Поняття про потрійний інтеграл

Нехай у деякій замкнутій області простору задана функція трьох змінних . Розіб'ємо область довільно на областей, що не мають загальних внутрішніх точок. У кожній області візьмемо довільно точку . Значення функції в точці помножимо на об'єм і складемо такі добутки по всіх областях ділення. Отримана сума буде інтегральною сумою функції по області .

Означення 6.1. Потрійним інтегралом функції по області називається границя інтегральної суми цієї функції по області за умови що і ця границя існує, тобто

. (6.17)

Якщо невід’ємна функція – відома щільність розподілу маси тіла, , то маса тіла дорівнює

. (6.18)

Ця рівність є механічним змістом потрійного інтеграла.

Якщо , то

.

Враховуючи, що елемент об'єму у прямокутних координатах обчислюється за формулою , одержуємо формулу для обчислення об'єму тіла V за допомогою потрійного інтеграла:

. (6.19)

Виходячи з означення потрійного інтеграла можна сформулювати його основні властивості.

1) Сталий множник можна виносити за знак потрійного інтеграла, тобто

.

2) Потрійний інтеграл від суми функцій дорівнює сумі потрійних інтегралів від доданків за тією ж областю:

.

3) Якщо область розбита на дві області, які не мають загальних внутрішніх точок, то

.

4) Якщо в області , то

.

5) Якщо в області

, то .

6) Модуль потрійного інтеграла не перевищує потрійного інтеграла модуля функції, що інтегрується, тобто .

Для потрійного інтеграла можна довести теорему про середнє значення.

Теорема 6.3. Якщо функція неперервна в замкнутій області , то в цій області існує така точка , що

,

де – об'єм даної області.

Обчислення потрійних інтегралів відбувається шляхом послідовного обчислення інтегралів меншої кратності.

За аналогією до подвійного інтеграла (рис. 6.17) будемо мати

.

Якщо, крім того, проекцією області на площину є область, яка визначається системою нерівностей то

. (6.20)

 

 

Рис. 6.17.

 

При обчисленні потрійного інтеграла за формулою (6.20) за допомогою повторного інтеграла спочатку обчислюється внутрішній інтеграл за змінною при сталих і , а потім отримана функція послідовно інтегрується за змінною і, нарешті, за змінною .

Зокрема, якщо область – паралелепіпед із гранями то

. (6.21)

Приклад 6.9. Обчислити інтеграл по області, що обмежена площинами , , , (рис. 6.18).

Рис. 6.18.

Розв’язання. Область проектується на площину в область, обмежену прямими , , , яку можна записати за допомогою системи нерівностей

Одержуємо

 

Заміна змінних в потрійному інтегралі

Нехай області в системі координат відповідає область в системі координат , тоді справедлива формула:

де якобіан має вигляд .

Найчастіше використовують циліндричну і сферичну системи координат, а також їх узагальнення.

Циліндрична система координат:

.

Загальні циліндричні координати:

.

Узагальнені циліндричні координати:

.

Сферичні координати:

Загальні сферичні координати:

.

Узагальнені сферичні координати:

.

 

Застосування потрійного інтеграла у фізиці

До обчислення потрійних інтегралів приводять задачі, пов'язані з неперервним розподілом маси в просторовій області.

Якщо відома щільність розподілу маси в області простору, то можна одержати формули статичних моментів відносно координатних площин:

, , ;

моментів інерції відносно координатних вісей:

, ,

;

моментів інерції відносно координатних площин:

, ,

;

полярного моменту інерції

;

координат центра мас:

, ,

.

 

Вправи

6.1. Побудувати області, площі яких виражаються інтегралами:

1) ; 2) .

Змінити порядок інтегрування й обчислити площі.

6.2. Змінити порядок інтегрування:

а) ;

б) ;

в) .

6.3. Представити подвійний інтеграл за допомогою повторних із зовнішнім інтегруванням по і по :

а) : , , ;

б) : , ;

в) : , , .

6.4. Обчислити , де – криволінійний трикутник, обмежений параболою і прямими , .

6.5. Обчислити , де – частина кола радіуса a з центром у точці (0;0), що лежить у першій чверті.

6.6. Обчислити інтеграли:

а) , : , ;

б) ;

в) , : , ;

г) , : , ;

д) ; є) .

6.7. Знайти об’єм тіла, обмеженого поверхнями (за допомогою подвійного інтегралу):

а) , , , , ;

б) , , , , ;

в) , , , , , .

6.8. Знайти площу області, яка обмежена кривими:

а) ; б) ; в) .

6.9. Знайти об'єм тіла, обмеженого еліптичним параболоїдом , площиною і координатними площинами.

6.10. Обчислити об'єм тіла, обмеженого площиною , циліндром і конусом .

6.11. Обчислити координати центра ваги фігури, обмеженої кривими:

а) , ;

б) , , ;

в) , ;

г) , , .

6.12. Обчислити:

а) ;

б) , : , , ;

в) , : , , , ;

г) , : , , , ;

д) , : , , , , .

6.13. Обчислити , де – область, обмежена координатними площинами і площиною .

6.14. Знайти об’єм тіла, обмеженого поверхнями:

а) , ;

б) , , ;

в) , , .

6.15. Визначити центр мас однорідного тіла, обмеженого поверхнею і координатними площинами.

6.16. Знайти масу тіла, обмеженого поверхнями:

а) , , , , ;

б) , , , , , ;

в) , , , , .

 

Розділ 7. Ряди