Точки разрыва и их классификация.

Как было сказано выше, функция f(x) непрерывна в точке х₀, если

Если в точке х₀ это двойное равенство не выполняется, то точка х₀ называется точка разрыва функции.

Точками разрыва будем называть также точки, в которых f(x) не определена, но в любой d-окрестности которых имеются точки области определения функции f(x).

Классификация точек разрыва.

Пусть =f(x₀+0)=А₊ и =f(x₀-0)=А _– правый и левый односторонний пределы.

1) А₊=А_-≠f(x₀) - х₀ – точка устранимого разрыва.

(можно доопределить функцию в точке х₀: f(x₀)=f(x₀+0)=f(x₀-0))/

 

 

2) Существуют конечные пределы =f(x₀+0)=А₊ и =f(x₀-0)=А _–, но А₊≠А_- f(x₀) - х₀ – точка разрыва 1-го рода.

А₊-А_- - скачок функции в точке х₀. Пример. f(x)=

Эта функция определена всюду, кроме точки х₀=0, но в любой d-окрестности этой точки имеются точки области определения этой функции. Следовательно, х₀=0 – точка разрыва функции f(x)= .

= , =

Т.о. существуют конечные односторонние пределы, но они не равны. Значит, х₀=0 – точка разрыва 1-го рода.

Величина скачка функции в этой точке: f(+0)-f(-0)= =p.

3) Если в точке х₀ не существует хотя бы один из односторонних пределов или в точке х₀ хотя бы один из односторонних пределов бесконечен, то х₀ – точка разрыва 2-го рода.

Например, функция - определена всюду, кроме точки х₀=2, но в любой d-окрестности этой точки имеются точки области определения этой функции. Следовательно, х₀=2 – точка разрыва функции f(x). Т.к. функция не имеет предела при х→2, то это точка разрыва 2-го рода.

2) Функция у= - в точке х=3 имеет точку разрыва 2-го рода, т.к. односторонние пределы бесконечны.

= , =

Пример. Исследовать на непрерывность функцию

f(x)=

Функции у=х³+1, у=2 и у=3х непрерывны на всей числовой прямой, поэтому данная функция может иметь разрыв только в точках, где меняется ее аналитическое выражение, т.е. в точках х₁=1 и х₂=2.

Исследуем функцию на непрерывность в этих точках, для чего соответствующие найдем односторонние пределы и значения функции.

1) В точке х₁=1.

значение f(1) - неопределенно

Т.о. , т.е. точка х₁=1 – точка устранимого разрыва функции.

2) В точке х₂=2

f(2)=2

Т.о. f(2)=2, т.е. точка х₂ – точка разрыва 2-го рода.

Скачок функции в точке х₂: 6-2=4.

График.

f(x)=

В точке х₁=-Π разрыв 1-го рода и непрерывна слева. Скачок функции в точке х₁ равен -Π.

В точке х₂=Π/2 – точка устранимого разрыва (f(Π/2) – неопределенно).

Свойства функций, непрерывных в замкнутом промежутке.

Первая теорема Больцано-Коши. (Теорема об обращении функции в ноль)

Теорема 1. Пустьфункция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков (т.е. f(a)∙f(b)<0), то внутри отрезка найдется такая точка с (a,b) такая, что f(с)=0. (Рисунок)

Замечание. Эта теорема есть достаточное условие для разрешимости уранвений вида f(x)=0. На ней основывается метод интервалов.

Доказательство.

1) Пусть для определенности f(a)>0, f(b)<0. Разделим отрезок [a,b] пополам, получим точку с₁= . Тогда возможны 2 варианта: 1) f(c₁)=0 – тогда точка с₁-искомая

2) f(c₁)≠0, т.е. либо f(с₁)>0, либо f(с₁)<0. Тогда на концах только одного из отрезков [a,с₁] и [с₁,b] функция принимает значения разных знаков.

Обозначим этот отрезок I₁=[a₁,b₁]. Разделим отрезок I₁ пополам точкой с₂= . Тогда возможны 2 варианта: 1) f(c₂)=0 – тогда точка с₁-искомая

2) f(c₂)≠0, т.е. либо f(с₂)>0, либо f(с₂)<0. Тогда на концах только одного из отрезков [a₁,с₂] и [с₂,b₁] функция принимает значения разных знаков. И т.д. до бесконечности. Если на некотором шаге мы получим точку c_k такую, что f(c_k)=0, то теорема доказана.

В противном случае мы получим последовательность вложенных отрезков:

I₁ÉI₂É…ÉI_kÉ…

На k-м шаге получим отрезок I_k=[a_k,b_k] такой, что f(a_k)>0 f(b_k)>0

Согласно лемме о вложенных отрезках сÎI_k, k=1,2,…

Покажем, что f(с)=0.

Последовательность левых концов а_k→c, k→¥

Последовательность правых концов b_k→c, k→¥

Т.к. 0£с-а_k£êI_kê= и 0→0,k→¥ и →0,k→¥, то, по теореме о пределе промежуточной функции, с-а_k→0,k→¥, т.е. а_k→с,k→¥,

По условию, функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], а значит непрерывна и в точке сÎ[a,b]. Следовательно, f(c)= =

Но f(a_k)>0 и ³0, а f(b_k)<0 и £0.

Получили, что f(c)³0 и f(c)£0, следовательно, f(c)=0. ч.т.д.

Замечание. Требование непрерывности функция f(x) во всех точках отрезка [a,b] существенно. Например, рассмотрим функцию f(x)= на отрезке [-1,1]. Хотя на концах этого отрезка функция и принимает значения разных знаков, но в нуль на [-1,1] не обращается, т.к. не является непрерывной в точке х=0.