Числовые и функциональные ряды

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Числовой ряд. Основные понятия. Знакоположительные ряды

Краткие теоретические сведения

Пусть имеется числовая последовательность . Составим выражение , которое называют числовым рядом, а числа – членами ряда; n -й член ряда называется также общим членом ряда.

Определение 1. Сумма первых n членов ряда называется n-й частичной суммой ряда и обозначается : .

Определение 2. Суммой ряда называется предел последовательности частичных сумм , если он существует и конечен. В этом случае ряд называют сходящимся и пишут , в противном случае – расходящимся.

Определение 3. Ряд , полученный из ряда отбрасыванием первых его m членов называется m -м остатком ряда.

Если сумму остатка сходящегося ряда обозначить через , то, очевидно, .

Справедливы следующие теоремы:

Теорема 1. Отбрасывание ряда, или присоединение к ряду любого конечного числа начальных членов не меняет его сходимости или расходимости.

Теорема 2. Если ряд сходящийся, то .

Теорема 3. Если члены ряда , имеющего сумму S, умножить на число , то полученный ряд будет также сходящимся, а число – его суммой.

Теорема 4. Умножение членов расходящегося ряда на число не нарушит его расходимости.

Теорема 5 (необходимое условие сходимости). Если ряд сходится, то предел последовательности его членов равен 0: .

Отсюда следует, что если , то ряд расходится.

Теорема 6 (критерий Коши). Для того, чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы для всякого существовало число (зависящее только от ) такое, что для всех и любого натурального k было справедливо неравенство .

Если все члены ряда положительные, то ряд называют знакоположительным.

Приведем основные признаки сходимости знакоположительных рядов.

Признаки сравнения. Пусть имеем 2 знакоположительных ряда:

(1);

(2).

1. Если для всех членов рядов (1) и (2), начиная с некоторого номера, выполняется равенство , то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1); из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

2. Если существует конечный предел , то оба ряда (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.

Замечание 1. Сравнение исследуемых рядов производится обычно со следующими рядами:

а) , (геометрическая прогрессия, сходящаяся при и расходящаяся при );

б) (расходящийся гармонический ряд);

в) (обобщенный гармонический ряд, сходящийся при и расходящийся при ).

Замечание 2. Если, в частности, общие члены сравниваемых рядов эквиваленты при (), то оба ряда (в смысле сходимости) ведут себя одинаково.

Признак Даламбера. Если – знакоположительный ряд и существует конечный или бесконечный предел , то при ряд сходится; при ряд расходится; при вопрос остается открытым.

Признак Коши. Если – знакоположительный ряд и существует конечный или бесконечный предел , то при ряд сходится; при ряд расходится; при вопрос остается открытым.

Признак Раабе. Если – знакоположительный ряд и существует конечный или бесконечный предел , то при ряд сходится; при ряд расходится; при вопрос остается открытым, т.е. о сходимости или расходимости ряда ничего сказать нельзя, нужны дополнительные исследования.

Интегральный признак. Если функция непрерывна, неотрицательна и не возрастает при , то ряд сходится или расходятся одновременно с несобственным интегралом .

Признак Бертрана. Если – знакоположительный ряд и существует конечный или бесконечный предел , то при ряд сходится; при ряд расходится; при вопрос остается открытым.

Замечание. При оценке факториалов больших чисел и вычислении пределов, содержащих часто бывает полезна формула Стирлинга .

 

Примеры решения типовых задач

Пример 1. Найти сумму ряда .

Решение. Составим частичную сумму:

.

Пример 2. Найти сумму ряда

Решение. Составим последовательность частичных сумм:

,

,

.

Если , то .

Следовательно, .

Пример 3. Найти сумму ряда .

Решение. Представим общий член ряда в виде суммы простейших дробей:

;

………………

;

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Проверим выполнение необходимого условия . Необходимое условие выполняется, однако, это не означает, что ряд сходится. Исследуем на сходимость с помощью достаточных признаков. Этот ряд можно исследовать на сходимость с помощью признака сравнения. Сравним исследуемый ряд с гармоническим рядом . Начиная с члены нашего ряда больше соответствующих членов гармонического ряда так как при , . Гармонический ряд расходится, следовательно, расходится и ряд

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. при .
Ряд – обобщенный гармонический ряд с показателем сходится. Значит, данный ряд , члены которого эквивалентны членам обобщенного гармонического ряда, сходится.

