Застосування визначеного інтеграла

З М І С Т

Розділ 1

Визначений інтеграл

1.1. Означення визначеного інтеграла як границі інтегральної суми.

Умови існування та властивості визначеного інтеграла……………………5

1.2. Обчислення визначених інтегралів……………………………………………8

1.2.1. Формула Ньютона-Лейбніца…………………………………………………8

1.2.2. Метод заміни змінної………………………………………………………..12

1.2.3. Інтегрування частинами……………………………………………………..19

 

Розділ 2

Невласні інтеграли

2.1. Невласні інтеграли першого роду (з нескінченними межами)………..23

2.2. Невласні інтеграли другого роду (від необмежених функцій)…………..33

 

Розділ 3

Застосування визначеного інтеграла

До задач геометрії

3.1. Обчислення площ плоских фігур…………………………………………. 43

3.2. Обчислення довжини дуги плоскої кривої………………………………. 56

3.3. Обчислення об’ємів тіл обертання………………………………………… 65

3.4. Обчислення площі поверхні тіл обертання……………………………… 73

 

ЛІТЕРАТУРА ………………………………………………………………… 84

 

 

Вступ

Основна форма навчання студентів – самостійна робота над навчальним матеріалом, яка складається з вивчення теоретичних положень за підручником, розгляду прикладів і розв’язання задач. При вивченні матеріалу за підручником треба переходити до наступного питання тільки після правильного зрозуміння попереднього, виконуючи на папері усі обчислення, навіть і ті, які пропущені у підручнику. Розв’язання задач при вивченні дисципліни «Вища математика» часто пов’язано з багатьма складностями. Якщо складається скрутне становище при розв’язанні задачі, то треба вказати характер цього утруднення, привести припущення відносно плану розв’язку.

Відомо, що при самостійному розв’язуванні задач студентам потрібні постійні консультації щодо способів їх розв’язування, оскільки знайти шлях до розв’язування задачі без допомоги викладача або відповідного підручника студентові не під силу. Допомогти студентам технічних спеціальностей всіх форм навчання подолати ці складності, навчити їх застосовувати теоретичні знання до розв’язування задач - основне призначення цього навчального посібника.

У третій частині навчального посібника викладено матеріал з таких розділів вищої математики: «Визначений інтеграл», «Невласні інтеграли» та «Застосування визначеного інтеграла до задач геометрії». Основні теоретичні положення, формули та теореми ілюструються докладним розв’язанням великої кількості задач різного ступеня складності з їх повним аналізом. Для ефективності засвоєння матеріалу пропонуються завдання для самостійної роботи.

Автори сподіваються, що саме така побудова посібника надає студентові широкі можливості до активної самостійної роботи, яка, безумовно, сприятиме засвоєнню матеріалу при вивченні дисципліни «Вища математика».

 

Розділ 1

ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

Означення визначеного інтеграла як границі інтегральної суми. Умови існування та властивості визначеного інтеграла

Нехай функція визначена на відрізку , < . Розіб’ємо відрізок на довільних частин так, щоб

 

< < …< < < <…< .

 

Сукупність точок назвемо -розбиттям відрізка на частини. Для кожного з частинних відрізків визначимо його довжину та значення функції у довільній точці . Позначимо через - найбільшу довжину серед довжин частинних відрізків, тобто . Утворимо суму , яка називається інтегральною сумою функції на відрізку .

 

Означення 1. Якщо існує скінченна границя інтегральної суми при умові, що найбільша із різниць прямує до нуля, яка не залежить ані від способу розбиття відрізка на частинні відрізки, ані від вибору проміжних точок у кожному з частинних відрізків, то вона називається визначеним інтегралом функції на відрізку і позначається символом . Отже, згідно з означенням,

 

.

 

Числа і називають відповідно нижньою та верхньою межами інтегрування; функція називається підінтегральною функцією; - підінтегральним виразом; - змінною інтегрування, а відрізок - проміжком інтегрування.

 

Означення 2. Функція , для якої на відрізку існує визначений інтеграл, називається інтегровною на цьому відрізку.

 

 

Геометричний зміст визначеного інтеграла полягає в тому, що визначений інтеграл від невід’ємної та інтегровної на відрізку функції чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції , відрізками прямих , та віссю :

 

Рис.1.1

Необхідною умовою існування визначеного інтеграла є обмеженість функції на відрізку .

Достатньою умовою існування визначеного інтеграла є неперервність функції на цьому ж відрізку.

 

Розглянемо деякі властивості визначеного інтеграла:

1) Визначений інтеграл не залежить від позначення змінної інтегрування:

.

 

2) Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю:

.

 

3) Для будь-якого довільного сталого числа справджується рівність:

.

