Знакопочережні числові ряди. Ознака Лейбніца

Розглянемо ряд, у якого два будь-яких сусідніх члени мають протилежні знаки. Такий ряд називається знакопочережним. Його можна записати у вигляді

, (7.9)

де .

Знакопочережними, наприклад, є ряди:

;

.

Ознака Лейбніца.

Якщо для знакопочережного ряду (7.9) виконуються умови:

1) ;

2) ,

то цей ряд збіжний, сума його додатня і не перевищує значення першого члена.

Доведемо, що при виконанні умов ознаки Лейбніца для ряду (7.9) існує границя послідовності частинних сум, тобто .

Розглянемо спочатку частинні суми ряду з парним числом членів:

Оскільки кожна з дужок за першою умовою додатня, то послідовність часткових сум зростаюча. Покажемо, що вона обмежена. Для цього запишемо:

.

Очевидно, що . Отже, послідовність частинних сум монотонно зростаюча, обмежена і має границю.

Нехай .

Покажемо, що послідовність частинних сум з непарним числом членів має ту ж границю.

Оскільки і при (за умовою), то , тобто послідовність усіх частинних сум знакопочережного ряду (7.9) має скінченну границю і, отже, ряд збіжний.

Зазначимо, що для суми ряду (7.9) справедливе співвідношення . Для парних частинних сум це показали в доведенні ознаки.

Непарну частинну суму можна записати у вигляді:

,

звідки видно, що .

Зазначимо ще одну властивість знакопочережного ряду, що має велике практичне застосування.

Нехай ряд збіжний і його сума дорівнює , тоді

.

Різниця – залишок ряду, у свою чергу є сумою ряду, і, отже .

Таким чином, заміняючи суму ряду його частинною сумою, одержуємо похибку, абсолютна величина якої менше від абсолютної величини першого відкинутого члена ряду, тобто

. (7.10)

Приклад 7.8. Дослідити на збіжність ряд .

Розв’язання. Порівняємо модулі сусідніх членів ряду, одержимо

,

тобто перша умова ознаки Лейбніца виконується.

Оскільки , то і друга умова ознаки Лейбніца виконується, отже, даний ряд збіжний.

Приклад 7.9. Скільки членів ряду, що є збіжним

потрібно взяти, щоб обчислити його суму з точністю до 0,001?

Розв’язання. Оскільки згідно (7.10)

,

то для забезпечення необхідної точності потрібно при обчисленні суми в першу чергу відкинути той член, абсолютна величина якого менше 0,001.

Обчислюючи члени ряду, послідовно, бачимо, що , тому , тобто необхідно взяти три члени ряду.

 

Знакозмінні числові ряди

Ряди з довільним розподілом знаків їхніх членів називаються знакозмінними.

Будемо записувати такі ряди у вигляді

, (7.11)

вважаючи при цьому що числа , ,... можуть бути як додатніми, так і від'ємними.

Зазначимо, що знакопочережні ряди є окремим випадком знакозмінних рядів.

Розглянемо ряд, складений з модулів членів знакозмінного ряду (7.11)

, (7.12)

усі члени якого додатні.

Теорема 7.2. Знакозмінний ряд (7.11) збіжний, якщо збіжним є ряд, складений з модулів його членів (7.12).

Нехай ряд (7.12) збігається. Запишемо очевидну нерівність

. (7.13)

У нерівності (7.13) величина є загальним членом збіжного ряду , а величина – загальним членом невід’ємного ряду , що також є збіжним на підставі ознаки порівняння.

Але тоді на підставі властивостей рядів, що збігаються, можна стверджувати, що буде збігатися і ряд

.

Зазначимо, що зворотнє твердження невірне. Якщо даний знакозмінний ряд збіжний, то ряд, складений з модулів його членів не обов'язково збіжний, цей ряд може бути і розбіжним.

Усі знакозмінні ряди, що є збіжними можна розділити на дві групи.

До першої групи відносяться такі ряди, що є збіжними, для яких ряди, складені з модулів їхніх членів, також є збіжними. Такі ряди називаються абсолютно збіжними.

До другої групи відносяться знакозмінні ряди, що є збіжними, для яких ряд, складений з модулів їхніх членів, розбіжний. Такі знакозмінні ряди називаються умовно збіжними.

Так, ряд збіжний абсолютно, а ряд збіжний умовно.

Можна показати, що в знакозмінному ряді, що є збіжним, будь-яке угруповання членів ряду, не змінює їхнього порядку, зберігає збіжність ряду і значення його суми.

Для абсолютно збіжних рядів можна довільно переставляти члени ряду. Ряд отриманий при цьому є також абсолютно збіжним і має ту ж суму.

Умовно збіжні ряди такою властивістю не володіють. Переконаємося в цьому на прикладі. Знаємо, що ряд

збіжний умовно. Позначимо його суму і зробимо наступну перестановку його членів: за кожним додатнім членом поставимо два наступні від'ємні члени, одержимо ряд

.

Групуючи його члени, одержимо ряд

або

Перестановкою членів ряду одержали ряд, сума якого в два рази менше ніж сума даного ряду.

Як показав німецький математик Ріман, перестановкою членів умовно збіжного ряду можна одержати ряд, що є збіжним, і має будь-яку наперед задану суму, і навіть розбіжний ряд.