Свойства непрерывных функций.

Арифметические операции над непрерывными функциями.

Теорема 1. Пусть функции f(x) и g(x) определены в одном и том же промежутке X и непрерывны в точке х₀, то в этой же точке будут непрерывны и функции

f(x)±g(x), f(x)×g(x), (последняя при условии, что g(x₀)≠0).

Доказательство. Вытекает из теорем о пределе алгебраической суммы, произведения и частного двух функций, имеющих пределы.

Докажем, в качестве примера, непрерывность .

Т.к. функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х₀, то и

По теореме о пределе частного (т.к. предел знаменателя не нуль), имеем:

, а это и означает, что функция непрерывна в точке х₀.ч.т.д.

Теорема 2. Непрерывность сложной функции.

Пусть даны функции f и φ: . Если функция φ(х) непрерывна в точке х₀ÎХ, а функция f(u) непрерывна в точке u₀ÎU, то функция F=f(φ(x)) будет непрерывна в точке х₀.

Доказательство 1. Возьмем e>0. Т.к. функция f(u) непрерывна в точке u₀ÎU, то можно указать такое число σ>0, что для всех uÎU таких, что |u-u₀|<σ выполняется неравенство |f(u)- f(u₀)|<e.

e>0 σ=σ(e) u: |u-u₀|<σ |f(σ)- f(σ₀)|<e

Т.к. φ(х) непрерывна в точке х₀ÎХ, то можно указать такое число δ>0, что для всех хÎХ таких, что |x-x₀|<δ выполняется неравенство |φ(х)- φ(x₀)|<e.

e>0 δ=δ(e) x: |x-x₀|<δ |φ(х)- φ(x₀)|<e.

Из полученных соотношений следует, что если |x-x₀|<δ, то функция F=f(φ(x)) определена и выполняется неравенство |f(φ(х))-f(φ(x₀))|<e. А это и означает непрерывность функции F=f(φ(x)) в точке х₀. Ч.т.д.

Доказательство 2. Возьмем произвольную последовательность {x_n} такую, что x_n→x₀, n→¥. Тогда, в силу непрерывности функции φ(х) в точке х₀, будет: φ(х_n)→φ(x₀), при n→¥. Т.е. u_n→u₀, n→¥ (т.к. x_nÎX, то u_n=φ(х_n)ÎU при всех n).

Т.к. u_n→u₀, n→¥, то в силу непрерывности f(u) в точке u₀, имеем:

f(u_n)→f(u₀), n→¥, т.е. f(φ(x_n))→f(φ(x₀)), n→¥, а это и означает непрерывность функции F=f(φ(x)) в точке х₀. Ч.т.д.

Из теоремы 2 следует:

т.е под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.

Пример.

Примеры непрерывных функций.

1) f(x)ºС, хÎ(-¥;+¥) – непрерывна в любой точке х₀Î(-¥;+¥).

Действительно, пусть точка х₀ – любая из (-¥;+¥). Возьмем произвольную последовательность {x_n} такую, что x_n→x₀, n→¥. Соответствующая последовательность значений функции будет такой: f(x₁)=С, f(x₂)=С, …, f(x_n)=С, ….

f(x_n)→С=f(x₀), при n→¥.

А это означает, что функция f(x) непрерывна в точке х₀. Т.к. точка х₀ – любая точка из промежутка (-¥;+¥). Следовательно, f(x) непрерывна в промежутке (-¥;+¥).

Или DС=С-С=0.

2) f(x)=x, xÎ(-¥;+¥)

Выберем произвольную точку х₀Î(-¥;+¥). Возьмем произвольную последовательность {x_n} такую, что x_n→x₀, n→¥. Соответствующая последовательность значений функции будет такой: f(x₁)=x₁, f(x₂)=x₂, …, f(x_n)=x_n, ….

f(x_n)→x₀=f(x₀), при n→¥.

А это означает, что функция f(x) непрерывна в точке х₀. Т.к. точка х₀ – любая точка из промежутка (-¥;+¥). Следовательно, f(x)=х непрерывна в промежутке (-¥;+¥).

3) f(x)=xⁿ, xÎ(-¥;+¥), nÎN

Эта функция непрерывна в промежутке (-¥;+¥), т.к. f(x)=х∙х∙…∙х. Следовательно, f(x)=xⁿ непрерывна в промежутке (-¥;+¥) как произведение конечного числа функций, непрерывных в этом промежутке.

4) f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+a₂x^n-2+…+a_n-1x+a_n, xÎ(-¥;+¥), nÎN – целая рациональная функция, полином – непрерывна в промежутке (-¥;+¥) как сумма конечного числа функций, непрерывных в этом промежутке.

5) , nÎN, mÎN - дробная рациональная функция- непрерывна в любой такой точке х₀Î(-¥;+¥), в которой знаменатель отличен от нуля, т.е. f(x) непрерывная в каждой точке своей области определения.

6) Покажем, что функция f(x)=sin x непрерывна на всей своей области определения, т.е. на R=(-¥;+¥).

Возьмем х₀. e>0 δ=δ(e) x: |x-x₀|<δ |sin x - sin x₀|<e

Рассмотрим |sin x - sin x₀|=2 £2 £2 =|x-x₀|

(т.к. |sin x| <|x-x₀|)Т.о. |sin x - sin x₀|£|x-x₀|

Возьмем δ=e, тогда x: |x-x₀|<δ=e |sin x - sin x₀|<e. Т.е.

7) Аналогично доказывается непрерывность функции f(x)=cos x.

8) ,

9) Аналогично ,

Все основные элементарные функции непрерывны на своей области определения.

Теорема 3. Пусть функция f(x) непрерывна в точке х₀ÎХ. Тогда существует окрестность V(x₀) точки х₀, на которой функция ограничена. Т.е.

и

Доказательство. Т.к. f(x) непрерывна в точке х₀, то

Возьмем e=1 и оценим êf(x)ê=êf(x)-f(x₀)+f(x₀)ê£êf(x)-f(x₀)ê+ êf(x₀)ê<1+êf(x₀)ê

Т.о. êf(x)ê<1+êf(x₀)ê, т.е. f(x) – ограничена. Ч.т.д.

Теорема 4. Пусть функция f(x) непрерывна в точке х₀ÎХ и f(x₀)≠0. Тогда существует окрестность V(x₀) точки х₀, на которой

Причем, если f(x₀)>0, (xÎV(x₀))

если f(x₀)<0, (xÎV(x₀))