Правило обчислення визначника n-го порядку.

Визначник n порядку дорівнює сумі добутків усіх елементів будь-якого стовпця (або рядка) на відповідні їм алгебраїчні доповнення.

У випадку використання і-го рядка це правило математично виглядає так

(4)

Рівність (4) називають розкладом визначника за елементами і-го рядка.

Зауваження. Обчислення визначника n порядку зводиться до обчислення n визначників (n-1) порядку. Для скорочення обчислень визначник доцільно розкладати за елементами рядка або стовпця, який містить найбільшу кількість нулів. До нулів не треба знаходити алгебраїчних доповнень тому, що добуток 0 на його алгебраїчне доповнення дорівнює нулю. Властивості визначника дозволяють робити еквівалентні перетворення визначника і одержувати якомога більше нулів в деякому рядку або стовпці.

 

Властивості визначників.

1 Визначник при транспонуванні не змінюється: |А|=|А^т|.

Наслідок. Рядки та стовпці визначника мають однакові властивості.

 

2 Якщо у визначнику поміняти місцями будь-які два рядки (стовпці), то визначник змінить знак на протилежний.

3 Якщо визначник має два однаковихрядка (стовпця), то він дорівнює 0.

4 Якщо усі елементи одного рядка (стовпця) визначника помножити на однакове число к, то визначник зросте в к разів.

Наслідок 1. Спільний множник усіх елементів будь-якого рядка (стовпця) визначника можна виносити за знак визначника.

Наслідок 2. Якщо усі елементи будь-якого рядка (стовпця) визначника дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю.

 

5 Якщо елементи двох будь-яких рядків (стовпців) визначника пропорційні, то визначник дорівнює нулю.

6 Якщо до всіх елементів будь-якого рядка (стовпця) визначника додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця) цього визначника, помножені на однакове число, то визначник не зміниться.

Приклад 5. Обчислити визначник 4-го порядку.

 

 

Розв’язання.

Якщо цей визначник обчислювати шляхом його розкладу за елементами 1-го стовпця або 2-го рядка (вони містять один нуль), то треба буде знайти та обчислити три алгебраїчних доповнення – визначники третього порядку.

Перетворимо цей визначник так, щоб одержати якомога більше нулів у другому рядку, бо там вже є один нуль і є одиниця, яка спрощує перетворення. Елементи другого стовпця помножимо на (-2) і додамо до відповідних елементів третього стовпця, потім елементи другого стовпця помножимо на 4 і додамо до відповідних елементів четвертого стовпця. Одержимо визначник

Тепер визначник доцільно розкласти за елементами другого рядка

Останню рівність одержали шляхом виносу за знак визначника загального множника (-3) елементів другого стовпця.

Використовуючи правило обчислення визначника третього порядку, одержимо

|А| = -3 (7 + 130 - 33 - 55 + 42 - 13) = -3(179 - 101 ) = (-3)∙78 = -234

 

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ.

 

Обчисліть визначники:

1. а) ;

 

б) ;

 

в) .

 

2.

 

Розв’язання. Перший спосіб. За правилом трикутників маємо

 

Другий спосіб. Використовуючи властивості визначника, дістаємо

 

= = = =

= .

 

Третій спосіб. Розкладемо визначник за першим рядком:

 

= + + = .

 

3.

 

Розв’язання. У визначнику є кілька нульових елементів, проте зручно, коли нульові елементи містяться в одному рядку чи стовпцеві. Зробимо, наприклад, нульовими всі елементи першого рядка, крім першого елемента. Для цього додамо до третього стовпця перший, після чого помножимо елементи першого стовпця на -2 і додамо їх до відповідних елементів четвертого стовпця. Дістанемо

 

= = .

 

Тепер розкладемо визначник за елементами першого рядка:

 

.

 

Занулимо два елементи другого стовпця. Для цього до першого і другого рядків по черзі додамо третій рядок. Тоді

 

.

 

Розкладемо утворений визначник за елементами другого стовпця:

.

Відповідь: .

4. Розв’яжіть рівняння: .

 

Розв’язання. Розкладемо визначник за елементами першого рядка:

 

=

 

= =

 

.

 

Отже, вихідне рівняння рівносильне рівнянню

Далі маємо

; або , звідси .

Відповідь: ; .

 

ВПРАВИ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ РОБОТИ.

 

Обчисліть визначники:

1. . 2. . 3. . 4. .

 

5. . 6. . 7. . 8. .

 

9. . 10. . 11. .

12. .

 

13. Доведіть рівність: =авс(в-а)(с-а)(с-в).

 

Відповіді: 1. 66. 2. -110. 3. 121. 4. 1. 5. 5/3. 6. 0,6. 7. 13/21. 8. -5. 9. -10. 10. -15. 11. 11. 12. 12.

 

 

САМОСТІЙНА РОБОТА №2

2.1. Обчисліть визначники, використовуючи:

а) метод зведення до трикутного вигляду;

б) метод розкладу визначника за елементами деякого рядка або стовпця;

в) правило трикутників.

 

1) . 2) . 3) . 4) .

 

5) . 6) . 7) . 8) .

 

9) . 10) . 11) . 12)

 

13) . 14) . 15) . 16) .

 

17) . 18) . 19) . 20)

 

21) . 22) . 23) . 24) .

 

25) .

 

2.2. Знайдіть дійсні корені рівняння:

 

1) . 2) .

 

3) . 4) .

 

5) . 6) .

 

7) . 8) .

 

9) . 10)

 

11) . 12) .

 

13) . 14) .

 

15) . 16) .

 

17) . 18) .

 

19) . 20) .

 

21) . 22) .

 

23) . 24) .

 

25) .

 

2.3. Обчисліть визначники четвертого порядку, комбінуючи метод зведення до трикутного вигляду та метод розкладу визначника за елементами деякого рядка (стовпця).

1) . 2) . 3) .

 

4) . 5) . 6) .

 

7) . 8) . 9) .

 

10) . 11) . 12) .

 

13) . 14) . 15)

 

16) .17) .18)

 

19) . 20) . 21) .

 

22) . 23) . 24) .

 

25) .

 

----------------------------------------------------------------------------------------------------

САМОСТІЙНА РОБОТА №3

Тема 3. Ранг матриці.