½ d(1+t²)/ (1+t²) = ½ tg²x – ½ ln |1+tg²x| + C

Пр. = = (t ^-4 + t ^–2) dt = - (tg x)^-3 /3 - (tg x) ^–1 + C

Универсальная замена tg x/2 = t в интегралах R(sin x,cos x) dx удобна, когда sin x, cos x входят в R() в 1-ой степени,тогда sin x = , cos x = , dx =

и приходим к интегралу от рациональной алгебраической дроби.

{ sin x = 2sin x/2 cos x/2 = 2 cos²x/2 = ; (12)

cos x = cos²x/2 – sin²x/2 = cos²x/2 (1 - ) = cos²x/2 (1 – t²) = }

Пр. = { 1 + sin x = 1 + = } = 2 =

= 2 = 2 = + C

;