Вопрос 23. Теорема об ограниченной функции на отрезке.

Доказательство. Функция f (х) ограничена на промежутке [ а, b ], если существуют такие конечные числа m и M, что m ≤ f (х) ≤ М при a ≤ x ≤ b. Допустим, что функция f (х) при изменении х в промежутке [ а, b ] оказывается неограниченной. В таком случае для каждого натурального числа n найдётся в промежутке [ а, b ] такое значение х = х _n, что f (x_n) ≥ n. Однако по лемме Больцано – Вейерштрасса из этой ограниченной последовательности { x _n} можно выделить сходящуюся частичную подпоследовательность:

Причем, очевидно, х ₀ [ a, b ]. Вследствие непрерывности функции в точке х ₀ должно быть выполнено

Однако, в силу f (x_n) ≥ n имеем

Полученное противоречие и доказывает теорему.

Вопрос 24. Теорема о достижении наибольшего и наименьшего значений функции.

Если функция f(x) непрерывна на [a,b],то она достигает на этом отрезке наименьшего значения m и наибольшего значения М, так что m≤f(x)≤M для всех х на [a;b]

Вопрос 25. Понятие производной функции в точке + таблица производных.

Производной функции у=ƒ(х) β точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

 

tgφ →tgα

tgα- есть производная f’(x₀)

 

Таблица производных:

Вопрос 26. Физический и геометрический смысл производной

Из задачи о касательной следует геометрический смысл производной:

производная f’(x₀) есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой y=f(x) в точке х₀, т.е. k=f’(x₀). Следовательно, уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке x₀ примет вид y-f(x₀)=f’(x₀)(x-x₀).

Из задачи о скорости движения следует физический смысл производной:

производная пути s’(t₀) есть скорость точки в момент t₀: υ(t₀)=s’(t₀).

Если у(х) – расстояние, х- время, ∆у(∆х) –скорость, то производная есть мгновенная скорость к данному времени.

Вопрос 27. Уравнение касательной

Предельное положение секущей ab, когда b по кривой стремится к a называется касательной.

Таким образом касательная к кривой в точке х₀ есть tg угла наклона этой касательной. Поэтому уравнение касательной к кривой имеет вид: .

Вопрос 28. Дифференциал функции и его геометрический смысл.

Функция называется дифференцируемой в точке х₀, если ее приращение может быть представлено в виде: .

Главная относительная ∆x часть приращенной функции, отличающаяся от этого приращения на бесконечно малую величину называется дифференциалом функции.

∆x=dx

С геометрической точки зрения дифференциал есть приращение ординаты касательной.

Теорема:

Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке х₀ необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала производная.

Доказательство:

- необходимость

Пусть функция дифференцируема в точке, тогда

Разделим данное выражение на ∆x и перейдем к пределу к ∆x→0.

, т.е. выражение

- Достаточность

Пусть существует f’(x₀)

Из свойств предела следует

Понятие дифференцируемости и производной в точке х₀ – тождественно.

Связь непрерывности и дифференцируемости:

Пусть функция дифференцируема в точке, тогда она не прерывна в этой точке.

Из дифференцируемости всегда следует непрерывность. Из непрерывности дифференциирумость следует не всегда.

Вопрос 29. Применение производной для приближенных вычислений.

Пусть u(x) и υ(x) дифференцируемы, тогда справедливы следующие правила:

При малых ∆х приращение функции можно заменять ее дифференциалом.

Из формулы ∆y=dy следует формула приближенного вычисления:

Вопрос 30. Теорема Ролля

Пусть функция f(x) дифференцируема внутри интервала (a;b)- непрерывна на сегменте и на f(a)=f(b) (на концах отрезка принимает равные значения)найдется такая точка, в которой производная равна 0.

f’(c)=0

c ∈ (a;b)

Геометрический смысл теоремы: Найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс; в этой точке производная и будет равняться 0.

Проиллюстрируем эту теорему геометрически:

Найдет такая точка С, в которой касательная будет горизонтальна в этой точке производная равна 0.

Доказательство: Пусть функция f(x) – постоянна х ∈ (a;b), тогда значение производной во всех точках равно 0.

 

f’(x)=0

 

f(x)- не является константой.

f(x)≠f(a)

Пусть f(x)>f(a), значение на концах функции равны

Пусть f(x)>f(a), по условию f(a)=f(b)=>f(x)>f(b)

f’(c)=0