Свойства непрерывных функций.



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Свойства непрерывных функций.



Арифметические операции над непрерывными функциями.

Теорема 1. Пусть функции f(x) и g(x) определены в одном и том же промежутке X и непрерывны в точке х0, то в этой же точке будут непрерывны и функции

f(x)±g(x), f(x)×g(x), (последняя при условии, что g(x0)≠0).

Доказательство. Вытекает из теорем о пределе алгебраической суммы, произведения и частного двух функций, имеющих пределы.

Докажем, в качестве примера, непрерывность .

Т.к. функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х0, то и

По теореме о пределе частного (т.к. предел знаменателя не нуль), имеем:

, а это и означает, что функция непрерывна в точке х0.ч.т.д.

Теорема 2. Непрерывность сложной функции.

Пусть даны функции f и φ: . Если функция φ(х) непрерывна в точке х0ÎХ, а функция f(u) непрерывна в точке u0ÎU, то функция F=f(φ(x)) будет непрерывна в точке х0.

Доказательство 1. Возьмем e>0. Т.к. функция f(u) непрерывна в точке u0ÎU, то можно указать такое число σ>0, что для всех uÎU таких, что |u-u0|<σ выполняется неравенство |f(u)- f(u0)|<e.

e>0 σ=σ(e) u: |u-u0|<σ |f(σ)- f(σ0)|<e

Т.к. φ(х) непрерывна в точке х0ÎХ, то можно указать такое число δ>0, что для всех хÎХ таких, что |x-x0|<δ выполняется неравенство |φ(х)- φ(x0)|<e.

e>0 δ=δ(e) x: |x-x0|<δ |φ(х)- φ(x0)|<e.

Из полученных соотношений следует, что если |x-x0|<δ, то функция F=f(φ(x)) определена и выполняется неравенство |f(φ(х))-f(φ(x0))|<e. А это и означает непрерывность функции F=f(φ(x)) в точке х0. Ч.т.д.

Доказательство 2. Возьмем произвольную последовательность {xn} такую, что xn→x0, n→¥. Тогда, в силу непрерывности функции φ(х) в точке х0, будет: φ(хn)→φ(x0), при n→¥. Т.е. un→u0, n→¥ (т.к. xnÎX, то un=φ(хn)ÎU при всех n).

Т.к. un→u0, n→¥, то в силу непрерывности f(u) в точке u0, имеем:

f(un)→f(u0), n→¥, т.е. f(φ(xn))→f(φ(x0)), n→¥, а это и означает непрерывность функции F=f(φ(x)) в точке х0. Ч.т.д.

Из теоремы 2 следует:

т.е под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.

Пример.

Примеры непрерывных функций.

1) f(x)ºС, хÎ(-¥;+¥) – непрерывна в любой точке х0Î(-¥;+¥).

Действительно, пусть точка х0 – любая из (-¥;+¥). Возьмем произвольную последовательность {xn} такую, что xn→x0, n→¥. Соответствующая последовательность значений функции будет такой: f(x1)=С, f(x2)=С, … , f(xn)=С, … .

f(xn)→С=f(x0), при n→¥.

А это означает, что функция f(x) непрерывна в точке х0. Т.к. точка х0 – любая точка из промежутка (-¥;+¥). Следовательно, f(x) непрерывна в промежутке (-¥;+¥).

Или DС=С-С=0.

2) f(x)=x, xÎ(-¥;+¥)

Выберем произвольную точку х0Î(-¥;+¥). Возьмем произвольную последовательность {xn} такую, что xn→x0, n→¥. Соответствующая последовательность значений функции будет такой: f(x1)=x1, f(x2)=x2, … , f(xn)=xn, … .

f(xn)→x0=f(x0), при n→¥.

А это означает, что функция f(x) непрерывна в точке х0. Т.к. точка х0 – любая точка из промежутка (-¥;+¥). Следовательно, f(x)=х непрерывна в промежутке (-¥;+¥).

3) f(x)=xn, xÎ(-¥;+¥), nÎN

Эта функция непрерывна в промежутке (-¥;+¥), т.к. f(x)=х∙х∙…∙х. Следовательно, f(x)=xn непрерывна в промежутке (-¥;+¥) как произведение конечного числа функций, непрерывных в этом промежутке.

4) f(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an, xÎ(-¥;+¥), nÎN – целая рациональная функция, полином – непрерывна в промежутке (-¥;+¥) как сумма конечного числа функций, непрерывных в этом промежутке.

5) , nÎN, mÎN - дробная рациональная функция- непрерывна в любой такой точке х0Î(-¥;+¥), в которой знаменатель отличен от нуля, т.е. f(x) непрерывная в каждой точке своей области определения.

6) Покажем, что функция f(x)=sin x непрерывна на всей своей области определения, т.е. на R=(-¥;+¥).

Возьмем х0. e>0 δ=δ(e) x: |x-x0|<δ |sin x - sin x0|<e

Рассмотрим |sin x - sin x0|=2 £2 £2 =|x-x0|

(т.к. |sin x| <|x-x0|)Т.о. |sin x - sin x0|£|x-x0|

Возьмем δ=e, тогда x: |x-x0|<δ=e |sin x - sin x0|<e. Т.е.

7) Аналогично доказывается непрерывность функции f(x)=cos x.

8) ,

9) Аналогично ,

Все основные элементарные функции непрерывны на своей области определения.

Теорема 3.Пусть функция f(x) непрерывна в точке х0ÎХ. Тогда существует окрестность V(x0) точки х0, на которой функция ограничена. Т.е.

и

Доказательство. Т.к. f(x) непрерывна в точке х0, то

Возьмем e=1 и оценим êf(x)ê=êf(x)-f(x0)+f(x0)ê£êf(x)-f(x0)ê+ êf(x0)ê<1+êf(x0

Т.о. êf(x)ê<1+êf(x0)ê, т.е. f(x) – ограничена. Ч.т.д.

Теорема 4.Пусть функция f(x) непрерывна в точке х0ÎХ и f(x0)≠0. Тогда существует окрестность V(x0) точки х0, на которой

Причем, если f(x0)>0, (xÎV(x0))

если f(x0)<0, (xÎV(x0))



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-23; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 34.236.187.155 (0.009 с.)