Поділ відрізка у даному відношенні.

 

Нехай задано відрізок точками і . Тоді координати точки М(х, у, z), яка ділить цей відрізок у відношенні , тобто , знаходять за формулами

 

(4)

 

Зокрема, координати точки, яка ділить відрізок навпіл (, такі:

 

 

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ.

 

1. Дано точки , . Знайдіть:

а) координати, довжину, напрямні косинуси та орт вектора ;

б) координати точки М, яка ділить відрізок у відношенні .

Розв'язання.

а)

; , , .

Орт вектора такий:

.

б) , тоді

 

, , .

 

2. Знайдіть вектор , якщо він утворює з осями координат однакові кути і .

Розв'язання. Враховуючи рівності

, ,

і умову , записуємо співвідношення

,

звідки дістаємо , , або .

Відповідь: або .

 

3. Чи колінеарні вектори і побудовані на векторах

і ?

Розв'язання. Послідовно дістаємо

.

Оскільки координати векторів і не пропорційні, то ці вектори не колінеарні.

4. Початком вектора є точка . Знайдіть координати точки Р, яка є кінцем вектора .

Розв'язання. Враховуючи умову рівності двох векторів, дістанемо

,

або

 

звідси , , тобто - кінець вектора .

 

5. Відомо, що вектори та колінеарні. Знайдіть і .

Розв'язання. Записуємо умову колінеарності заданих векторів:

 

звідси , .

 

6. Знайдіть подання вектора у базисі , .

 

Розв'язання. Передусім переконуємось, що вектори і утворюють базис:

. Записуємо розклад , де коефіцієнти та підлягають визначенню. Далі маємо

або

Звідси дістаємо систему рівнянь

 

,

розв’язок якої , .

 

Отже, .

 

 

ВПРАВИ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ РОБОТИ.

 

1. Дано точки , . Знайдіть:

а) координати, довжину, напрямні косинуси та орт вектора ;

б) координати точки М, яка ділить відрізок у відношенні .

2. Знайдіть вектор , якщо він утворює з осями Ох і Оу кути та відповідно, і .

3. Чи колінеарні вектори і побудовані на векторах

і ?

4. Відомо, що вектори та колінеарні. Знайдіть і .

5. Знайдіть подання вектора у базисі , .

 

----------------------------------------------------------------------------------------------------

Тема 3. Скалярний добуток векторів.

 

ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ.

 

Скалярним добутком двох векторів і називають число , що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними:

Якщо хоча б один із векторів чи нульовий, то за означенням

.

Оскільки виконуються рівності

,

то

 

Геометричний зміст скалярного добутку: скалярний добуток двох векторів дорівнює добутку довжини одного вектора на проекцію на нього другого вектора (рис.1).

 

 

Тоді

(1)

 

Формула (1) – робоча формула для обчислення проекції вектора на вектор (або вісь).

 

Властивості скалярного добутку.

 

Алгебраїчні властивості скалярного добутку:

1. ;

2. ;

3. .

 

Геометричні властивості скалярного добутку:

1. якщо та , то , якщо кут гострий, і , якщо кут тупий;

2. скалярний добуток двох ненульових векторів дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори перпендикулярні;

3. скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини, тобто

,

звідки . (2)

 

Умова перпендикулярності двох векторів.

 

Ненульові вектори і перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю:

Зокрема:

, ,

 

Вираз скалярного добутку через координати. Кут між векторами.

 

Нехай вектори і задані своїми координатами

, .

Тоді

(3)

Висновки з формули (3) такі:

1. умова перпендикулярності векторів і :

 

;

2. довжина вектора : ;

 

3. косинус кута між векторами і :

 

.

 

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ.

 

1. Вектори і утворюють кут . Знаючи, що , , обчисліть: а) ; б) .

Розв'язання.

а)

 

Оскільки правильні рівності

, ,

 

то ;

 

б) скориставшись формулою (2), дістанемо

.

 

2. Дано вектори і . Знайдіть:

а) скалярний добуток ; б) кут між векторами та .

Розв'язання.

а) ,

,

;

 

б) , ,

 

,

 

звідси .

 

3. Дано вектори , , . Знайдіть вектор , який задовольняє рівності: , та .

Розв'язання. Нехай , тоді умова рівносильна рівнянню . Аналогічно дістаємо ще два рівняння

та . Розв’язавши систему

 

 

дістанемо значення: , , .

Відповідь: .

 

4. Точки , , - вершини трикутника АВС. Знайдіть кут у трикутнику при вершині В і проекцію вектора на вектор .

Розв'язання. Знайдемо координати векторів і , що збігаються з відповідними сторонами трикутника:

, .

Косинус кута між векторами і знаходимо за формулою

 

 

,

 

звідки . Отже, .

Проекцію вектора на вектор знайдемо за формулою:

 

.

 

5. Нехай точки , , , - послідовні вершини чотирикутника АВСД. При якому значенні а діагоналі чотирикутника взаємно перпендикулярні?

Розв'язання. Утворимо вектори:

, .

Діагоналі чотирикутника будуть взаємно перпендикулярні тоді, коли скалярний добуток , тобто

,

звідки дістанемо а=1,5.