Розділ 6. Інтегральне числення функцій багатьох змінних

Розділ 6. Інтегральне числення функцій багатьох змінних

Об'єм циліндричного тіла

Розглянемо в просторі тіло , обмежене зверху поверхнею, заданою рівнянням , збоку – циліндричною поверхнею з твірними, паралельними вісі , знизу областю площини ( – проекція поверхні на площину ). Тіло будемо називати циліндричним з основою (рис. 6.1).

 

 

Рис. 6.1.

 

Для розв'язання поставленої задачі розіб'ємо довільно область на частин: , ,..., і розглянемо циліндричне тіло як сукупність циліндричних стовпчиків з основами , ,..., .

Для визначення об'єму кожного циліндричного стовпчика візьмемо в області довільну точку і побудуємо циліндр із основою і висотою . Такий циліндр обмежений зверху частиною поверхні, рівняння якої . Об'єм цього циліндра можна прийняти за наближене значення об'єму циліндричного стовпчика :

.

Виконуючи обчислення для кожної області ділення і додаючи результати, одержуємо наближене значення об'єму даного циліндричного тіла

.

Отже, отримали об'єм східчастого тіла з основою S, “покритого” зверху частинами площин, рівняння яких

.

Точне значення об'єму циліндричного тіла дорівнює границі, до якої прямує знайдене наближене значення об'єму при необмеженому зменшенні областей ділення, тобто

.

 

Означення подвійного інтеграла

Нехай задана функція , неперервна в деякій плоскій області . розіб'ємо довільно область на частин: , ,..., У кожній замкнутій області виберемо довільну точку . Обчислимо значення функції в обраних точках . Складемо добуток для кожного розбиття. Додамо всі добутки, одержимо суму , яка буде інтегральною сумою для функції в області . Обчислимо границю інтегральної суми функції, за умови, що найбільший діаметр розбиття прямує до нуля. Якщо за цих умов інтегральна сума має скінченну границю, то цю границю називають подвійним інтегралом від функції по області і позначають символами

або .

Таким чином:

. (6.2)

Функція , для якої існує подвійний інтеграл , називається інтегрованою в області .

Геометричний зміст подвійного інтеграла можна пояснити, скориставшись результатом розв'язку розглянутої задачі (рис. 6.1).

Для невід’ємної неперервної в області функції подвійний інтеграл дорівнює об'ємові циліндричного тіла, обмеженого зверху поверхнею з основою у площині .

Якщо ж підінтегральна функція недодатня неперервна в замкнутій області , то подвійний інтеграл дорівнює узятому зі знаком мінус об'ємові циліндричного тіла, обмеженого зверху областю площини , знизу – поверхнею , збоку – циліндричною поверхнею з твірними, паралельними вісі .

Якщо ж неперервна функція є знакозмінною в області , наприклад, додатньою в області і від'ємною в області (рис. 6.2), то подвійний інтеграл дорівнює алгебраїчній сумі об'ємів циліндричних тіл з основами і . У цю суму об'єми тіл, що лежать над площиною , входять зі знаком плюс, а об'єми тіл, що лежать під площиною , входять зі знаком мінус.

Рис. 6.2.

Зазначені поняття використовуються при обчисленні об'ємів тіл за допомогою подвійних інтегралів.

 

Застосування подвійного інтеграла в геометрії

Площа плоскої фігури.

На підставі властивостей подвійного інтеграла .

Для підінтегральна функція і виходячи з геометричного змісту подвійного інтеграла одержимо об'єм циліндричного тіла висотою , що дорівнює площі основи тіла, тобто (од. куб.) = (од. кв.).

Отже, у прямокутних координатах

. (6.9)

У полярній системі координат , тому

. (6.10)

Рис. 6.11.

Приклад 6.4. Обчислити площу фігури, що обмежена лініями , (рис. 6.11).