4) При переставленні меж інтегрування визначений інтеграл змінює знак, тобто

.

 

5) Якщо функції і - інтегровні на відрізку , то функція також є інтегровною на цьому відрізку, причому

.

 

6) Якщо функція - інтегровна на найбільшому з відрізків , , , то вона інтегровна і в двох інших і для будь-якого взаємного розташування точок має місце рівність

.

 

7) Якщо функція - інтегровна на відрізку < і всюди на цьому відрізку , то

.

Аналогічно маємо, що , якщо .

 

8) Якщо функції і - інтегровні на < і всюди на цьому відрізку , то

.

 

9) Якщо функція - інтегровна на < , то функція також інтегровна на цьому відрізку, причому

.

 

10) Якщо функція - інтегровна на < та і - відповідно її найменше і найбільше значення на цьому відрізку, то справджуються нерівності

.

11) Якщо функція - неперервна на , то існує точка така, що виконується рівність:

.

 

Це ствердження має назву теореми про середнє значення визначеного інтеграла.

Формула Ньютона-Лейбніца

Для пошуку способу обчислення визначеного інтеграла встановимо зв’язок між невизначеним та визначеним інтегралами. Для цього розглянемо , де функція є неперервною на та інтегровною на ньому, - довільна фіксовна точка відрізка .

Цей інтеграл називають визначеним інтегралом із змінною верхньою межею. Очевидно, він є функцією від , тому позначимо його через .

Має місце наступна теорема Барроу:

Якщо функція - неперервна на , то функція - диференційовна на цьому відрізку, причому для усіх .

 

Тобто для всякої неперервної на функції завжди існує первісна, та однією з цих первісних є визначений інтеграл із змінною верхнею межею. Таким чином, встановлений зв’язок між невизначеним та визначеним інтегралами.

Ефективний і простий спосіб обчислення визначеного інтеграла дається формулою Ньютона-Лейбніца:

 

,

де - неперервна на , - яка-небудь її первісна.

 

Зразки розв’язування задач

Обчислити інтеграли.

1. .

 

Первісною від даної підінтегральної функції є . Обчислимо її значення при верхній границі , при нижній границі . За формулою Ньютона-Лейбніца значення інтегралу становить .

Розв’язування може бути подане у вигляді:

 

.

 

2. .

 

 

3.

.

 

 

4.

.

 

 

5.

.

 

6. .

 

Первісну можна знайти, використавши формулу пониження степеня: . Отримаємо:

 

.

 

7. .

 

Для знаходження первісної в знаменнику виділимо повний квадрат.

 

.

 

8. .

 

Знайдемо первісну функції. Для цього правильний дріб представимо у вигляді суми найпростіших дробів, а саме

 

.

 

Звільнившись від знаменника, маємо:

 

.

 

Отже, .

 

Тоді

.

 

Завдання для самостійної роботи

Обчислити інтеграли:

 

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

Зразки розв’язування задач

Обчислити інтеграли.

 

1. .

 

Зробимо заміну . Тоді , .

Визначимо нові межі інтегрування. Якщо , то , при .

Отримаємо:

 

.

 

 

2. .

Використаємо властивість 4 і змінюємо межі інтегрування:

 

.

 

3. .

 

4. .

 

5. =

.

 

6.

.

7. .

 

Оскільки підінтегральна функція є раціональною відносно , зробимо заміну .

Тоді =

 

= .

 

8. .

 

Перетворимо вираз : .

Інтеграл набуває вигляду:

 

.

.

 

9. .

Підінтегральний вираз містить . Зробимо заміну , . Тоді . Щоб знайти нові межі інтегрування, виразимо через : .

Отже, при ,

при .

 

Будемо мати: .

Щоб проінтегрувати парну степінь , скористуємось двічі формулою пониження степеня:

 

.

 

Тобто

.

 

10. .

 

Застосуємо для інтегрування тригонометричну підстановку . Тоді , .

 

Межі інтегрування: , тому при ,

при .

Отже,

 

.

 

Отриманий інтеграл не є табличним. Для його обчислення необхідно скористатися ще однією заміною.

Позначимо , звідки , .

При , при .

 

Тоді

.

 

Завдання для самостійної роботи

Обчислити інтеграли:

 

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. .

Зразки розв’язування задач

Обчислити інтеграли.

 

1. .

Покладемо , ; тоді , . Отримаємо:

.

 

2.

.

 

3.

 

 

.

 

4.

 

 

.

 

5. .

 

Для обчислення отриманого інтегралу використаємо метод інтегрування частинами ще раз.

 

.

 

Після двократного інтегрування частинами ми прийшли до вихідного інтегралу. Позначимо . Тоді

, звідки , .

Таким чином отримали:

 

.

 

6. .

