Обчислення подвійного інтеграла

Будемо називати область простою відносно , якщо будь-яка пряма, перпендикулярна до вісі перетинає область не більш, ніж у двох точках (рис. 6.5). Таку область можна задати за допомогою системи нерівностей:

Аналогічно область будемо називати простою відносно , якщо будь-яка пряма, перпендикулярна до вісі перетинає область не більш, ніж у двох точках (рис. 6.6). Таку область можна задати за допомогою системи нерівностей:

Рис. 6.5.	Рис. 6.6.

Теорема 6.2. Подвійний інтеграл по простій області може бути обчислений за допомогою повторного інтегрування за однією з формул:

; (6.3)

. (6.4)

Очевидно, що для функції неперервної в області ,

,

тобто подвійний інтеграл не змінюється від зміни порядку інтегрування.

Зауваження. Якщо й область – прямокутна, задана системою нерівностей

то

.

Можна запропонувати такий порядок обчислення подвійного інтеграла.

1. Побудувати плоску область і записати її нерівностями як просту відносно або як просту відносно .

2. Розставити границі інтегрування у повторному інтегралі.

3. Обчислити внутрішній інтеграл.

4. Обчислити зовнішній інтеграл.

Приклад 6.2. Обчислити подвійний інтеграл по області, що обмежена лініями , , (рис. 6.7).

Рис. 6.7.

Розв’язання. Якщо розглянути область як просту відносно , то вона запишеться системою нерівностей

Тоді .

Обчислимо внутрішній інтеграл:

.

Проінтегруємо отриману функцію за аргументом :

.

Звичайно при обчисленні інтеграла запис не переривають і записують так:

Якщо розглянути область як просту відносно , то її можна записати системою нерівностей

Тоді

Нехай область інтегрування задана в полярній системі координат. Будемо називати область простою відносно , якщо будь-який промінь, що проходить через внутрішню точку області, перетинає її межі не більш, ніж у двох точках (рис. 6.8).

Таку область можна задати такою системою нерівностей:

Рис. 6.8.

Введемо поняття подвійного інтеграла для функції заданої в полярній системі координат.

Складемо інтегральну суму для заданої функції. Оскільки границя інтегральної суми не залежить від способу розбивання області на елементарні ділянки, розіб'ємо область найбільш зручним способом: променями і концентричними колами , ,..., (рис. 6.9).

Інтегральна сума для даної функції буде мати вигляд:

.

Якщо існує границя такої інтегральної суми за умови, що площа найбільшої ділянки розбиття прямує до нуля, то вона і буде називатися подвійним інтегралом функції по області у полярних координатах, тобто

. (6.5)

 

 

Рис. 6.9.

 

Обчислимо елемент площі у полярній системі координат як площу прямокутника (рис. 6.9):

.

Тоді формула (6.5) набуде вигляду

. (6.6)

Для обчислення подвійного інтеграла його потрібно замінити повторним. Якщо область проста відносно , то

. (6.7)

Іноді подвійний інтеграл у полярних координатах обчислюється набагато простіше, ніж у декартових. Тому треба вміти виконувати перехід від декартових координат до полярних в самому інтегралі, застосовуючи формули переходу

, , .

Тоді

. (6.8)

Приклад 6.3. Обчислити по чверті кільця , що лежить у першому квадранті (рис. 6.10).

Рис. 6.10.

Розв’язання. Зазначимо що відомими методами не можливо обчислити інтеграл від функції за жодним з аргументів. У полярній системі координат інтеграл обчислюється просто. Область інтегрування обмежена колами і , рівняння яких у полярній системі координат і . Область інтегрування

Тоді

.

Зауваження. До полярної системи координат має сенс переходити у випадку, якщо область інтегрування обмежена колом чи її частиною або в підінтегральній функції міститься вираз .

 

Застосування подвійного інтеграла в геометрії

Площа плоскої фігури.

На підставі властивостей подвійного інтеграла .

Для підінтегральна функція і виходячи з геометричного змісту подвійного інтеграла одержимо об'єм циліндричного тіла висотою , що дорівнює площі основи тіла, тобто (од. куб.) = (од. кв.).

Отже, у прямокутних координатах

. (6.9)

У полярній системі координат , тому

. (6.10)

Рис. 6.11.

Приклад 6.4. Обчислити площу фігури, що обмежена лініями , (рис. 6.11).

Розв’язання. Розглянемо область як просту відносно і запишемо її нерівностями. Для цього знайдемо точки перетину ліній, що обмежують область (крайні точки області по вісі ), розв’язавши систему рівнянь

Отже,

Тоді

Приклад 6.5. Обчислити площу фігури, що обмежена лініями , , , .

Розв’язання. Перетворимо перші два рівняння до канонічного вигляду, одержимо , . Перше рівняння визначає коло з центром у точці (1;0) з радіусом , друге рівняння також визначає коло з центром у точці (2;0) з радіусом (рис. 6.12).

Рис. 6.12.

Як видно з рисунка, дану площу не можна обчислити за допомогою одного подвійного інтеграла в прямокутних координатах.

В полярній системі координат область є простою по . Рівняння кіл, що обмежують область у полярній системі координат, одержимо, підставивши в їхні початкові рівняння , . Тоді рівняння першого кола набуде вигляду , а для другого відповідно .

Очевидно, що

Тоді

(кв. од.)

 

Об'єм тіла.

Виходячи з геометричного змісту подвійного інтеграла, об'єм тіла з основою в площині , бічною поверхнею, паралельною вісі , обмеженого зверху поверхнею заданою рівнянням , може бути обчислений за формулою

. (6.10)

Приклад 6.6. Знайти об'єм тіла , обмеженого поверхнями , , , (рис. 6.13).

Розв’язання. Дане тіло є циліндричним з основою у площині , обмеженим зверху параболоїдом . Отже, .

В силу симетричності тіла відносно координатної площини можна обчислити об'єм тіла з основою , (рис. 6.14), потім результат подвоїти.

 

Рис. 6.13.	Рис. 6.14.

 

Оскільки

Приклад 6.7. Обчислити об'єм тіла, обмеженого поверхнями , , z=0 (рис. 6.15).

Рис. 6.15.

Розв’язання. Оскільки основою тіла в площині є область, обмежена колом , обчислимо об'єм, використовуючи полярну систему координат. Зверху тіло обмежене поверхнею , рівняння якої в полярній системі координат . Тому ,

де .

Тоді . Область можна записати за допомогою нерівностей

Отже .

 

Площа поверхні.

Розглянемо поверхню, задану рівнянням . Нехай їх відповідає область площини . Тоді площа поверхні може бути обчислена за формулою

. (6.11)