Пример 6. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Используем признак Даламбера. Имеем:

Следовательно, исследуемый ряд сходится.

Пример 7. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Здесь удобно применить признак Коши. Следовательно, ряд расходится.

Пример 8. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Воспользуемся предельным признаком сравнения. Вместо ряда можно исследовать на сходимость более простой ряд , так как Применим интегральный признак сходимости ряда. Вычислим несобственный интеграл от функции , удовлетворяющей условиям интегрального признака.

Интеграл расходится, значит будет расходится и ряд.

Пример 9. Доказать справедливость равенства .

Решение. Рассмотрим ряд . Исследуем его сходимость по признаку Даламбера:

.

Ряд сходится. Следовательно, по необходимому признаку предел общего члена равен нулю.

Задания для самостоятельной работы

10.1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму:

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) .

10.2. Исследовать сходимость ряда с помощью одного из признаков сравнения:

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) .

10.3. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) .

10.4. Исследовать сходимость ряда с помощью радикального признака Коши:

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) .

10.5. Исследовать сходимость ряда с помощью интегрального признака Коши:

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) .

10.6. Исследовать на сходимость (разные задачи):

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) .

10.7. Доказать справедливость равенства. (Ответом служит число , получаемое при применении признака Даламбера или признака Коши):

а);	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) .

Ответы

10.1. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) 1; з) . 10.2. а) расходится; б) сходится; в) сходится; г) сходится; д) сходится; е) сходится; ж) расходится; з) сходится. 10.3. а) расходится; б) сходится; в) сходится;
г) сходится; д) расходится; е) сходится; ж)сходится; з) сходится.
10.4. а) сходится; б) сходится; в) сходится; г) сходится; д) сходится; е) расходится; ж) сходится; з) сходится. 10.5. а) сходится; б) расходится; в) расходится; г) расходится; д) расходится; е) расходится; ж) расходится; з) расходится. 10.6. а) сходится; б) сходится; в) расходится; г) сходится;
д) расходится; е) сходится; ж) сходится; з) расходится.

10.2. Знакопеременные ряды

Примеры решения типовых задач

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Этот ряд знакочередующийся. Применим признак Лейбница. Проверим выполнение первого условия.

Выполнение второго условия очевидно Значит, выполнены оба условия признака Лейбница. Следовательно, данный ряд сходится. Исследуем на сходимость ряд, составленный из абсолютных величин членов первоначального ряда Покажем, что ряд и гармонический ряд ведут себя одинаково.

Значит ряд, составленный из абсолютных величин, расходится. Таким образом, что исходный ряд сходится условно.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд. .

Решение. В данном примере сначала исследуем знакочередующийся ряд на абсолютную сходимость, т.е. исследуем сходимость ряда, составленного из абсолютных величин членов данного ряда .

По признаку Даламбера

.

Ряд из абсолютных величин сходится, следовательно, данный знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

Пример 3. Найти сумму ряда .

Решение. Составим последовательность частичных сумм ,

,

,

т.е. , тогда

.

Следовательно, .

Пример 4. Сколько членов ряда следует взять, чтобы получить сумму ряда с точностью до ?

Решение. Данный знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница. Если возьмем , то ошибка не превосходит . Но для знакочередующихся рядов остаток ряда по абсолютной величине не превосходит величины своего первого члена, т.е. , что верно при . Отсюда ясно, что достаточно взять 999 членов ряда. Тогда получим требуемую точность.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. , поэтому данный ряд имеет вид . Но ряд сходится по признаку Лейбница, а монотонная и ограниченная последовательность. Значит, по признаку Абеля исходный ряд сходится.

Рассмотрим ряд из абсолютных величин . Так как ~ при и начиная с некоторого n, а расходится, то расходится. Значит, данный ряд расходится условно.

Пример 6. Вычислить сумму ряда с точностью до 0,001.

Решение. Для знакочередующихся рядов погрешность не превышает первого отброшенного члена.

.

,

,

,

.

Поэтому искомая сумма с точностью до равна

.

Задания для самостоятельной работы

10.8. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:

а) ;	б);
в);	г);
д) ;	е);
ж) ;	з) .

10.9. Вычислить сумму ряда с точностью :

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) .