Розв’язання. Розглянемо область як просту відносно і запишемо її нерівностями. Для цього знайдемо точки перетину ліній, що обмежують область (крайні точки області по вісі ), розв’язавши систему рівнянь

Отже,

Тоді

Приклад 6.5. Обчислити площу фігури, що обмежена лініями , , , .

Розв’язання. Перетворимо перші два рівняння до канонічного вигляду, одержимо , . Перше рівняння визначає коло з центром у точці (1;0) з радіусом , друге рівняння також визначає коло з центром у точці (2;0) з радіусом (рис. 6.12).

Рис. 6.12.

Як видно з рисунка, дану площу не можна обчислити за допомогою одного подвійного інтеграла в прямокутних координатах.

В полярній системі координат область є простою по . Рівняння кіл, що обмежують область у полярній системі координат, одержимо, підставивши в їхні початкові рівняння , . Тоді рівняння першого кола набуде вигляду , а для другого відповідно .

Очевидно, що

Тоді

(кв. од.)

 

Об'єм тіла.

Виходячи з геометричного змісту подвійного інтеграла, об'єм тіла з основою в площині , бічною поверхнею, паралельною вісі , обмеженого зверху поверхнею заданою рівнянням , може бути обчислений за формулою

. (6.10)

Приклад 6.6. Знайти об'єм тіла , обмеженого поверхнями , , , (рис. 6.13).

Розв’язання. Дане тіло є циліндричним з основою у площині , обмеженим зверху параболоїдом . Отже, .

В силу симетричності тіла відносно координатної площини можна обчислити об'єм тіла з основою , (рис. 6.14), потім результат подвоїти.

 

Рис. 6.13.	Рис. 6.14.

 

Оскільки

Приклад 6.7. Обчислити об'єм тіла, обмеженого поверхнями , , z=0 (рис. 6.15).

Рис. 6.15.

Розв’язання. Оскільки основою тіла в площині є область, обмежена колом , обчислимо об'єм, використовуючи полярну систему координат. Зверху тіло обмежене поверхнею , рівняння якої в полярній системі координат . Тому ,

де .

Тоді . Область можна записати за допомогою нерівностей

Отже .

 

Площа поверхні.

Розглянемо поверхню, задану рівнянням . Нехай їх відповідає область площини . Тоді площа поверхні може бути обчислена за формулою

. (6.11)

 

Маса плоскої пластини.

Розглянемо тонку пластину, розташовану в площині, яка займає область . Товщину цієї пластинки вважаємо настільки малою, що зміною щільності за товщиною можна знехтувати.

Поверхневою щільністю такої пластинки в даній точці називається границя відношення маси елементарної ділянки, що містить цю точку, до її площі за умови, що площа ділянки стягується до даної точки. Позначимо щільність , маємо

.

Якщо стала в кожній точці області, то маса обчислюється за формулою , де – площа пластинки.

Нехай пластинка неоднорідна, тобто .

Розіб'ємо область , що займає пластинка, на елементарних ділянок. У кожній ділянці розбивання довільно виберемо точу і будемо вважати, що щільність елементарної пластинки стала і така, як в обраній точці, тобто .

Тоді масу кожної елементарної ділянки можна вважати приблизно рівною

.

Масу всієї пластинки одержимо, якщо додамо маси елементарних ділянок:

.

Точний результат знайдемо, перейшовши в останній рівності до границі:

. (6.12)

Формулу (6.12) можна розглядати як механічний зміст подвійного інтеграла: подвійний інтеграл дорівнює масі плоскої пластини, що займає область , якщо щільність розподілу маси в цій області дорівнює підінтегральній функції .

 

Статичні моменти.

Аналогічно міркуючи, можна одержати формули для обчислення статичних моментів пластинки відносно координатних осей:

; . (6.13)

 

Координати центра мас.

У механіці доводиться, що статичний момент пластинки відносно якої-небудь осі збігається зі статичним моментом точкової маси, рівної масі пластинки, зосередженої в центрі ваги її відносно тієї ж осі. Звідси, позначаючи через координати центра мас пластинки , будемо мати:

; .

