Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Необходимое и достаточное условия существования функции 2-х переменных.↑ ⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5 Содержание книги
Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте
Теорема 46.1 (необходимые условия экстремума). Если в точке N(x0;y0) дифференцируемая функция z=ƒ(х;у) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: ƒ'x(х0;у0)=0, ƒ'y(х0;у0)=0.
Зафиксируем одну из переменных. Положим, например, у=у0. Тогда получим функцию ƒ(х;у0)=φ(х) одной переменной, которая имеет экстремум при х = х0. Следовательно, согласно необходимому условию экстремума функции одной переменной (см. п. 25.4), φ'(х0) = 0, т. е. ƒ'x(х0;y0)=0.
Аналогично можно показать, что ƒ'y(х0;у0) = 0.
Геометрически равенства ƒ'x(х0;у0)=0 и ƒ'y(х0;у0)=0 означают, что в точке экстремума функции z=ƒ(х;у) касательная плоскость к поверхности, изображающей функцию ƒ(х;у), параллельна плоскости Оху, т. к. уравнение касательной плоскости есть z=z0 (см. формулу (45.2)).
Замечание. Функция может иметь экстремум в точках, где хотя бы одна из частных производных не существует. Например, функция имеет максимум в точке О(0;0) (см. рис. 211), но не имеет в этой точке частных производных.
Точка, в которой частные производные первого порядка функции z ≈ ƒ(х; у) равны нулю, т. е. f'x=0, f'y=0, называется стационарной точкой функ ции z.
Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками.
В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Рассмотрим, например, функцию z = ху. Для нее точка О(0; 0) является критической (в ней z'x=у и z'y — х обращаются в ноль). Однако экстремума в ней функция z=ху не имеет, т. к. в достаточно малой окрестности точки О(0; 0) найдутся точки для которых z>0 (точки I и III четвертей) и z < 0 (точки II и IV четвертей).
Таким образом, для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо каждую критическую точку функции подвергнуть дополнительному исследованию. Теорема 46.2 (достаточное условие экстремума). Пусть в стационарной точке (хо;уо) и некоторой ее окрестности функция ƒ(х;у) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (х0;у0) значения A=f''xx(x0;y0), В=ƒ''xy(х0;у0), С=ƒ''уy(х0;у0). Обозначим Тогда:
1. если Δ > 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) имеет экстремум: максимум, если А < 0; минимум, если А > 0;
2. если Δ < 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.
В случае Δ = 0 экстремум в точке (х0;у0) может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.
Примем без доказательства. 28. Понятие неопределенного интеграла. Основные свойства неопределенного интеграла Неопределенным интегралом называется функция F(x) + C, содержащая произвольное постоянное C, дифференциал которой равен подынтегральному выражению f(x)dx, т.е. или Неопределенным интегралом от функции f(x) наз.совокупность всех её первообразных dF(x) = f(x) dx = F(x) + C Первообразной от функции f(x) наз. другая функция F(x), производная от которой равна f(x). Основные свойства неопределенного интеграла. 10. ( f(x) dx)’ = f(x), т.к. (F(x) + C)’ = F’(x) = f(x) Производная от интеграла равна подынтегральной функции. 20. d ( f(x) dx) = ( f(x) dx)’dx = f(x) dx Дифференциал от интеграла равен подынтегральному выражению 30. d F(x) = F’(x) dx = f(x) dx = F(x) + C Интеграл от дифференциала функции дает функцию плюс константа. 40. a f(x) dx = a f(x) dx, т.к. d (a F(x)) = a dF(x) Постоянный множитель выносится за знак интеграла. 50. [f(x) + g(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx, т.к. производные совпадают. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов.
60. Инвариантность формы неопределенного интеграла: Переменную интегрирования х можно заменить в интеграле на произвольную дифференцируемую функцию u=u(x), т.е. если f(x) dx = F(x) + C (а), то f(u(x)) du(x) = F(u(x)) + C (б).
29. Основные методы интегрирования неопределенного интеграла 1. Метод введения нового аргумента. Если то где — непрерывно дифференцируемая функция. 2. Метод разложения. Если то 3. Метод подстановки. Если — непрерывна, то, полагая где непрерывна вместе со своей производной , получим 4. Метод интегрирования по частям. Если и — некоторые дифференцируемые функции от , то 30. Интегрирование дробно-рациональной функции. 31. Интегрирование тригонометрических функций. Интегралы типа sinmx cosnx dx, где m или n НЕчетное число (8) Используем метод подведения функции под знак дифференциала
sin2 m x cos2 n +1 x dx = sin2 m x cos2 n x cos x dx= sin2 m x cos2 n x d (sin x) = = sin2 m x (1 – sin2 x) n d (sin x) = u 2 m (1 – u2) n du Пр. = = - = - sin3x dx = sin2x sin x dx = - (1-cos2x)d(cos x) = - (1–t2)dt = -cos x + cos3x/3 +C sin2x cos x dx, Интегралы типа sinmx cosnx dx, где m и n четные числа (9) Метод понижения степени по формулам sin2x = ½ (1 – cos 2x); cos2x = ½ (1 + cos 2x); sin x cos x = ½ sin 2x или замена tg x = t (см. ниже) Пр. sin2x dx = ½ (1 – cos 2x) dx = ½ dx - ¼ cos 2x d(2x) = x/2 - ¼ sin 2x +C sin2x cos2x dx, cos4x dx Интегралы типа sin ax cos bx dx по формулам (10)
sin a cos b = ½[sin(a+b) + sin(a-b)]; cos a cos b = ½[cos(a+b) + cos(a-b)] sin a sin b = ½[cos(a-b) – cos(a+b)] Пр. sin 3x cos x dx = ½ (sin 4x + sin 2x)dx = -1/8 cos 4x - ¼ cos 2x + C sin 5x cos 3x dx Интегралы типа R(tg(x), sin2n x, cos2mx) dx Замена tg x = t, тогда (11) = (1 + tg2x) dx = dt dx = dt/(1+t2), x = arctg t cos2x = = , sin2x = (1 – cos2x) = Пр. tg3x dx = t3/ (1+t2) dt = (t3 + t – t)/ (1+t2) dt = t dt - t/(1+t2) dt = = t2/2 - ½ d(1+t2)/ (1+t2) = ½ tg2x – ½ ln |1+tg2x| + C Пр. = = (t -4 + t –2) dt = - (tg x)-3 /3 - (tg x) –1 + C Универсальная замена tg x/2 = t в интегралах R(sin x,cos x) dx удобна, когда sin x, cos x входят в R() в 1-ой степени,тогда sin x = , cos x = , dx = и приходим к интегралу от рациональной алгебраической дроби. { sin x = 2sin x/2 cos x/2 = 2 cos2x/2 = ; (12) cos x = cos2x/2 – sin2x/2 = cos2x/2 (1 - ) = cos2x/2 (1 – t2) = } Пр. = { 1 + sin x = 1 + = } = 2 = = 2 = 2 = + C ;
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-21; просмотров: 743; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.144.119.149 (0.011 с.) |