Обчислення криволінійних інтегралів першого та другого

Роду. Формула Гріна. Умови незалежності криволінійного

Інтеграла від шляху інтегрування

 

Нехай кусково-гладка просторова крива з початком у точці і кінцем в точці , на якій визначена і неперервна функція . Інтегральною сумою розбиття дуги на елементарних частин довжини називається наступна функція , де довільна точка на елементарному відрізку розбиття.

Криволінійним інтегралом першого роду від функції по дузі називається границя (якщо вона існує) інтегральної суми розбиття при та , яка не залежить від способу розбиття дуги точками на елементи і вибору точок в частинних дугах довжини і позначається таким чином:

.

Нехай на кусково-гладкій просторовій кривій задана векторна функція , яка має проекції на осі вибраної декартової системи координат. Інтегральною сумою розбиття дуги на елементарних частин з проекціями називається функція:

де довільна точка на .

К риволінійним інтегралом другого роду від векторної функції по дузі називається скінчена границя інтегральної суми при (якщо вона існує і не залежить від способу розбиття дуги на елементи і вибору точок ). Інтеграл має вигляд:

,

де радіус вектор точки; скалярний добуток.

Для криволінійних інтегралів першого і другого роду має місце залежність:

,

де проекція вектора на вектор , який напрямлений по дотичній до дуги в точці в бік від до .

 

Властивості криволінійних інтегралів

 

1. Криволінійні інтеграли першого й другого родів не залежать від вибору

початкової точки на цьому контурі.

2. Криволінійний інтеграл першого роду не залежить від напряму обходу

шляху інтегрування.

 

 

3. Інтеграл другого роду залежить від напряму обходу дуги , а саме

.

4. Теорема про середнє. Якщо функція визначена й неперервна на

гладкій дузі (включаючи її кінці), то на цій дузі знайдеться така

точка , для якої має місце наступна рівність:

.

де довжина дуги .

Тобто криволінійний інтеграл першого роду дорівнює добутку середнього значення підінтегральної функції на довжину шляху інтегрування.

 

Обчислення криволінійних інтегралів першого роду

За плоскою областю

I. Крива задається рівнянням , а точки і задані своїми

координатами :

. (4.1)

II. Крива задається параметричним рівнянням де .

. (4.2)

III. Крива задається рівнянням , де .

. (4.3)

Обчислення криволінійних інтегралів другого роду

За плоскою областю

I. Крива задана рівнянням , а точки і задані кордина-

тами :

. (4.4)

II. Крива задається параметричними рівняннями

.

. (4.5)

III. Крива задається рівнянням , .

. (4.6)

Формула Гріна встановлює зв’язок між подвійним інтегралом по плоскій області й криволінійним інтегралом по контуру цієї області. Формула Гріна має вигляд:

,

де Г – контур області функції неперервні в області , для яких існують неперервні частинні похідні і .

Нехай функції визначені і неперервні в однозв’язній обмеженій замкненій області площини . Тоді величина криволінійного інтеграла

не залежить від шляху інтегрування, а лише від початкової й кінцевої точок інтегрування та від функцій і , якщо буде виконуватися рівність:

Зразки розв’язування задач

 

Приклад 1. Обчислити криволінійний інтеграл , де відрізок прямої, яка сполучає точки і .

 

Розв’язання.

Рівняння прямої, якій задовольняють задані точки, знаходиться за формулою:

,

де задані точки.

Пряма має вигляд: або . Звідси .

За формулою (4.1) матимемо

.

Приклад 2. Обчислити криволінійний інтеграл першого роду , де коло .

Розв’язання.

Перейдемо до полярних координат: . Рівняння кривої набуває вигляду , де . Для обчислення інтеграла застосуємо формулу (4.3), оскільки . Отже

 

;

.

Приклад 3. Обчислити криволінійний інтеграл першого роду , де дуга циклоїди між точками та .

 

Розв’язання.

Знайдемо похідні функцій та за параметром :

.

За формулою (4.5) матимемо

 

 

.

 

Приклад 4. Обчислити криволінійний інтеграл , де відрізок прямої від точки до точки .

Розв’язання.

Запишемо рівняння прямої, що проходить через точки і :

.

Тоді . Скористаємось формулою (4.4):

.

 

Приклад 5. Обчислити інтеграл вздовж ламаної , де і .

 

Розв’язання.

Вздовж ламаної на ділянці маємо і , на ділянці .

Тому, згідно з формулою (4.4), маємо:

.

 

Приклад 6. Обчислити інтеграл , де частина гіперболічної спіралі від до .

Розв’язання.

Розглянемо полярну систему координат: , . Тоді .

 

За формулою (4.3) маємо

.

 

Приклад 7. За допомогою формули Гріна обчислити криволінійний інтеграл , де коло .

Розв’язання.

За умовами задачі ;

. Отже .

За формулою Гріна

 

 

.

Область коло з центром в точці і радіусом . Рівняння кола має вигляд:

.

Перейдемо до полярних координат з полюсом у центрі . Рівняння, яке зв’язує і полярні координати з полюсом у точці , має вигляд: .

Таким чином,

.

 

Приклад 8. Чи залежить криволінійний інтеграл від шляху інтегрування ?

Розв’язання.

За умовами задачі: . Знайдемо часткові похідні і : .

Отже, інтеграл залежить від шляху інтегрування.

 

Завдання для самостійної роботи

 

I. Обчислити криволінійні інтеграли:

а) де відрізок прямої між точками і ;

б) , де прямокутник з вершинами ;

в) , де коло ;

г) де арка циклоїди ;

д) , де верхня половина еліпса по ходу стрілки годинника;

 

е) , де лінія від точки до точки .

 

 

II. За допомогою формули Гріна обчислити криволінійний інтеграл

, де коло .

 

III. Вказати криволінійний інтеграл по координатах, який не залежить від

шляху інтегрування

а) ;

б) ;

в) .