К. Г. Валуєв, І. А. Джаладова «Вища математика. Навчальний посібник» - К. - 2003

 

Тема 1. Матриці та дії над ними.

 

ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ.

 

Означення 1 .Матрицею розміром m x n називають таблицю упорядкованих чисел або будь-яких інших об'єктів, розташованих в m рядках та n стовпцях.

Матриці позначають великими літерами, наприклад, А, В,С, та круглими дужками, а елементи матриць позначають відповідними малими літерами з двома індексами, наприклад, а_ij, в_ij, с_ij.

Перший індекс і вказує номер рядка, в якому знаходиться цей елемент, другий індекс j вказує номер стовпця, який містить цей елемент. Так, елемент С₄₃ знаходиться на перетині четвертого рядка та третього стовпця матриці С.

Матриця розміру пх1 називається матрицею-стовпцем або вектором-стовпцем. Матриця розміру 1хп називається матрицею-рядком або вектором-рядком. Матрицю називають квадратною порядку п, якщо кількість її рядків однакова з кількістю стовпців і дорівнює п.

 

Приклад 1. Нехай задані матриці

; ;

; ;

Матриця А має розмір 3x4, матриця В розміру 2x3, матриця-стовпець С розміру 4x1, D - матриця рядок розміру 1x4, матриця К - квадратна порядку 3.

Елементи квадратної матриці А порядку n, що розташовані на діагоналі матриці, яка проходить з лівого верхнього кута до правого нижнього кута, утворюють головну діагональ матриці.

Елементи квадратної матриці, що розташовані на діагоналі матриці, яка проходить з правого верхнього кута до лівого нижнього кута, утворюють неголовну (побічну) діагональ матриці.

 

Наприклад, в матриці

 

елементами головної діагоналі будуть: a₁₁, a₂₂, a₃₃,..., a_nn, a елементами неголовної діагоналі будуть: а_1n, а_2(n-1), а_3(n-2),..., a_n1.

Квадратна матриця зветься діагональною, якщо усі її елементи дорівнюють 0, крім елементів головної діагоналі.

Діагональна матриця, усі елементи якої дорівнюють одиниці, називається одиничною матрицею і позначається Е або І.

 

Наприклад,

- діагональна матриця 4 порядку;

- одинична матриця порядку 3.

Матриці А та В називають рівними, якщо:

1. вони мають однаковий розмір;

2. їх відповідні елементи рівні, тобто a_ij= в_ij для усіх і та j.

Якщо в матриці А рядки записати стовпцями із збереженням їх нумерації, то одержана матриця зветься транспонованою і позначається А^T, а вказана операція перетворення матриці А називається транспонуванням матриці А.

 

Наприклад,

якщо , тоді

Матриці широко використовуються не лише в різних навчальних дисциплінах, але й в практичній діяльності спеціалістів багатьох галузей, тому треба розуміти правила дій з матрицями і мати навички їх використання.

 

 

Найпростіші дії з матрицями

 

Найпростішими діями з матрицями називають множення матриць на число, їх алгебраїчну суму та множення матриць.

Добутком матриці А на число к називається матриця, елементи якої дорівнюють добуткам відповідних елементів матриці А та числа к:

(1)

Додавати та віднімати можна лише матриці однакового розміру!!!

Алгебраїчною сумою матриць А та В однакового розміру m x n називається матриця С розміру m x n, елементи якої дорівнюють такої самої алгебраїчної суми елементів a_ij та в_ij матриць А та В:

 

 

Наприклад,

якщо , , тоді

 

Добуток А В матриць А та В існує лише при виконанні умов узгодженості: кількість стовпців матриці А (першого множника) дорівнює кількості рядків матриці В (другого множника).!!!

Добутком А В матриці А розміру m х n і матриці В розміру n х р називається матриця С розміру m х р, елементи якої с_ij дорівнюють сумі добутків елементів і-го рядка матриці А на відповідні елементи j-го стовпця матриці В. Таким чином, кожен елемент матриці С знаходиться за формулою:

cij=ai1∙в1j+ ai2∙в2j+ ai3∙в3j+…+ ain∙вnj

(2)

Зауваження 1. Взагалі добуток матриць не має властивості комутативності, тобто АВ≠ВА. Якщо добуток двох матриць не залежить від порядку множників, тобто АВ = ВА, тоді кажуть, що ці матриці комутують.

Наприклад, якщо А - квадратна матриця порядку n, Е - одинична матриця порядку n, тоді АЕ = ЕА = А.

 

Приклад 2 Задані матриці

 

Знайти існуючі добутки цих матриць.

 

Розв'язання.

У даному випадку згідно умови узгодженості існування добутку матриць, існують лише наступні добутки матриць: АХ (кількість стовпців першого множника - 4 дорівнює кількості рядків другого множника); ВС, СВ, ВА, СА.

Знайдемо вказані добутки матриць, використовуючи означення добутку матриць.

розміри: 3х4 4х1 3х1

 

 

(3)

(4)

Відмітимо, що з рівностей (3) та (4) випливає, що матриці В і С не комутують.

 

Аналогічно можна знайти і добуток СА.

Зауваження 2. Ділення матриць розглядають як добуток

АхВ^-1, де В^-1 - матриця, обернена до матриці В. Визначення та способи знаходження матриці В^-1 розглянемо пізніше, після введення нових необхідних понять.

 

Зауваження 3. У випадках великого розміру матриць та їх елементів для дій з матрицями використовують комп'ютерну техніку.