Точки разрыва и их классификация.



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Точки разрыва и их классификация.



Как было сказано выше, функция f(x) непрерывна в точке х0, если

Если в точке х0 это двойное равенство не выполняется, то точка х0 называется точка разрыва функции.

Точками разрывабудем называть также точки, в которых f(x) не определена, но в любой d-окрестности которых имеются точки области определения функции f(x).

Классификация точек разрыва.

Пусть =f(x0+0)=А+ и =f(x0-0)=А правый и левый односторонний пределы.

1) А+-≠f(x0) - х0точка устранимого разрыва .

(можно доопределить функцию в точке х0: f(x0)=f(x0+0)=f(x0-0))/

 

 

2) Существуют конечные пределы =f(x0+0)=А+ и =f(x0-0)=А , но А+≠А- f(x0) - х0точка разрыва 1-го рода.

А+- - скачок функции в точке х0. Пример.f(x)=

Эта функция определена всюду, кроме точки х0=0, но в любой d-окрестности этой точки имеются точки области определения этой функции. Следовательно, х0=0 – точка разрыва функции f(x)= .

= , =

Т.о. существуют конечные односторонние пределы, но они не равны. Значит, х0=0 – точка разрыва 1-го рода.

Величина скачка функции в этой точке: f(+0)-f(-0)= =p.

3) Если в точке х0 не существует хотя бы один из односторонних пределов или в точке х0 хотя бы один из односторонних пределов бесконечен, то х0точка разрыва 2-го рода.

Например, функция - определена всюду, кроме точки х0=2, но в любой d-окрестности этой точки имеются точки области определения этой функции. Следовательно, х0=2 – точка разрыва функции f(x). Т.к. функция не имеет предела при х→2, то это точка разрыва 2-го рода.

2) Функция у= - в точке х=3 имеет точку разрыва 2-го рода, т.к. односторонние пределы бесконечны.

= , =

Пример. Исследовать на непрерывность функцию

f(x)=

Функции у=х3+1, у=2 и у=3х непрерывны на всей числовой прямой, поэтому данная функция может иметь разрыв только в точках, где меняется ее аналитическое выражение, т.е. в точках х1=1 и х2=2.

Исследуем функцию на непрерывность в этих точках, для чего соответствующие найдем односторонние пределы и значения функции.

1) В точке х1=1.

значение f(1) - неопределенно

Т.о. , т.е. точка х1=1 – точка устранимого разрыва функции.

2) В точке х2=2

f(2)=2

Т.о. f(2)=2, т.е. точка х2 – точка разрыва 2-го рода.

Скачок функции в точке х2: 6-2=4.

График.

f(x)=

В точке х1=-Π разрыв 1-го рода и непрерывна слева. Скачок функции в точке х1 равен -Π.

В точке х2=Π/2 – точка устранимого разрыва (f(Π/2) – неопределенно).


Свойства функций, непрерывных в замкнутом промежутке.

Первая теорема Больцано-Коши. (Теорема об обращении функции в ноль)

Теорема 1.Пустьфункция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков (т.е. f(a)∙f(b)<0), то внутри отрезка найдется такая точка с (a,b) такая, что f(с)=0. (Рисунок)

Замечание.Эта теорема есть достаточное условие для разрешимости уранвений вида f(x)=0. На ней основывается метод интервалов.

Доказательство.

1) Пусть для определенности f(a)>0, f(b)<0. Разделим отрезок [a,b] пополам, получим точку с1= . Тогда возможны 2 варианта: 1) f(c1)=0 – тогда точка с1-искомая

2) f(c1)≠0, т.е. либо f(с1)>0, либо f(с1)<0. Тогда на концах только одного из отрезков [a,с1] и [с1,b] функция принимает значения разных знаков.

Обозначим этот отрезок I1=[a1,b1]. Разделим отрезок I1 пополам точкой с2= . Тогда возможны 2 варианта: 1) f(c2)=0 – тогда точка с1-искомая

2) f(c2)≠0, т.е. либо f(с2)>0, либо f(с2)<0. Тогда на концах только одного из отрезков [a12] и [с2,b1] функция принимает значения разных знаков. И т.д. до бесконечности. Если на некотором шаге мы получим точку ck такую, что f(ck)=0, то теорема доказана.

В противном случае мы получим последовательность вложенных отрезков:

I1ÉI2É…ÉIkÉ…

На k-м шаге получим отрезок Ik=[ak,bk] такой, что f(ak)>0 f(bk)>0

Согласно лемме о вложенных отрезках сÎIk, k=1,2,…

Покажем, что f(с)=0.

Последовательность левых концов аk→c, k→¥

Последовательность правых концов bk→c, k→¥

Т.к. 0£с-аk£êIkê= и 0→0,k→¥ и →0,k→¥, то, по теореме о пределе промежуточной функции, с-аk→0,k→¥, т.е. аk→с,k→¥,

По условию, функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], а значит непрерывна и в точке сÎ[a,b]. Следовательно, f(c)= =

Но f(ak)>0 и ³0, а f(bk)<0 и £0.

Получили, что f(c)³0 и f(c)£0, следовательно, f(c)=0. ч.т.д.

Замечание.Требование непрерывности функция f(x) во всех точках отрезка [a,b] существенно. Например, рассмотрим функцию f(x)= на отрезке [-1,1]. Хотя на концах этого отрезка функция и принимает значения разных знаков, но в нуль на [-1,1] не обращается, т.к. не является непрерывной в точке х=0.



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-23; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.235.184.215 (0.005 с.)