Лінійна залежність і незалежність векторів. Базис.

 

Застосовуючи лінійні операції над векторами, можна знаходити вирази вигляду

,

Які називають лінійними комбінаціями векторів , ,…, ; числа ,

,…, - коефіцієнти.

Вектори , ,…, називають лінійно залежними, якщо існують такі числа , ,…, не всі рівні нулю, що лінійна комбінація

,

і лінійно незалежними, якщо ця рівність виконується лише за умови, коли всі числа , ,…, рівні нулю.

Сукупність лінійно незалежних векторів , ,…, називають базисом простору , якщо для кожного вектора з існують такі дійсні числа ,

,…, , що виконується рівність

.

Цю рівність називають розкладом вектора у базисі , ,…, .

Базисом на прямій називають довільний ненульовий вектор на цій прямій.

Якщо вектор - базис, то існує єдиний розклад вектора : , де - координата вектора за базисом .

Базисом на площині називають довільну упорядковану пару неколінеарних векторів.

Базисом у просторі називають довільну упорядковану трійку некомпланарних векторів.

Якщо вектори та - базис на площині і - довільний ненульовий вектор площини, то існують сталі та такі, що (рис.12)

Рис.12

 

Коефіцієнти , називають координатами вектора в даному базисі.

Якщо вектори , і - базис у просторі і вектор розкладений за базисом, тобто , то числа називають координатами вектора в даному базисі.

Таким чином, базис у просторі дає змогу кожний вектор одночасно зіставити з упорядкованою трійкою чисел (координатами цього вектора) і, навпаки, кожну упорядковану трійку чисел за допомогою базису можна зіставити з єдиним вектором

.

 

 

 

 

Тема 2. Координати вектора. Дії над векторами.

 

ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ.

 

Точку О й упорядковану трійку некомпланарних векторів , , (базису) називають декартовою системою координат у просторі.

Точка О – початок координат, а осі, які проходять через початок координат у напрямі базисних векторів, називають осями координат.

Упорядковану трійку одиничних попарно ортогональних векторів , , (, , ) називають ортонормованим базисом.

Прямокутною декартовою системою координат (ПДСК) у просторі називають декартову систему, базис якої ортонормований, і позначають її через ( - вісь абсцис, - вісь ординат, - вісь аплікат (рис.1)).

 

М₃

 

М

М₂

О

Рис.1

М₁ М₀

 

Розклад вектора за ортами координатних осей.

 

Нехай - довільний ненульовий вектор простору, сумістимо його початок з початком координат: (рис.1).

Проведемо через точку М площини, паралельні координатним площинам. Точки перетину цих площин з осями координат позначимо через М₁, М₂ та М₃. Дістанемо прямокутний паралелепіпед, однією з діагоналей якого є вектор . Тоді , , .

Позначимо , , .

Враховуючи векторні рівності

, , ,

,

дістанемо

(1)

Ця формула є основною у векторній алгебрі і називається розкладом вектора за ортонормованим базисом , , .

Векторну рівність (1) у символічній формі ще записують так:

, або .

 

 

Довжина вектора. Напрямні косинуси.

 

Довжину (модуль) вектора обчислюють за формулою

Ця формула безпосередньо випливає з того факту, що квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів його ребер.

Оскільки координати вектора - це проекції вектора на координатні осі, то

де , , - кути, які вектор утворює з осями координат , , відповідно (рис.2)

 

Рис.2

 

Тоді (2)

Косинуси , , кутів , , називають напрямнимикосинусами вектора ; вони визначають напрям вектора в системі і задовольняють рівність

Звідси випливає, що орт вектора має вигляд

,

де напрямні косинуси визначають за формулою (2).

 

Дії над векторами.

 

Нехай вектори задані своїми координатами, тобто

, ,

тоді

 

Іншими словами, при додаванні векторів їхні відповідні координати додають; при множенні вектора на скаляр координати вектора множать на цей скаляр.

Вектори і рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їхні відповідні координати:

.

 

Колінеарність векторів.

 

З’ясуємо умови колінеарності векторів і , заданих своїми координатами. Нехай , тоді = , де - деяке число. Тоді

.

Звідси

, ,

тобто

(3)

Отже, координати колінеарних векторів пропорційні. І навпаки, якщо координати двох векторів пропорційні, то ці вектори колінеарні.

 

Координати точки.

 

Довільній точці М простору можна зіставити у ПДСК вектор , який називають радіус-вектором точки М. Тоді існує єдина трійка чисел (х, у, z) така, що

.

Координати х, у, z радіус-вектора називають координатами точки М і пишуть М(х, у, z).

Якщо відомі координати початку та кінця вектора , то його координати знаходять за формулою

 

Довжину вектора (або відстань між точками А та В) записують так: