Область збіжності степеневого ряду

Теорема Абеля. 1) Якщо степеневий ряд (7.16) збіжний при деякому значенні , не рівному нулю, то він абсолютно збіжний при всякому значенні , для якого .

2) Якщо степеневий ряд розбіжний при деякому значенні , то він розбіжний при всякому x, для якого .

Оскільки за припущенням числовий ряд

(7.17)

збіжний, то його загальний член при , а це означає, що існує таке додатне число , що всі члени ряду за абсолютним значенням менше .

Перепишемо степеневий ряд (7.16) у вигляді

(7.18)

і розглянемо ряд з абсолютних величин його членів

. (7.19)

Члени цього ряду менші ніж відповідні члени ряду

. (7.20)

При останній ряд є геометричною прогресією зі знаменником і, отже, збіжний.

Оскільки члени ряду (7.19) менші ніж відповідні члени ряду (7.20), то ряд (7.19) теж збіжний, а це означає, що і ряд (7.18) чи ряд (7.16) збіжний абсолютно.

2) Доведемо другу частину теореми: нехай у деякій точці ряд (7.17) розбіжний. Тоді він буде розбіжним в будь-якій точці , що задовольняє умові .

Дійсно, якби в якій-небудь точці , що задовольняє цій умові, ряд збіжний, то за тільки що доведеною першою частиною теореми він повинний був би бути збіжним й у точці , тому що , але це суперечить умові, що в точці ряд розбіжний. Отже, ряд розбіжний й у точці .

Теорема Абеля дозволяє зробити висновок про розташування точок збіжності і розбіжності степеневого ряду: якщо – точка збіжності степеневого ряду, то весь інтервал заповнений точками абсолютної збіжності. Якщо точка розбіжності, то вся нескінченна напівпряма вправо від точки і вся напівпряма уліво від точки – складаються з точок розбіжності.

З цього можна з’ясувати, що існує таке число , що при маємо точки абсолютної збіжності і при – точки розбіжності. Виконується наступна теорема про будову області збіжності степеневого ряду.

Теорема 7.3. Для будь-якого степеневого ряду (7.16) існує таке додатне число (радіус збіжності ряду), що для всіх ряд збіжний, а для всіх ряд розбіжний.

Для доведення розглянемо ряд, складений з абсолютних величин членів даного ряду

. (7.21)

Як відомо, якщо ряд (7.21) збіжний, ряд (7.16) також збіжний і при цьому абсолютно.

Для дослідження ряду (7.21) застосуємо ознаку Даламбера:

.

Припустимо, що існує .

Тоді .

Очевидно, що ряд (7.21) збіжний при , тобто при . Отже, ряд (7.16) також збіжний при і при тому абсолютно.

Якщо ж , тобто , то ряд (7.21) розбіжний, отже ряд (7.16) також розбіжний.

Таким чином, число R

(7.22)

є радіус збіжності степеневого ряду (7.16). Проміжок називається інтервалом збіжності степеневого ряду.

У випадку, якщо питання про збіжність ряду залишається відкритим, потрібно досліджувати конкретний числовий ряд, який отримаємо, якщо підставимо в заданий степеневий ряд значення .

Можна показати, що степеневий ряд (7.15) збіжний при , тобто для всіх , які задовольняють нерівності

чи ,

де .

Поведінку ряду в точках потрібно досліджувати додатково.

Інтервал збіжності степеневого ряду (7.15) зображений схемою на рис. 7.2.

 

 

Рис. 7.2.

 

Якщо щодо дослідження ряду (7.21) застосувати радикальну ознаку Коші, можна одержати іншу формулу для обчислення радіуса інтервалу збіжності степеневого ряду:

. (7.23)

Зауваження 1. Якщо при обчисленні радіуса інтервалу збіжності по формулах (7.22) чи (7.23) одержимо, що , то, ряд збіжний тільки в одній точці. Якщо ж одержимо – ряд збіжний на всій числовій прямій.

Зауваження 2. Область збіжності степеневого ряду і його інтервал збіжності можуть розрізнятися тільки крайніми точками.

Зауваження. 3. Якщо степеневі ряди містять у собі тільки парні чи непарні степені чи , користуватися формулами (7.22), (7.23) не можна. У таких випадках інтервал збіжності степеневого ряду визначають, користуючись безпосередньо ознакою Даламбера.

Приклад 7.11. Знайти області збіжності степеневих рядів:

а) ; б) ; в) .

Розв’язання. У випадку а): степеневий ряд містить у собі всі степені двочлена і має вигляд

.

