Вправи для аудиторної роботи.

 

1. Вектори і утворюють кут . Знаючи, що , , обчисліть: а) ; б) .

 

2. Дано вектори і . Знайдіть:

а) скалярний добуток ;

б) кут між векторами та ;

в) проекцію вектора на вектор .

 

3. Дано вектори , , . Знайдіть вектор , який задовольняє рівності: , та .

 

САМОСТІЙНА РОБОТА №9

 

9.1. Дано точки та . Знайдіть:

а) координати, довжину, напрямні косинуси та орт вектора ;

б) координати точки М, якщо ;

в) координати точки , якщо

 

1) , , , .

2) , , , .

3) , , , .

4) , , , .

5) , , , .

6) , , , .

7) , , , .

8) , , , .

9) , , , .

10) , , , .

11) , , , .

12) , , , .

13) , , , .

14) , , , .

15) , , , .

16) , , , .

17) , , , .

18) , , , .

19) , , , .

20) , , , .

21) , , , .

22) , , , .

23) , , , .

24) , , , .

25) , , , .

 

9.2. Чи колінеарні вектори і , побудовані на векторах і ?

1) , , , .

2) , , , .

3) , , , .

4) , , , .

5) , , , .

6) , , , .

7) , , , .

8) , , , .

9) , , , .

10) , , , .

11) , , , .

12) , , , .

13) , , , .

14) , , , .

15) , , , .

16) , , , .

17) , , , .

18) , , , .

19) , , , .

20) , , , .

21) , , , .

22) , , , .

23) , , , .

24) , , , .

25) , , , .

 

9.3. Обчисліть:

1) а) ; б) , якщо , , .

2) а) ; б) , якщо , , .

3) а) ; б) , якщо , , .

4) а) ; б) , якщо , , .

5) а) ; б) , якщо , , .

6) а) ; б) , якщо , , .

7) а) ; б) , якщо , , .

8) а) ; б) , якщо , , .

9) а) ; б) , якщо , , .

10) а) ; б) , якщо , , .

11) а) ; б) , якщо , , .

12) а) ; б) , якщо , , .

13) а) ; б) , якщо , , .

14) а) ; б) , якщо , , .

15) а) ; б) , якщо , , .

16) а) ; б) , якщо , , .

17) а) ; б) , якщо , , .

18) а) ; б) , якщо , , .

19) а) ; б) , якщо , , .

20) а) ; б) , якщо , , .

21) а) ; б) , якщо , , .

22) а) ; б) , якщо , , .

23) а) ; б) , якщо , , .

24) а) ; б) , якщо , , .

25) а) ; б) , якщо , , .

 

9.4. Знайдіть скалярний добуток , кут між векторами і та проекцію вектора на вектор , якщо:

1) , , , .

2) , , , .

3) , , , .

4) , , , .

5) , , , .

6) , , , .

7) , , , .

8) , , , .

9) , , , .

10) , , , .

11) , , , .

12) , , , .

13) , , , .

14) , , , .

15) , , , .

16) , , , .

17) , , , .

18) , , , .

19) , , , .

20) , , , .

21) , , , .

22) , , , .

23) , , , .

24) , , , .

25) , , , .

 

9.5. Знайдіть вектор , якщо:

1) , , .

2) , , .

3) , , .

4) , , .

5) , , .

6) , , .

7) , , .

8) , , .

9) , , .

10) , , .

11) , , .

12) , , .

13) , , .

14) , , .

15) , , .

16) , , .

17) , , .

18) , , .

19) , , .

20) , , .

21) , , .

22) , , .

23) , , .

24) , , .

25) , , .

---------------------------------------------------------------------------------------------------

 

Тема 4. Векторний добуток векторів.

 

ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

 

Векторним добутком вектора на вектор називають вектор , який задовольняє такі три умови:

1) модуль вектора обчислюють за формулою:

,

де - кут між векторами і ;

2) вектор перпендикулярний до кожного з векторів і ;

3) вектори , і утворюють праву трійку, тобто якщо дивитися з кінця результуючого вектора , то найкоротший поворот від першого вектора до другого вектора видно проти годинникової стрілки (рис.1).

 

Рис.1

Позначення векторного добутку: , .

З означення векторного добутку безпосередньо випливають векторні рівності між ортами :

 

 

 

Властивості векторного добутку.

 

Розглянемо алгебраїчні та геометричні властивості векторного добутку:

1) геометричний зміст векторного добутку: модуль векторного добутку дорівнює площі паралелограма, побудованого на прикладених до спільного початку векторах і (рис.2).

 

S Рис.2

 

2) антикомутативність множення:

3) ; ;

4) ;

5) два ненульові вектори колінеарні тоді і тільки тоді, коли векторний добуток цих векторів дорівнює нуль-вектору, тобто

 

Зокрема,

 

Зауваження. Якщо відомі координати вершин трикутника АВС, то його площу доцільно шукати за формулою

 

 

Векторний добуток векторів, заданих координатами.

 

Нехай вектори , задані своїми координатами у ПДСК. Тоді векторний добуток знаходять за формулою

 

або

 

Мішаний добуток векторів.

 

Мішаним (векторно-скалярним) добутком трьох векторів , і називають число , рівне скалярному добутку вектора на вектор :

 

Розглянемо властивості мішаного добутку.

1. Якщо в мішаному добутку поміняти місцями які-небудь два множники, то мішаний добуток змінить знак, наприклад:

.

2. При циклічному переставленні множників мішаний добуток не змінюється.

3. У мішаному добутку знаки векторного і скалярного добутків можна міняти місцями:

.

4. Геометричний зміст мішаного добутку: модуль мішаного добутку чисельно дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на прикладених до спільного початку векторах , і (рис.3), тобто

 

 

 

Рис.3 S

Зауваження. Об’єм піраміди, побудованої на векторах , і , дорівнює 1/6 частини об’єму паралелепіпеда, тобто

5. Якщо , то вектори , і утворюють праву трійку, а якщо , то ліву трійку.

6. Умова компланарності трьох векторів.

 

Мішаний добуток трьох векторів, заданих координатами.

 

Нехай вектори , , задані своїми координатами в ПДСК. Знайдемо мішаний добуток цих векторів, використовуючи формули скалярного і векторного добутку векторів, заданих координатами. Маємо

 

 

 

.

 

Дістали розклад визначника третього порядку за елементами першого рядка. Отже,

Зауваження. Компланарність ненульових векторів , і встановлюють так: якщо визначник

 

,

то вектори , і – компланарні, якщо визначник відмінний від нуля, то вектори не компланарні.