Отже,

, , (6.14)

 

Моменти інерції.

Аналогічно, для моментів інерції пластинки одержуємо:

; . (6.15)

Можна показати, що полярний момент пластинки обчислюється за формулою

. (6.16)

Очевидно, що

.

Приклад 6.8. Обчислити координати центра ваги півкола, щільність розподілу маси якого пропорційна квадрату відстані точки від діаметра цього півкола.

Рис. 6.16.

Розв’язання. Нехай вісь проходить через діаметр півкола , а вісь перпендикулярна до вісі у його центрі (рис. 6.16). При такому виборі осей координат щільність ( – коефіцієнт пропорційності), , , де ,

,

, .

 

Вправи

6.1. Побудувати області, площі яких виражаються інтегралами:

1) ; 2) .

Змінити порядок інтегрування й обчислити площі.

6.2. Змінити порядок інтегрування:

а) ;

б) ;

в) .

6.3. Представити подвійний інтеграл за допомогою повторних із зовнішнім інтегруванням по і по :

а) : , , ;

б) : , ;

в) : , , .

6.4. Обчислити , де – криволінійний трикутник, обмежений параболою і прямими , .

6.5. Обчислити , де – частина кола радіуса a з центром у точці (0;0), що лежить у першій чверті.

6.6. Обчислити інтеграли:

а) , : , ;

б) ;

в) , : , ;

г) , : , ;

д) ; є) .

6.7. Знайти об’єм тіла, обмеженого поверхнями (за допомогою подвійного інтегралу):

а) , , , , ;

б) , , , , ;

в) , , , , , .

6.8. Знайти площу області, яка обмежена кривими:

а) ; б) ; в) .

6.9. Знайти об'єм тіла, обмеженого еліптичним параболоїдом , площиною і координатними площинами.

6.10. Обчислити об'єм тіла, обмеженого площиною , циліндром і конусом .

6.11. Обчислити координати центра ваги фігури, обмеженої кривими:

а) , ;

б) , , ;

в) , ;

г) , , .

6.12. Обчислити:

а) ;

б) , : , , ;

в) , : , , , ;

г) , : , , , ;

д) , : , , , , .

6.13. Обчислити , де – область, обмежена координатними площинами і площиною .

6.14. Знайти об’єм тіла, обмеженого поверхнями:

а) , ;

б) , , ;

в) , , .

6.15. Визначити центр мас однорідного тіла, обмеженого поверхнею і координатними площинами.

6.16. Знайти масу тіла, обмеженого поверхнями:

а) , , , , ;

б) , , , , , ;

в) , , , , .

 

Розділ 7. Ряди

Властивості числових рядів

Розглянемо деякі властивості числових рядів.

Властивість 1. Якщо ряд є збіжним і його сума , то і ряд , де , також є збіжним і його сума .

Дійсно, якщо ряд є збіжним, його частинні суми , і, отже , але – частинні суми ряду , тому .

Очевидно, що якщо ряд є розбіжним, то і ряд , де , також є розбіжним.

Виходить, поведінка ряду не зміниться, якщо всі його члени помножити на однакове число.

Властивість 2. Якщо ряди і є збіжними і їхні суми відповідно рівні і , то і ряд є збіжним і його сума дорівнює .

Справді нехай і , – частинні суми відповідних рядів, тоді за умовою , звідси .

Враховуючи, що частинні суми ряду , одержуємо .

Таким чином, ряди, що є збіжними, можна почленно додавати, при цьому одержуємо ряд, що є збіжним.

Різниця двох рядів, що є збіжними, також ряд, що є збіжним.

Очевидно, що сума збіжного і розбіжного ряду – розбіжний ряд.

Загального висновку щодо алгебраїчної суми розбіжних рядів зробити не можна.

В одних випадках у результаті можемо одержати розбіжний ряд, в інших – збіжний.

Властивість 3. Збіжність і розбіжність ряду не порушиться, якщо відкинути чи додати скінченне число членів ряду.

