Приложения в экономике теории рядов

Краткие теоретические сведения

Контракты, сделки, коммерческие и производственно-хозяйственные операции часто предусматривают не отдельные разовые платежи, а множество распределенных во времени выплат и поступлений. Отдельные элементы такого ряда, а иногда и сам ряд платежей в целом, называется потоком платежей. Члены потока платежей могут быть как положительными (поступления), так и отрицательными (выплаты) величинами. Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между двумя последовательными платежами постоянны, называют финансовой рентой. Ренты делятся на годовые и р -срочные, где р характеризует число выплат на протяжении года. Это дискретные ренты. В финансово-экономической практике встречаются и с последовательностями платежей, которые производятся так часто, что практически их можно рассматривать как непрерывные. Такие платежи описываются непрерывными рентами.

Обобщающими характеристиками потока платежей являются наращенная сумма и текущая сумма. Наращенной суммой потока платежей называется сумма всех членов последовательности платежей с начисленными на них процентами. Текущей суммой потока платежей зазывают сумму всех его членов, дисконтированных (приведенных) на текущий момент времени.

Под вечной рентой понимается последовательность платежей, число членов которой не ограничено – она выплачивается в течение бесконечного числа лет. Вечная рента не является чистой абстракцией – на практике это некоторые виды облигационных займов, оценка способности пенсионных фондов отвечать по своим обязательствам.

Существуют различные способы начисления процентов, соответственно применяют различные виды процентных ставок. Одно из основных отличий связано с выбором исходной суммы для начисления процентов. Ставки процентов могут применяться к одной и той же начальной сумме на протяжении всего срока ссуды или к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами. В первом случае они называются простыми, а во втором – с ложными процентными ставками.

Примеры решения типовых задач

Пример 1. Пусть на расчетный счет в течение n лет в конце года поступает М руб. Проценты начисляются в конце года по ставке i. Определите наращенную сумму и текущую сумму на начальный момент времени данного потока платежей.

Решение. 1. Определим наращенную сумму потока платежей. Первый взнос к концу срока ренты возрастет до суммы , так как на сумму М проценты начислялись в течение (n –1) лет. Второй взнос увеличится до и т.д. На последний взнос проценты не начисляются. Таким образом, в конце срока ренты её наращенная сумма равна

.

Это сумма n -первых членов геометрической прогрессии, в которой первый член равен М, а знаменатель – (1+i). Эта сумма равна

руб.

2. Определим текущую сумму потока платежей к началу ренты. Дисконтированная величина первого платежа , второго – и т.д. Таким образом, общая сумма дисконтированных величин равна

.

Это сумма n членов геометрической прогрессии, в которой первый член равен М, а знаменатель – 1/ (1+i). Эта сумма равна

руб.

Пример 2. Найдите начальную стоимость вечной ренты, гарантирующей ежегодное поступление на счет М рублей и начисление процентов по ставке i. Обе операции производятся в конце каждого года.

Решение. Повторив рассуждения второй части решения примера 2., представим начальную стоимость вечной ренты в виде бесконечной суммы дисконтированных величин ежегодных платежей:

.

Этот числовой ряд представляет собой бесконечную геометрическую прогрессию, первый член которой равен М/(1+i), а знаменатель q = 1/(1 +i). Так как | q | < 1, ряд сходится и его сумма равна

.

Задания для самостоятельной работы

10.17. Господин N планирует накопить за 7 лет 600000 руб. для оплаты обучения сына. Какую сумму он должен в конце каждого месяца вносить на банковский счет при сложной годовой учетной ставке 4 %, начисляемых в конце года?

10.18. Решите задачу 1. при условии, что проценты начисляются ежеквартально.

10.19. Центральный банк РФ покупает правительственные облигации у частных владельцев на 100 миллионов руб. Это создает 100 миллионов «новых» денег и вызывает цепную реакцию банковской системы. Когда эти 100 миллионов поступят на счета частных банков, банки оставят только 15 % в резерве и могут кредитовать остальные 85 %, дополнительно создавая 85 миллионов руб. Компании, которые получают эти деньги, потратят их, а получатели вновь смогут разместить деньги на своих банковских счетах. Предположим, что все эти 85 миллионов повторно депонированы, банки могут снова дать взаймы 85 % этой суммы, создавая 0,85*85 миллионов дополнительных рублей. Этот процесс может быть повторен сколько угодно раз. Вычислите общую сумму «новых» денег, которые могут быть созданы теоретически этим процессом помимо исходных 100 миллионов.

10.20. Пусть Центральный банк РФ, как в задаче 3., выпускает на финансовый рынок 100 миллионов рублей. Частные банки предоставляют в виде кредитов 85 % полученных средств. Предположим, что только 80% каждого кредита повторно депонируется в банках. Таким образом, если общая сумма первого кредитования была равна 0,85*100 миллионов рублей, то вторая общая сумма банковских кредитов составит 85 % от 0,80*0,85*100 миллионов руб. Этот процесс продолжается бесконечно. Определите общую сумму дополнительных средств, которые поступят на финансовый рынок в результате акции Центрального банка РФ.

10.21. Господин N приобрел полис страхования жизни. Согласно договору страховая компания после смерти господина N разместит сумму, равную стоимости полиса страхования, в целевой фонд по ставке 8 %, начисляемых непрерывно. В конце каждого года компания должна выплачивать наследникам 10000 руб. бессрочно. Определите стоимость данного страхового полиса.

10.22. Господин N владеет земельным участком, который сдаёт в аренду за 45000 руб. в год. Арендатор хочет выкупить участок за 1 млн. рублей. Следует ли господину N продать участок, если банковская процентная ставка равна 7 %?

10.23. Определите текущую стоимость бессрочной облигации, генерирующей ежеквартальный поток платежей по 500 руб. при банковской учетной ставке 5 %.

Ответы

10.17. 6217,30 руб. 10.18. 6204,25 руб. 10.19. 566666667 руб. 10.20. 265625000 руб. 10.21. 120066,66 руб. 10.22. Да. 10.23. 40742,38 руб.

 

Типовые варианты контрольных работ