Розвинення функцій в ряд Маклорена

Щоб функцію розкласти в ряд Тейлора (зокрема, у ряд Маклорена), потрібно:

1. Знайти її похідні ;

2. Обчислити значення похідних у точці (для ряду Маклорена );

3. Формально скласти ряд Тейлора (Маклорена);

4. Знайти область збіжності отриманого ряду;

5. Дослідити залишковий член ряду при .

Якщо , то для функції справедлива рівність (7.26).

Розглянемо . Тоді: . Звідки одержуємо . Ряд Маклорена для функції має вигляд

.

Такий ряд збіжний на всій числовій прямій. Залишковий член ряду має вигляд , де . , тому що (як загальний член збіжного ряду). Тому справедлива рівність

. (7.28)

Розглянемо . Тоді

; ;

; ;...

.

Підставляючи , одержуємо

.

Ряд Маклорена для функції має вигляд

.

Легко переконатися в тому, що такий ряд є збіжним на всій числовій прямій. Залишковий член ряду для функції : , де . при будь-якому x, тоді

(7.29)

Розвинення в ряд функції можна одержати шляхом диференціювання ряду для :

. (7.30)

Розглянемо , де – будь-яке дійсне число:

; ;

;...

.

Обчислимо значення функції і її похідних:

, , , ,... .

Одержимо степеневий ряд

Тоді

. (7.31)

Формула (7.31) називається біноміальним рядом.

При маємо геометричний ряд

.

Замінивши в останній рівності на і, інтегруючи, одержимо розвинення в ряд функції

. (7.32)

 

Застосування степеневих рядів

Степеневі ряди знаходять застосування в різних питаннях наближених обчислень.

 

Обчислення значень функцій.

Для обчислення наближених значень функції з заданою точністю зручно використовувати ряди в тому випадку, коли відповідний ряд є знакопочережним. Для знакопочережного ряду, що є збіжним, легко оцінити похибку наближеного значення суми – вона менше ніж абсолютне значення першого з відкинутих членів.

Приклад 7.12. Обчислити з точністю до 0,0001.

Розв’язання. Скористаємося розвиненням у ряд функції :

.

Підставляючи в рівність значення , одержуємо ряд для обчислення з будь-якою точністю:

.

Абсолютна величина четвертого члена цього ряду менше чим 0,0001. Тому для обчислення наближеного значення з точністю до 0,0001 досить узяти суму трьох перших членів ряду

.

 

Наближене обчислення визначених інтегралів.

Багато інтегралів, що не беруться чи важко обчислюються за формулою Ньютона–Лейбніца, можна обчислити, розкладаючи підінтегральну функцію в ряд, а потім інтегруючи на даному відрізку не саму функцію, а її розвинення в ряд.

Приклад 7.13. Обчислити .

Розв’язання. Розкладемо підінтегральну функцію в степеневий ряд. Оскільки ,

то одержимо . Почленно інтегруючи, маємо

Отримали знакопочережний ряд, що задовольняє умові ознаки Лейбніца, отже, похибка при заміні суми ряду сумою його перших членів не перевищує абсолютної величини першого відкинутого члена.

Якщо взяти , отримаємо похибку, меншу ніж . Звідси випливає, що обмеживши тільки двома доданками, одержимо наближене значення інтеграла з точністю до 0,01:

.

 

Доведення формули Ейлера.

Якщо дійсне число, то . При цьому ряд є збіжним для будь-якого . Підставимо в рівність , де , одержимо

.

Оскільки …, підставляючи ці значення в розвинення для , маємо

або, розділяючи дійсні і уявні доданки:

.

Відповідно до розвинень (7.29) і (7.30) вирази в дужках рівні і відповідно, а це означає, що

.

 

Динамічні ряди

В економічному аналізі деякі скінченні суми прийнято називати рядами. Прикладами таких сум можуть бути динамічні ряди.

Динамічний ряд являє собою сукупність послідовних значень деякого показника, які характеризують його зміну у часі. Якщо показник відноситься до економічної системи чи організації, то таку область досліджень називають економічною динамікою.

Динамічні ряди бувають моментні та інтервальні. Перші відповідають значенню показника в певний момент часу, другі характеризують показник за деякий період.

Динамічні ряди бувають також стаціонарні і нестаціонарні. Стаціонарний динамічний ряд не має тенденції до зміни тренду, нестаціонарний (еволюційний) ряд має тренд, що змінюється. Поняття тренду зазвичай характеризує певну тенденцію до постійної зміни показника, який описують за допомогою динамічного ряду. Існує безліч способів для обчислення тренду.

