Тема: Решение задач. Вычисление пределов функций.

Краткая теория темы.

Опр. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки «а». Число В называется пределом функции f(x) в точке «а» (или при x стремящемся к «а»), если для каждого найдется такое число , что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

В этом случае пишут: .

Некоторые предельные равенства.

1. ,где с=const (т.е. некоторое постоянное число).

2. .

Теорема № 1: Для предела функции в точке верны следующие свойства:

1. .

2. .

3. .

4.

Правило № 1: Для раскрытия неопределенности надо разложить и числитель и знаменатель на множители и сократить на общий множитель, который обращает в нуль знаменатель и числитель дроби.

Пример: Вычислить предел:

1.

Здесь применили последовательно свойства из теоремы № 1, № 3 и №2, а также использовали № 2 и № 1.

2.

Здесь имеется неопределенность , т.к. при подстановке вместо х числа 2 и в числителе, и в знаменателе получается ноль. Избавимся от этой неопределенности, используя правило, т.е. разложим числитель на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения по теореме Виетта: . Получили, что и в числителе, и в знаменателе имеется множитель , сократим на него дробь. Далее применяем первое свойство теоремы № 1 и первое и второе предельные равенства.

Опр. Пусть функция f(x) определена на всей числовой прямой. Число В называется пределом функции f(x) при , если для каждого найдется такое , что для х, удовлетворяющих условию , имеет место неравенство . В этом случае пишут .

Опр. Функция f(x) называется бесконечно большой при ,если соответственно . Функция f(x) называется бесконечно малой при , если соответственно .

Пример: 1. Функция является бесконечно большой при и бесконечно малой при .

2. Функция является бесконечно большой при и бесконечно малой при .

Теорема № 2: Для предела функции на бесконечности выполняются следующие свойства:

1. .

2. .

3.

Правило №2: Для раскрытия неопределенности надо и числитель и знаменатель дроби разделить на х в старшей степени.

Пример: Вычислить предел:

1.

Здесь имеется неопределенность ,т.к. при и числитель, и знаменатель представляют собой бесконечно большие функции, предел которых равен бесконечности. Избавимся от этой неопределенности, используя правило №2, т.е. разделим и числитель, и знаменатель дроби на наивысшую степень х, в данном случае степень х равна 3 (т.е. делим на ). Далее применяем одновременно третье и первое свойство теоремы № 2, а также определение бесконечно малой функции.

Задания для решения.

1. Вычислить предел функции:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) ;

16) ; 17) ; 18т) .

Дополнительные задания.

1. Вычислить предел функции:

 

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) .

Варианты заданий

Выбор варианта осуществляется в соответствии с порядковым номером в списке журнала. Выполняются два примера задания.

	0.	1.	2.	3.	4.	5.	6.	7.	8.	9.
0.	1,12	3,4	6,9	4,9	8,10	5,8	8,12	2,10	1,10	9,5
1.	2,3	1,11	3,5	6,7	3,10	7,8	2.9	1,9	7,3	4,12
2.	3,7	2,4	11,4	3,6	6,10	2,8	1,8	5,6	4,6	5,10
3.	6,8	3,8	2,11	1,5	2,7	11,7	4,2	4,7	7,9	5,7
4.	4,10	5,9	3,12	2,6	1,6	9,10	4,8	7,10	5,6	7,4

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте определение предела функции в точке.

2. Назовите основные предельные равенства.

3. Назовите правило раскрытия неопределенности .

4. Сформулируйте определение предела функции на бесконечности.

5. Назовите правило раскрытия неопределенности .

6. Сформулируйте основные свойства предела функции в точке и на бесконечности.

 

Инструкционная карта № 3.

Практическое занятие № 3 по теме «Производная».

Тема: Вычисление производных.

Краткая теория темы.

Опр. Производной функции по аргументу называется предел отношения ее приращения к приращению аргумента , когда приращение аргумента стремится к нулю: . Часто для обозначения производной используется символ (читается «де эф по де икс»), т.е.

Таблица производных функций.

1.	12.
2.	13.
3.	14.
4.	15.
5.	16.
6.	17.
7.	18.
8.	19.
9.	20.
10.	21.
11.	22. , где U и V – некоторые функции

Теорема №1: Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в соответствующей точке , то сложная функция имеет производную в точке . В этом случае имеет место следующая формула:

Пример: 1. Вычислить производную функции

Для вычисления производной данной функции последовательно воспользуемся формулами № 20, 1, 4, 7, 8, 13,11 таблицы, получим:

2. Вычислить производную сложной функции

Для вычисления производной сложной функции обозначим выражение, стоящее в скобках, другой переменной, например, t. Получим

.

По теореме №1 найдём производную функции по переменной , как произведение производных функций по переменной и функции по переменной :

Здесь использовали формулу № 22 из таблицы производных – производная частного.

Задания для решения.

1. Вычислить производную функции:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) .

2. Найти производную сложной функции:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

 

13) ; 14) ; 15) .

Дополнительные задания.

1. Вычислить производную функции:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) .

2. Найти производную сложной функции:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

Варианты заданий

Выбор варианта осуществляется в соответствии с порядковым номером в списке журнала. Первая цифра относится к первому заданию, а вторая – ко второму.

	0.	1.	2.	3.	4.	5.	6.	7.	8.	9.
0.		11,7	3,6	9,9	6,5	14,8	8,7	13,7	2,7	4,1
1.	2,4	3,8	1,4	15,7	7,8	8,12	9,3	1,3	12,3	3,2
2.	14,7	5,2	6,7	7,3	8,10	9,2	10,3	12,5	3,9	4,4
3.	5,6	6,4	7,9	8,5	9,7	1,2	2,6	13,5	4,6	15,3
4.	6,5	10,2	4,5	5,11	6,10	9,5	7,7	5,10	8,4	10,10

Контрольные вопросы

1. Дайте определение производной.

2. Сформулируйте теорему о нахождении производной сложной функции.

Инструкционная карта № 4.

Практическое занятие № 4 по теме «Интеграл».