Тема: Решение задач на определение вероятностей событий.

Краткая теория темы.

В окружающем мире все события можно разделить на три типа:

1. достоверные

2. невозможные

3. случайные

Достоверными называют события, которые обязательно произойдут при выполнении определенных условий.

Невозможными называют события, которые заведомо не произойдут при выполнении определенных условий.

Случайными называют события, которые при выполнении определенных условий может либо произойти, либо нет.

Для большого числа однородных случайных событий существуют определенные закономерности, которые изучает наука Теория Вероятностей, т.е. предметом Теории Вероятностей является изучение вероятностных закономерностей, присущих массовым однородным явлениям.

Опр. Вероятность характеризует степень возможности появления того или иного события.

Опр. Исходы, удовлетворяющие тому или иному событию, называются благоприятными.

Опр. (Классическое определение вероятности) Вероятностью некоторого события называется отношение числа благоприятных исходов к их общему количеству.

Обозначим - число благоприятных исходов, - общее число исходов, - вероятность, тогда .

Свойства вероятности.

1. Вероятность случайного события принимает значение от 0 до 1.

2. Вероятность достоверного события равна 1.

3. Вероятность невозможного события равна 0.

Основные элементы комбинаторики:

1. Перестановки – это упорядоченные комбинации, которые можно получить из - элементов, отличающиеся друг от друга только порядком их следования. Общее число этих комбинаций равно:

2. Размещения без повторений – это такие комбинации из - элементов по - элементов, отличающиеся порядком следования элементов и в которых каждый элемент не повторяется. Общее число этих комбинаций равно:

3. Размещения с повторениями – это такие упорядоченные комбинации из - элементов по - элементов, которые отличаются либо порядком следования элементов, либо их составом. Общее число этих комбинаций равно:

4. Сочетания – это такие не упорядоченные комбинации из - элементов по - элементов, каждая из которых отличается хотя бы одним элементом. Общее число этих комбинаций равно:

Пример 1: Из урны, в которой находится 4 белых, 9 желтых и 7 красных шаров, наугад вынимают один шар. Какова вероятность появления белого шара?

Здесь элементарным исходом является извлечение из урны любого шара. Число всех таких исходов равно числу шаров в урне, т.е. . Число исходов, благоприятствующих появлению белого шара (событие А), очевидно, равно числу белых шаров в урне, т.е. . Поэтому по формуле вычисления вероятности находим: .

Пример 2: Игральный кубик бросают два раза. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков окажется равной восьми?

Обозначим через событие, состоящее в том, что при первом подбрасывании выпало очков, а при втором - очков. Тогда 36 событий

можно рассматривать как элементарные исходы опыта. Следовательно, число всех элементарных исходов . Появлению события А (сумма выпавших очков равна восьми) благоприятствуют исходы . Таким образом, . Отсюда получаем .

Пример 3: В партии из изделий имеется нестандартных. Определить вероятность того, что среди выбранных на удачу изделий нестандартными окажутся изделий.

Элементарным исходом является выборка любых изделий из их общего числа . Число всех таких исходов равно числу сочетаний из по , т.е. . Интересующее нас событие А – это извлечение изделий, из которых - нестандартные. Следовательно, благоприятными для А являются такие группы по изделий, в которых изделий – качественные, а - нестандартные. Число таких групп

,

ибо группу из нестандартных изделий можно образовать способами, а группу из качественных изделий - способами, причем любая группа исправных изделий может комбинироваться с любой группой нестандартных изделий. Отсюда

.

Задания для решения.

1. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их на удачу. Какова вероятность того, что номер набран правильно?

2. Две грани симметричного кубика окрашены в синий цвет, три – в зеленый и одна – в красный. Кубик подбрасывают один раз. Какова вероятность того, что верхняя грань окажется зеленой?

3. Какова вероятность того, что при однократном подбрасывании игрального кубика выпадет четное число очков?

4. На каждой из семи одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: «н», «о», «п», «р», «с», «т», «у». Найти вероятность того, что на пяти взятых наугад и расположенных в ряд карточках можно прочесть слово «спорт».

