Числові ряди. Основні поняття

Розглянемо числову послідовність , ,..., ,...

Означення 7.1. Рядом називається нескінченна сума числової послідовності

(7.1)

де – члени числової послідовності.

Елемент називається загальним членом ряду. Ряд вважається заданим, якщо відомо закон утворення членів ряду, тобто загальний член ряду .

Наприклад, якщо , маємо ряд .

Для одержуємо ряд .

Суму перших членів ряду називають -ою частинною сумою ряду. Очевидно, що

….

Частинні суми ряду утворюють послідовність , яка при може мати або не мати границю.

Означення 7.2. Числовий ряд (7.1) називається збіжним, якщо для нього існує скінченна границя послідовності частинних сум, тобто

(7.2)

При цьому, скінченне число називають сумою ряду, тобто для ряду, що є збіжним,

. (7.3)

Якщо або не існує, то ряд називається розбіжним.

Таким чином, щоб встановити, чи є збіжним чи розбіжним даний числовий ряд, потрібно знайти його суму як границю послідовності частинних сум при .

Означення 7.3. Залишком ряду (7.1) називається

(7.4)

тобто .

Приклад 7.1. Дослідити на збіжність числовий ряд

.

Розв’язання. Знайдемо для даного ряду -у частинну суму . Оскільки , то можна записати ряд у вигляді

.

Тоді і .

Отже, даний ряд є збіжним.

Зазначимо, що основною задачею теорії рядів є дослідження збіжності.

Геометричним рядом називають числовий ряд

, (7.5)

члени якого утворюють нескінченну геометричну прогресію зі знаменником .

Приклад 7.2. Дослідити на збіжність геометричний ряд.

Розв’язання. Як відомо, сума перших членів геометричної прогресії дорівнює

. (7.6)

Тоді .

Оскільки одержимо, що

Отже, геометричний ряд є збіжним при , його сума при цьому виражається числом , і є розбіжним, при .

Для випадку одержуємо ряд , сума перших членів якого , отже і ряд є розбіжним. Для випадку одержуємо ряд , для якого

Отже, для цього випадку не існує і ряд є розбіжним.

 

Властивості числових рядів

Розглянемо деякі властивості числових рядів.

Властивість 1. Якщо ряд є збіжним і його сума , то і ряд , де , також є збіжним і його сума .

Дійсно, якщо ряд є збіжним, його частинні суми , і, отже , але – частинні суми ряду , тому .

Очевидно, що якщо ряд є розбіжним, то і ряд , де , також є розбіжним.

Виходить, поведінка ряду не зміниться, якщо всі його члени помножити на однакове число.

Властивість 2. Якщо ряди і є збіжними і їхні суми відповідно рівні і , то і ряд є збіжним і його сума дорівнює .

Справді нехай і , – частинні суми відповідних рядів, тоді за умовою , звідси .

Враховуючи, що частинні суми ряду , одержуємо .

Таким чином, ряди, що є збіжними, можна почленно додавати, при цьому одержуємо ряд, що є збіжним.

Різниця двох рядів, що є збіжними, також ряд, що є збіжним.

Очевидно, що сума збіжного і розбіжного ряду – розбіжний ряд.

Загального висновку щодо алгебраїчної суми розбіжних рядів зробити не можна.

В одних випадках у результаті можемо одержати розбіжний ряд, в інших – збіжний.

Властивість 3. Збіжність і розбіжність ряду не порушиться, якщо відкинути чи додати скінченне число членів ряду.

Властивість випливає з означення збіжного ряду. З цієї властивості випливає, що ряд і його залишок поводяться однаково, обидва є збіжними або обидва є розбіжними.

 

Необхідна ознака збіжності ряду

Теорема 7.1. Якщо ряд є збіжним, то .

Дійсно, якщо ряд є збіжним, його частинні суми при наближаються до скінченної границі .

Представимо загальний член ряду у вигляді . Тоді . Очевидно, що якщо ряд є розбіжним.

Зазначимо, що умова не є достатньою, при виконанні цієї умови ряд може бути і розбіжним.

Прикладом такого ряду є гармонічний ряд .

Для цього ряду . Обчислимо суму цього ряду так. Відомо, що . Причому, . Прологарифмуємо цю нерівність, ,

Приймаючи одержимо, що

Додаючи нерівності, маємо

Тоді , тобто гармонічний ряд є розбіжним.

Приклад 7.3. Перевірити необхідну ознаку збіжності для рядів:

а) ; б) .

Розв’язання. Для випадку а): ознака не виконується, отже, ряд є розбіжним.

Для випадку б): Ознака виконується, але нічого про збіжність ряду сказати не можна. Ряд може бути збіжним і може бути і розбіжним.

Отже, необхідна ознака збіжності стверджує, що всі ряди, що є збіжними, знаходяться серед тих рядів, у яких Але в цій групі рядів є і розбіжні.

 

Достатні ознаки збіжності знакопостійних рядів

Ознака порівняння.

Знакопостійним рядом будемо називати ряд, члени якого мають однаковий знак. До знакопостійних рядів відносять знакододатні та знаковід’ємні ряди. Будемо далі розглядати знакододатні ряди, оскільки дослідження знаковід’ємних рядів можна звести до дослідження знакододатніх рядів винесенням за дужки числа .

Нехай дано два ряди з невід’ємними членами:

;

.

Відомо, що

Якщо ряд з більшими членами є збіжним, то ряд з меншими членами також буде збіжним.

Якщо ряд з меншими членами є розбіжним, ряд з більшими членами також буде розбіжним.

Дійсно, нехай частинна сума ряду , –ряду .

Якщо ряд збіжний, для нього існує скінченна границя послідовності частинних сум і його частинні суми обмежені, тобто при всіх , де – деяке число.

Але оскільки , то частинні суми ряду також обмежені, тобто також мають скінченну границю.

Якщо ж ряд розбіжний, то і ряд також є розбіжним, оскільки, допустивши збіжність ряду прийдемо до збіжності ряду , а це суперечить умові.

Приклад 7.4. Дослідити збіжність рядів:

а) ; б) .

Розв’язання. У випадку а): порівняємо даний ряд з рядом , що є геометричним зі знаменником , тобто збігається. Оскільки для всіх , досліджуваний ряд також є збіжним.

У випадку б): порівняємо даний ряд з гармонічним рядом , що є розбіжним. Оскільки , то досліджуваний ряд також є розбіжним.