Для нього , , .

Знайдемо радіус інтервалу збіжності ряду за формулою (7.22). Одержимо

.

Ряд збіжний на інтервалі, зображеному на рис. 7.3.

 

 

Рис. 7.3.

Визначимо поведінку ряду в крайніх точках інтервалу.

При ряд приймає вигляд і є знакопочережним. Досліджуючи його за ознакою Лейбніца, знайдемо що

, .

Отже, ряд розбіжний.

При одержимо ряд , що також розбіжний, тому що для нього не виконується необхідна ознака збіжності ряду.

Отже, заданий ряд збіжний для усіх .

У випадку б): степеневий ряд містить у собі всі степені x і має вигляд

.

Для нього , , .

За формулою (7.22)

.

Отже, даний степеневий ряд збіжний на всій числовій прямій.

У випадку в): степеневий ряд містить у собі тільки непарні степені x і має вигляд

.

Дослідимо ряд з модулів членів даного ряду, застосувавши ознаку Даламбера.

Оскільки , ,

то . При ряд збіжний. Розв’язуючи нерівність, знайдемо, що чи – інтервал збіжності даного ряду.

Досліджуємо поведінку ряду на кінцях інтервалу збіжності. Підставляючи в степеневий ряд , одержимо знакопочережний ряд , що за ознакою Лейбніца збіжний, тому що для нього

і .

При одержимо ряд , що також є знакопочережним і збіжним.

Отже, заданий ряд збіжний на відрізку [–1;1].

 

 

Наведемо властивості степеневих рядів.

1. Сума степеневого ряду є функцією неперервною в будь-якій точці області збіжності.

2. Степеневий ряд можна почленно диференціювати чи інтегрувати, при цьому радіус його інтервалу збіжності не порушиться. Може змінитися поведінка ряду тільки в крайніх точках області збіжності.

Причому, якщо для степеневого ряду (7.16)

,

, і

Властивості справедливі і для ряду (7.15).

Так, для ряду сумою на інтервалі (–1;1) є функція , тобто

. (7.24)

Інтегруючи почленно рівність (7.24) на відрізку , де , одержуємо

або

 

Ряди Тейлора і Маклорена

Дотепер визначали область збіжності степеневого ряду. Знаємо, що сума степеневого ряду неперервна в його області збіжності. Поставимо обернену задачу: за заданою неперервною функцією знайдемо степеневий ряд, що є збіжним, сума якого у всіх точках області збіжності збігається зі значеннями функції . Ця задача називається розвиненням функції в степеневий ряд.

Нехай неперервна функція зображена степеневим рядом в околі точки :

(7.26)

Права частина рівності (7.26) диференційована скільки завгодно раз, значить ліва частина цієї рівності, тобто функція також повинна бути диференційована скільки завгодно раз.

Це перша вимога, якій повинна задовольняти функція . Диференціюючи послідовно рівність (7.26), одержимо

...................................................................

.

Підставляючи в ці рівності , маємо:

; ; ; ;...; .

Звідки знаходимо

; ; ; ;...; ,...

Підставляючи значення коефіцієнтів у рівності (7.26), одержуємо

(7.27)

Степеневий ряд, коефіцієнти якого рівні відповідно , називається рядом Тейлора.

При одержимо ряд за степенями , що називається рядом Маклорена.

Якщо функція в деякому околі точки є сумою степеневого ряду за степенями , то цей ряд є рядом Тейлора функції (при – відповідно рядом Маклорена функції ).

Але ряд Тейлора, складений для функції може і не бути збіжним до цієї функції в околі розглянутої точки .

Назвемо різницю між функцією і частковою сумою ряду Тейлора функції залишковим членом ряду Тейлора і позначимо

.

Теорема 7.4. Для того, щоб функція в околі точки була сумою складеного для неї ряду Тейлора, необхідно і достатньо виконання двох таких умов:

1) диференційована скільки завгодно раз;

2) .

Необхідність виконання першої умови очевидна. Необхідність виконання другої умови легко довести.

Нехай – сума ряду Тейлора, а – його частинна сума.

Тоді , .

Переходячи до границі при , одержуємо

, .

Аналогічно можна довести, що якщо має похідні будь-якого порядку в точці і її околі, і залишковий член ряду Тейлора для функції прямує до нуля при , то ця функція є сумою побудованого для неї ряду Тейлора.

Доведено, що залишковий член ряду може бути записаний у вигляді

, де .

Це одна з форм залишкового члена ряду (форма Лагранжа), яка дозволяє оцінювати його при .