5. Цифры 1, 2, 3, …, 9, выписанные на отдельные карточки, складывают в ящик и тщательно перемешивают. Наугад вынимают одну карточку. Найти вероятность того, что число, написанное на этой карточке:

1) четное;

2) нечетное;

3) составное;

4) однозначное;

5) двузначное.

6. Среди 100 электроламп 5 испорченных. Какова вероятность того, что выбранные на удачу 3 лампы окажутся исправными?

7. Из урны, в которой находятся 3 белых, 4 черных, 5 красных шаров, наудачу вынимается один. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется:

1) белым;

2) черным;

3) желтым;

4) красным.

8. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность того, что сумма очков, выпавших на двух костях, окажется равной 10?

9. В урне 4 белых и 7 черных шаров. Из урны одновременно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара белые?

10. В лотерее из 50 билетов 8 выигрышных. Какова вероятность того, что среди первых пяти наугад выбранных билетов два будут выигрышными?

11. В партии из 12 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наугад деталей 4 стандартных.

12. Из урны, содержащей 6 шаров, пронумерованных цифрами от 1 до 6, наугад вынимают один за другим все шары. Какова вероятность того, что шары будут вынуты в порядке возрастания их номеров?

Дополнительные задания.

1. В забеге участвуют пять спортсменов: А, Б, В, Г и Д, каждый из которых имеет одинаковые шансы на успех. Какова вероятность того, что первые три места займут соответственно бегуны А, Б и В?

2. Из восьми букв разрезной азбуки составлено слово «институт». Затем карточки с буквами перемешивают и вновь собирают в произвольном порядке. Какова вероятность того, что снова получится слово «институт»?

3. Слово «учебник» составлено из букв разрезной азбуки. Затем карточки с буквами перемешивают и из них извлекают по очереди 6 карточек. Какова вероятность того, что эти шесть карточек в порядке выхода составят слово «ученик»?

4. Трехзначное число образовано наугад выбранными тремя не повторяющимися цифрами из числа цифр 1, 2, 3, 4, 5. Какова вероятность того, что это число четное?

5. Из урны, содержащей 6 белых и 8 черных шаров, наугад вынимают два шара. Какова вероятность того, что вынутые шары одного цвета?

6. На полке лежат 12 учебников, из них 7 – по математике. Студент берет на удачу 5 учебников. Какова вероятность того, что взяты учебники по математике?

7. В партии из 100 деталей содержится пять бракованных. Какова вероятность того, что среди выбранных на удачу 50 изделий будет хотя бы одно бракованное?

8. Восемь шаров случайным образом размещаются по восьми ящикам. Найти вероятность того, что каждый ящик будет занят?

9. Автобус должен сделать 8 остановок. Найти вероятность того, что никакие два пассажира из пяти, едущих в автобусе, не выйдут на одной и той же остановке.

10. Из 15 билетов выигрышными являются четыре. Какова вероятность того, что среди шести билетов, взятых наудачу, будет два выигрышных?

11. В классе учится 15 мальчиков и 25 девочек. По жребию выбирают пять учеников этого класса. Какова вероятность того, что среди них окажется две девочки?

12. Монета подброшена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится цифра.

Варианты заданий

Выбор варианта осуществляется в соответствии с порядковым номером в списке журнала. Выполняются два примера задания.

	0.	1.	2.	3.	4.	5.	6.	7.	8.	9.
0.	1,12	3,4	6,9	4,9	8,10	5,8	8,12	2,10	1,10	9,5
1.	2,3	1,11	3,5	6,7	3,10	7,8	2.9	1,9	7,3	4,12
2.	3,7	2,4	11,4	3,6	6,10	2,8	1,8	5,6	4,6	5,10
3.	6,8	3,8	2,11	1,5	2,7	11,7	4,2	4,7	7,9	5,7
4.	4,10	5,9	3,12	2,6	1,6	9,10	4,8	7,10	5,6	7,4

Контрольные вопросы

1. Назовите три типа событий.

2. Какие события называются достоверными?

3. Сформулируйте определение невозможных событий.

4. Дайте определение случайных событий.

5. Какие исходы называются благоприятными?

6. Сформулируйте классическое определение вероятности.

7. Назовите свойства вероятности.

8. Какие элементы комбинаторики существуют? Дайте формулировку каждого из них.