Равномерная непрерывность функций.



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Равномерная непрерывность функций.



Определение.Функция f(x), определенная на промежутке Х, называется равномерно непрерывной на промежутке Х, если

e>0 δ=δ(e) x12: |x1-x2|<δ |f(х1)-f(x2)|<e

Примеры. 1) f(x)=x, xÎ(-¥;+¥)

Т.к. |f(х1)- f(x2)ê=êх12ê, то

e>0 δ=δ(e) x12: |x1-x2|<δ=e |f(х1)-f(x2)|<e

2) f(x)=sin х,xÎ(-¥;+¥)

Выше показали, что |sin x1-sin x2|£|x1-x2|

3) f(x)=х2,xÎ[-1,1]

|f(х1)- f(x2)ê= êх12êêх12ê£2êх12ê

e>0 δ= x12: |x1-x2|<δ=e |f(х1)-f(x2)|£2êх12ê<e

4) f(x)=х2,xÎ(-¥;+¥) – не является равномерно непрерывной.

Отрицание равномерной непрерывности:

Тогда, пусть , , - →0, n→¥

5) f(x)= не является равномерно непрерывной на промежутке (0,1].

Возьмем х1= , х2= . Тогда

Теорема Кантора. Если функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], то она и равномерно непрерывна на этом отрезке.

Доказательство. Допустим противное, т.е. функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], но неравномерно непрерывна на нем, т.е.

Это означает, что найдется хотя бы одно e0>0, которому не отвечает никакое d>0 в смысле определения равномерной непрерывности

В этом случае, какое бы число d>0 ни взять, найдутся в промежутке [a,b] такие два значения х¢ и х¢¢, что

Возьмем последовательность положительных чисел такую, что {dn}→0, n→¥.

Тогда

Последовательность {x¢n} – ограничена (т.к. ее значения находятся внутри отрезка). По лемме Больцано-Вейерштрасса, из ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность , k®¥, Î[a,b].

Т.к. (т.к. , а dn→0, n→¥), то и последовательность , k®¥.

Рассмотрим разность f( )-f( ). Т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она непрерывна и в точке , т.е. f( )-f( )→f( )-f( )=0, k®¥.

Получили противоречие с условием , следовательно, допущение неверно и функция равномерно непрерывна. Ч.т.д.

Непрерывность и разрывы монотонной функции.

Пусть функция f(x) определена и монотонна на промежутке Х.

Теорема 1. Монотонная функция может иметь в Х точки разрыва только 1-го рода.

Доказательство. Пусть функция f(x) возрастает и с – точка разрыва (c – не является левым концом промежутка Х). Слева от с функция f(x) возрастает, следовательно f(x)£f(с) х>c.(Картинка).

Т.о. монотонная функция f(x) является ограниченной (числом f(с)) По теореме о пределе монотонной функции, f(x) имеет конечный предел слева:

f(с-0)= £f(с)

Если f(с-0)=f(с), то слева в точке с функция f(x) непрерывна. В противном случае – с – точка разрыва 1-го рода.

Аналогично доказывается, что в каждой точке с промежутка Х, не являющейся его правым концом, справа тоже либо имеет место непрерывность, либо разрыв 1-го рода.

Существование и непрерывность обратной функции.

Определение.Пусть функция f:A→B.

1) Если х1≠х2 f(x1)≠f(x2), то отображение f называется инъекцией.

2) Если f(A)=B или такое, что y=f(x), то отображение f действует на В (отображение «на»).Такое отображение также называется сюръекцией.

Отображение f которое одновременно является инъекцией и сюръекцией, называетсябиекциейиливзаимно однозначнымсоответствием между А и В.

Можно определить новую функцию: f-1:B→A, x=f-1(y)–обратная функция, относительно f.

Теорема (б.д.).

Пустьфункция у=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и является на нем строго возрастающей. Тогда у функции у=f(x) есть обратная функция х=g(y), определенная на отрезке [p,q], где p=f(a), q=f(b), причем эта функция строго возрастающая и непрерывная в промежутке [p,q].

Замечание 1.Аналогичная теорема имеет место для строго убывающих функций:

Пустьфункция у=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и является на нем строго убывающей. Тогда у функции у=f(x) есть обратная функция х=g(y), определенная на отрезке [p,q], где p=f(b), q=f(а), причем эта функция строго убывающая и непрерывная в промежутке [p,q].

Замечание 2. Справедливы также следующие утверждения.

Утверждение 1.

Пустьфункция у=f(x) определена и непрерывна в промежутке (a,b) и является на нем строго возрастающей. Тогда у функции у=f(x) есть обратная функция х=g(y), определенная в промежутке (p,q), где p= , q= , причем эта функция строго возрастающая и непрерывная в промежутке (p,q)

Утверждение 2.

Пустьфункция у=f(x) определена и непрерывна в промежутке (a,b) и является на нем строго убывающей. Тогда у функции у=f(x) есть обратная функция х=g(y), определенная в промежутке (p,q), где p= , q= , причем эта функция строго убывающая и непрерывная в промежутке (p,q).

Замечание 3.Некоторые из чисел a,b,p,q могут быть несобственными.



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-23; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.236.110.106 (0.018 с.)