При аналізі динамічних рядів використовують також поняття сезонності (циклічності), яке характеризує будь-які періодичні коливання даного ряду, а також поняття випадкового відхилення. Випадкове відхилення, або випадкова компонента, зафіксовує одномоментні зміни динамічного ряду під дією будь-яких випадкових факторів та причин. Для усунення випадкових відхилень виконують вирівнювання динамічного ряду.

Зазвичай при введенні динамічного ряду його зображають в вигляді певної математичної моделі. Форми математичної моделі динамічного ряду можуть бути різними. Нехай

, ,

– деякий динамічний ряд і – його спрощений запис.

Можна записати декілька частинних моделей динамічного ряду, наприклад:

модель тренду

,

де – часовий тренд даного виду, – випадкова компонента;

модель сезонності

,

де – періодична сезонна складова.

Існують більш складні моделі динамічних рядів, в тому числі моделі кривих росту, адаптивні, авторегресивні та ін.

В загальному випадку кожен член динамічного ряду , можна представити в адитивній формі:

,

де – тренд динамічного ряду – регулярна компонента, яка характеризує загальну тенденцію, – сезонна (циклічна) компонента, – випадкова компонента, яка утворюється під впливом різних (як правило, невідомих) причин, – компонента, яка забезпечує відповідність елементів динамічного ряду, – управляюча компонента, за допомогою якої впливають на члени динамічного ряду з метою формування в майбутньому його траєкторії.

Аналіз динамічного процесу проводиться по наступній схемі.

1. Члени динамічного ряду коректуються спеціальною компонентою , якщо цього вимагають умови. Якщо ряд не потребує коректування, то вважають, що .

2. Управляючу компоненту приймають рівною нулю.

3. Обчислюють регулярну компоненту (тренд).

4. Знаходять сезонну компоненту .

5. Знаходять оцінку похибки при обчисленні і , тобто оцінку випадкової складової .

Дослідження динамічних рядів і економічних процесів з ними пов’язаних проводять за допомогою формул та методів теорії ймовірностей, математичної статистики та економетрії.

Вправи

 

7.1. Дослідити на збіжність ряд, користуючись означенням збіжності ряду. Якщо ряд збіжний, знайти його суму:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

є) .

7.2. Перевірити необхідну ознаку збіжності ряду:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; є) .

7.3–7.29. Застосовуючи достатні ознаки збіжності числових додатніх рядів, дослідити на збіжність наступні ряди.

7.3. . 7.4. .

7.5. . 7.6. .

7.7. . 7.8. .

7.9. . 7.10. .

7.11. . 7.12. .

7.13. .

7.14. .

7.15. .

7.16. .

7.17. .

7.18. .

7.19. .

7.20. . 7.21. .

7.22. . 7.23. .

7.24. . 7.25. .

7.26. . 7.27. .

7.28. . 7.29. .

7.30–7.36. Дослідити на збіжність наступні знакозмінні ряди.

7.30. . 7.31. .

7.32. . 7.33. .

7.34. .

7.35. .

7.36. .

7.37. Знайти суму рядів:

а) ;

б) ;

в) .

7.38–7.44. Дослідити на абсолютну та умовну збіжність наступні ряди.

7.38. . 7.39. .

7.40. . 7.41. .

7.42. . 7.43. .

7.44. .

7.45–7.49. Знайти області збіжності (абсолютної та умовної) наступних функціональних рядів.

7.45. . 7.46. .

7.47. . 7.48. .

7.49. .

7.50–7.54. Дослідити послідовності на рівномірну збіжність на вказаному проміжку.

7.50. .

7.51. .

7.52. .

7.53. .

7.54. .

7.55. Дослідити на збіжність , і, якщо можна, знайти суму, замінивши її сумою перших двох членів ряду. Оцінити похибку.

7.56. Дослідити на збіжність і знайти суму з точністю до 0,01.

7.57–7.62. Знайти область збіжності степеневих рядів.

7.57. . 7.58. .

7.59. . 7.60. .

7.61. . 7.62. .

7.63. Розкласти в ряд Тейлора функцію за степенями .

7.64–7.67. Розкласти в ряд Маклорена наступні функції.

7.64. . 7.65. .

7.66. . 7.67. .

7.68. Обчислити приблизно, використовуючи розвинення в степеневий ряд відповідної функції:

а) ; б) .

7.69. Обчислити наближено з точністю до 0,001.

7.70. Обчислити наближено з точністю до 0,1.