Равномерная непрерывность функций.

Определение. Функция f(x), определенная на промежутке Х, называется равномерно непрерывной на промежутке Х, если

e>0 δ=δ(e) x₁,х₂: |x₁-x₂|<δ |f(х₁)-f(x₂)|<e

Примеры. 1) f(x)=x, xÎ(-¥;+¥)

Т.к. |f(х₁)- f(x₂)ê=êх₁-х₂ê, то

e>0 δ=δ(e) x₁,х₂: |x₁-x₂|<δ=e |f(х₁)-f(x₂)|<e

2) f(x)=sin х, xÎ(-¥;+¥)

Выше показали, что |sin x₁-sin x₂|£|x₁-x₂|

3) f(x)=х², xÎ[-1,1]

|f(х₁)- f(x₂)ê= êх₁-х₂êêх₁+х₂ê£2êх₁-х₂ê

e>0 δ= x₁,х₂: |x₁-x₂|<δ=e |f(х₁)-f(x₂)|£2êх₁-х₂ê<e

4) f(x)=х², xÎ(-¥;+¥) – не является равномерно непрерывной.

Отрицание равномерной непрерывности:

Тогда, пусть , , - →0, n→¥

5) f(x)= не является равномерно непрерывной на промежутке (0,1].

Возьмем х₁= , х₂= . Тогда

Теорема Кантора. Если функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], то она и равномерно непрерывна на этом отрезке.

Доказательство. Допустим противное, т.е. функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], но неравномерно непрерывна на нем, т.е.

Это означает, что найдется хотя бы одно e₀>0, которому не отвечает никакое d>0 в смысле определения равномерной непрерывности

В этом случае, какое бы число d>0 ни взять, найдутся в промежутке [a,b] такие два значения х¢ и х¢¢, что

Возьмем последовательность положительных чисел такую, что {d_n}→0, n→¥.

Тогда

Последовательность {x¢_n} – ограничена (т.к. ее значения находятся внутри отрезка). По лемме Больцано-Вейерштрасса, из ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность , k®¥, Î[a,b].

Т.к. (т.к. , а d_n→0, n→¥), то и последовательность , k®¥.

Рассмотрим разность f()-f(). Т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она непрерывна и в точке , т.е. f()-f()→f()-f()=0, k®¥.

Получили противоречие с условием , следовательно, допущение неверно и функция равномерно непрерывна. Ч.т.д.

Непрерывность и разрывы монотонной функции.

Пусть функция f(x) определена и монотонна на промежутке Х.

Теорема 1. Монотонная функция может иметь в Х точки разрыва только 1-го рода.

Доказательство. Пусть функция f(x) возрастает и с – точка разрыва (c – не является левым концом промежутка Х). Слева от с функция f(x) возрастает, следовательно f(x)£f(с) х>c.(Картинка).

Т.о. монотонная функция f(x) является ограниченной (числом f(с)) По теореме о пределе монотонной функции, f(x) имеет конечный предел слева:

f(с-0)= £f(с)

Если f(с-0)=f(с), то слева в точке с функция f(x) непрерывна. В противном случае – с – точка разрыва 1-го рода.

Аналогично доказывается, что в каждой точке с промежутка Х, не являющейся его правым концом, справа тоже либо имеет место непрерывность, либо разрыв 1-го рода.

Существование и непрерывность обратной функции.

Определение. Пусть функция f:A→B.

1) Если х₁≠х₂ f(x₁)≠f(x₂), то отображение f называется инъекцией.

2) Если f(A)=B или такое, что y=f(x), то отображение f действует на В (отображение «на»). Такое отображение также называется сюръекцией.

Отображение f которое одновременно является инъекцией и сюръекцией, называется биекцией или взаимно однозначным соответствием между А и В.

Можно определить новую функцию: f^-1:B→A, x=f^-1(y)–обратная функция, относительно f.

Теорема (б.д.).

Пустьфункция у=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и является на нем строго возрастающей. Тогда у функции у=f(x) есть обратная функция х=g(y), определенная на отрезке [p,q], где p=f(a), q=f(b), причем эта функция строго возрастающая и непрерывная в промежутке [p,q].

Замечание 1. Аналогичная теорема имеет место для строго убывающих функций:

Пустьфункция у=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и является на нем строго убывающей. Тогда у функции у=f(x) есть обратная функция х=g(y), определенная на отрезке [p,q], где p=f(b), q=f(а), причем эта функция строго убывающая и непрерывная в промежутке [p,q].

Замечание 2. Справедливы также следующие утверждения.

Утверждение 1.

Пустьфункция у=f(x) определена и непрерывна в промежутке (a,b) и является на нем строго возрастающей. Тогда у функции у=f(x) есть обратная функция х=g(y), определенная в промежутке (p,q), где p= , q= , причем эта функция строго возрастающая и непрерывная в промежутке (p,q)

Утверждение 2.

Пустьфункция у=f(x) определена и непрерывна в промежутке (a,b) и является на нем строго убывающей. Тогда у функции у=f(x) есть обратная функция х=g(y), определенная в промежутке (p,q), где p= , q= , причем эта функция строго убывающая и непрерывная в промежутке (p,q).

Замечание 3. Некоторые из чисел a,b,p,q могут быть несобственными.