Ответы

10.8. а) абсолютно сходится; б) сходится условно; в) сходится абсолютно; г) сходится абсолютно; д) сходится условно; е) сходится условно; ж) сходится абсолютно; з) сходится условно. 10.9. а) 0, 18127; б) 0,633;
в) 0,112; г) –0,303; з) 0,5.

Функциональные ряды

Примеры решения типовых задач

Пример 1. Найти область сходимости функционального ряда

.

Решение. При х =0 ряд принимает вид , его частичная сумма , и, по определению суммы ряда .

Пусть – фиксированное число, . Исследуем сходимость получившегося числового ряда по интегральному признаку Коши: . Интеграл расходится при всех фиксированных значениях , следовательно, расходится при всех и ряд . Данный ряд получается из вспомогательного ряда умножением на число , что не меняет сходимости ряда. Таким образом, область сходимости данного ряда состоит из одной точки .

Пример 2. Найти область сходимости функционального ряда

.

Решение. Из условия следует, что . Пусть – фиксированное число, отличное от нуля. Исследуем сходимость получившегося числового ряда по радикальному признаку Коши:

.

Итак, при и ряд расходится, при и ряд сходится. Поэтому область сходимости ряда .

Пример 3. Исследовать на равномерную сходимость ряд на .

Решение. На справедливо

при , а сходится (по интегральному признаку). Тогда сходится (по теореме сравнения). Значит, по признаку Вейерштрасса данный ряд сходится равномерно на .

Пример 4. Исследовать на равномерную сходимость ряд

для .

Решение. при . Значит, , но сходится. Тогда по признаку Вейерштрасса данный ряд сходится равномерно на всей числовой оси и абсолютно.

Задания для самостоятельной работы

n10.10. Найти область сходимости функционального ряда:

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) .

Ответы

10.10. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; ж) .

 

Степенные ряды

Примеры решения типовых задач

Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Интервал сходимости можно найти, применяя признак Даламбера или Коши к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда. Здесь

Вычислим предел

По признаку Даламбера для сходимости ряда предел должен быть меньше 1.

Исследуем сходимость ряда на концах промежутка .

Если x = 4, то получим ряд . Он сходится, так как этот ряд ведет себя как ряд .

Если x = 2, то получим ряд . Он сходится и притом абсолютно, так как сходится ряд из абсолютных величин его членов.

Окончательно получим, что область сходимости исследуемого ряда отрезок [2; 4].

Пример 2. Найти область сходимости функционального ряда

.

Решение. Данный ряд является степенным. Он содержит только четные степени , поэтому искать радиус интервала сходимости по соответствующей формуле нельзя. Зафиксируем и исследуем сходимость получившегося числового ряда по признаку Даламбера.

.

Ряд сходится, если , т.е. , откуда .

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости.

При функциональный ряд принимает вид

= .

Этот числовой ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости: . Поэтому область сходимости данного ряда .

Пример 3. Найти сумму ряда .

Решение. Представим коэффициент перед переменной в виде суммы простейших дробей . Теперь данный ряд можно представить в виде алгебраической суммы двух рядов:

. Степенные ряды почленно интегрируются, поэтому

= ,

при При замене ряда функцией воспользовались известной формулой – суммы бесконечно убывающей прогрессии , .

= =

.

Пример 4. Найти сумму ряда .

Решение. Представим коэффициент перед переменной в следующем виде . Тогда данная сумма распадается на три:

Степенные ряды можно почленно дифференцировать, поэтому

при .

при .

.

При замене суммы функцией воспользовались известной формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: при .

В итоге:

= при n (-1; 1).

 

Задания для самостоятельной работы

10.11. Найти область сходимости степенного ряда:

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) .

10.12. Найти сумму ряда:

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) .

Ответы

10.11. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) .

Разложение функций в ряды

Примеры решения типовых задач

Пример 1. Разложить функцию в степенной ряд по степеням (х – а) при а = 1. Определить область сходимости полученного ряда.

Решение. Ряд Тейлора для функции имеет вид:

В нашем случае:

…………………………………..

Получаем разложение в ряд:

Для определения области сходимости полученного ряда воспользуемся признаком Даламбера.

.

Следовательно, ряд сходится при любом конечном значении х.

Тот же факт можно доказать, если воспользоваться формулой для нахождения радиуса сходимости:

, где а_п и а_п-1 – коэффициенты ряда.

.