Властивість випливає з означення збіжного ряду. З цієї властивості випливає, що ряд і його залишок поводяться однаково, обидва є збіжними або обидва є розбіжними.

 

Ознака порівняння.

Знакопостійним рядом будемо називати ряд, члени якого мають однаковий знак. До знакопостійних рядів відносять знакододатні та знаковід’ємні ряди. Будемо далі розглядати знакододатні ряди, оскільки дослідження знаковід’ємних рядів можна звести до дослідження знакододатніх рядів винесенням за дужки числа .

Нехай дано два ряди з невід’ємними членами:

;

.

Відомо, що

Якщо ряд з більшими членами є збіжним, то ряд з меншими членами також буде збіжним.

Якщо ряд з меншими членами є розбіжним, ряд з більшими членами також буде розбіжним.

Дійсно, нехай частинна сума ряду , –ряду .

Якщо ряд збіжний, для нього існує скінченна границя послідовності частинних сум і його частинні суми обмежені, тобто при всіх , де – деяке число.

Але оскільки , то частинні суми ряду також обмежені, тобто також мають скінченну границю.

Якщо ж ряд розбіжний, то і ряд також є розбіжним, оскільки, допустивши збіжність ряду прийдемо до збіжності ряду , а це суперечить умові.

Приклад 7.4. Дослідити збіжність рядів:

а) ; б) .

Розв’язання. У випадку а): порівняємо даний ряд з рядом , що є геометричним зі знаменником , тобто збігається. Оскільки для всіх , досліджуваний ряд також є збіжним.

У випадку б): порівняємо даний ряд з гармонічним рядом , що є розбіжним. Оскільки , то досліджуваний ряд також є розбіжним.

 

Ознака Даламбера.

Нехай для знакододатнього ряду існує границя відношення наступного члена ряду до попереднього при і дорівнює скінченному числу : .

У такому випадку, якщо ця границя менша від одиниці, то ряд є збіжним. Якщо границя більша від одиниці, то ряд розбіжний. Якщо границя дорівнює одиниці, то ознака однозначної відповіді щодо збіжності чи розбіжності ряду не дає.

Нехай є знакододатній ряд і нехай

.

Тоді, починаючи з деякого номера члена буде виконуватися нерівність

,

де – як завгодно мале наперед задане додатнє число. Звідси для всіх номерів буде виконуватися нерівність

.

Нехай . Тоді можна взяти число настільки малим, що число також буде меншим від одиниці. Нехай .

Тоді або для всіх . Тоді одержуємо

, , ,...

Додавши нерівності, одержимо:

.

Але оскільки число , то у правій частині нерівності маємо геометричний ряд, що збігається. Тоді за ознакою порівняння ряд в лівій частині нерівності також збіжний. Отже на підставі властивості 3 числових рядів заданий ряд також збіжний.

Нехай тепер , тобто . Але тоді , що свідчить про те, що члени ряду не спадають, тобто для нього не виконується необхідна ознака збіжності ряду, тобто ряд розбіжний.

Якщо ж , можна показати, що ознака однозначної відповіді не дає. В одних випадках ряд є збіжним, в інших – розбіжний. Для дослідження ряду потрібно застосовувати яку-небудь іншу ознаку збіжності.

Приклад 7.6. Дослідити на збіжність ряди:

а) ; б) ; в) .

Розв’язання. У випадку а): , і . Отже ряд збіжний.

У випадку б): ,

і . Ряд розбіжний.

У випадку в): , і . Ознака Даламбера відповіді не дає.

 

Радикальна ознака Коші.

Якщо для ряду з невід’ємними членами існує , то при ряд збіжний, при ряд розбіжний, при ознака відповіді не дає.

Нехай . Візьмемо число , що задовольняє умові . Тоді знайдеться такий номер члена послідовності , починаючи з якого виконується нерівність . Підставляючи значення , ,..., одержуємо:

; ; ;....

Додаючи нерівності маємо:

.