 

Перший доданок можна обчислювати, а до другого знову застосуємо метод інтегрування частинами:

 

.

Завдання для самостійної роботи

Обчислити інтеграли:

 

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

 

 

Розділ 2

НЕВЛАСНІ ІНТЕГРАЛИ

Зразки розв’язування задач

Зразки розв’язування задач

Розділ 3

ДО ЗАДАЧ ГЕОМЕТРІЇ

Зразки розв’язування задач

Розв’язання

Побудуємо дані лінії і визначимо фігуру, площу якої треба знайти.

 

Площа визначається за формулою (3.1):

x = 0

кв. од.

 

2. .

 

Розв’язання

Зобразимо фігуру, площу якої шукаємо.

Тоді

кв. од.

 

 

3. .

 

Розв’язання

Фігура обмежена параболою і прямою .

Щоб визначити межі інтегрування, знайдемо абсциси точок перетину ліній та :

, звідки .

 

 

Як бачимо, фігура симетрична відносно осі , тому обчислимо площу її правої половини, а загальний результат подвоємо.

Будемо мати: кв. од.

 

4. .

Розв’язання

Побудуємо дані лінії.

Фігура на відрізку обмежена зверху , знизу прямою . Її площу знайдемо за формулою (3.3):

 

кв. од.

 

 

5. .

 

Розв’язання

Побудуємо параболу . Приведемо рівняння до канонічного виду, виділивши повний квадрат:

.

Отже, парабола має вершину в точці і перетинає вісь в точках .

На відрізку функція має від’ємні значення. За формулою (3.2) шукана площа дорівнює:

кв. од.

 

6. .

 

Канонічний вид параболи :

тоді .

Парабола симетрична відносно прямої , має вершину .

Точки перетину з віссю :

, тоді

, звідки

, .

За формулою (3.4) знайдемо площу:

кв. од.

 

7. .

Розв’язання

Побудуємо дані гіперболу та пряму. Для знаходження абсцис точок перетину графіків розв’яжемо систему рівнянь:

, тоді , , , звідки .

Отже,

 

кв. од.

8. .

Розв’язання

Побудуємо дані лінії.

 

Точки перетину графіків:

, тоді , , звідки .

 

Як бачимо, фігура розташована у I чверті, тому оберемо . На відрізку фігура зверху обмежена спочатку графіком функції (якщо ), а потім графіком (якщо ). Тому площу всієї фігури знайдемо як суму двох площ, кожну з яких обчислимо за формулою (3.1).

А саме: ,

де кв. од., кв. од.

Отримаємо: кв. од.

 

Перейдемо до розглядання прикладів обчислення площ у параметричній системі координат для циклоїди та кардіоїди. Обидві ці криві мають механічне походження та описуються точкою кола радіуса , що котиться без ковзання по деякій лінії. Для циклоїди цією лінією буде пряма, а для кардіоїди – знов коло радіуса , що має із першим колом зовнішній дотик.

 

9. Знайти площу фігури обмеженої віссю та однією аркою циклоїди

.

 

Розв’язання

Поглянемо на вигляд цієї кривої.

 

 

Параметр буде змінюватися від до . Використавши формулу (3.5), маємо:

 

кв. од.

Таким чином, площа однієї арки циклоїди втричі більше площі кола, що котиться.

 

 

10. Знайти площу, обмежену кардіоїдою ,

.

 

Розв’язання

 

Наведемо вигляд цієї кривої.

Крива симетрична відносно осі . Обчислимо половину площі і подвоємо результат. Точкам та відповідають значення параметрів .

Для обчислення площі використаємо формулу (3.6).

 

Обчислимо : .

Тоді

 

.

Отримаємо: кв. од.

 

Тепер ознайомимося із цікавими кривими у полярній системі координат.

 

11. Обчислити площу, обмежену лемніскатою Бернуллі .

Розв’язання

Прослідкуємо, як змінюється кут , коли радіус-вектор точки на лемніскаті описує чверть шуканої площі.

При , . Визна-чимо, чому дорівнює кут , коли радіус-вектор дорівнюватиме . Підставляючи в рівняння кривої, отримаємо: , , , звідки .

Таким чином, на чверті площі полярний кут змінюється в межах від до . Тоді за формулою (3.6):

.

Вся площа кв. од.

 

 

12.Обчислити площу однієї пелюстки рози, яка задається рівнянням .

Зауваження. Зазначимо, що криві задані рівняннями (або ), де та - постійні величини, називаються розами. Якщо - парне число, то крива має - пелюсток, якщо - непарне число, то крива має - пелюсток.

Щоб знайти площу однієї пелюстки, визначимо, як змінюється полярний кут , коли радіус-вектор описує цю площу.

Нехай . Тоді , звідки .