Основні властивості визначників.

1. Значення визначника не змінюється, якщо його рядки замінити відповідними стовпцями, а стовпці – рядками.

2. Перестановка двох рядків (стовпців) визначника рівносильна множенню його на –1.

3. Якщо визначник має два однакових рядка (стовпця), то він дорівнює нулю.

4. Якщо всі елементи якого-небудь рядка (стовпця) визначника містять спільний множник, то його можна винести за знак визначника.

5. Якщо всі елементи деякого рядка (стовпця) визначника дорівнюють нулю, то і сам визначник дорівнює нулю.

6. Якщо відповідні елементи двох рядків (стовпців) визначника пропорційні, то визначник дорівнює нулю.

7. Якщо кожний елемент деякого рядка (стовпця) визначника є сумою двох доданків, то визначник дорівнює сумі двох визначників, у яких один у згаданому рядку (стовпці) має перші з заданих доданків, а інший – другі; елементи, що знаходяться на решті місць, у всіх трьох визначниках одні й ті самі. Записується ця властивість таким чином:

.

8. Якщо до елементів деякого рядка (стовпця) визначника додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на довільний спільний множник, то значення визначника при цьому не зміниться.

Матриця А ^-1 називається оберненою до квадратної матриці А, якщо добуток цих матриць дорівнює одиничній матриці, тобто АА^-1=А^-1А=Е.

Обернена матриця існує для всякої квадратної матриці А, яка є невиродженою, тобто коли визначник матриці detA ≠ 0.

Алгоритм знаходження оберненої матриці:

1. Обчислити визначник матриці А. Якщо detA ≠ 0, то матриця А має обернену, в іншому випадку оберненої матриці не існує.

2. Обчислити алгебричні доповнення А_ij елементів матриці А.

3. Визначити обернену матрицю за формулою:

.

Зразки розв’язування задач.

1. Знайти матрицю С=2А-3В, якщо і .

Розв’язання:

Користуючись означеннями операцій множення матриці на число та додавання матриць, послідовно знаходимо:

, ,

2. Для матриць і обчислити А^Т+В^Т.

Р озв’язання:

, ,

.

3. Для заданих матриць обчислити АВ і ВА, якщо це можливо:

a) , ; б) , .

Розв’язання:

а) Оскільки задано матриці А_2×2 і В_2×2, то можна визначити добутки АВ та ВА. Отже,

;

;

АВ=ВА.

б) Оскільки кількість стовпців матриці А не дорівнює кількості рядків матриці В то добутку АВ не існує. Проте можна обчислити добуток ВА.

.

4. Обчислити визначники:

а) ; б) ; в) .

Розв’язання:

а) Використовуючи формулу для обчислення визначника другого порядку, маємо:

б) .

в) Користуючись правилом трикутника, знаходимо

5. Обчислити визначник , розклавши його за елементами першого рядка.

Розв’язання:

6. Обчислити визначник, спочатку спростивши його: .

Розв’язання:

Додамо перший рядок до третього рядка, потім помножимо перший рядок на –2 і додамо його до другого рядка і отримаємо визначник, в якому елементи . Отриманий визначник розкладаємо за елементами першого стовпця:

7. Знайти матрицю, обернену до матриці і перевірити, чи справджуються рівності .

Розв’язання:

Знайдемо визначник матриці: .Оскільки , обернена матриця існує. Знаходимо алгебричні доповнення: А₁₁= 3, А₁₂= -1, А₂₁ = -2, А₂₂ = 1. Тоді обернена матриця буде мати вигляд:

.

 

Перевіримо, чи виконуються рівності :

;

 

.

Отже .

Завдання для самостійної роботи.

1. Для матриць і обчислити А^Т-3В, АВ, ВА, АВ+Е.

2. Обчислити визначники:

а) , б) , в) , г) .

3. Обчислити визначник матриці, яка є добутком двох заданих матриць:

, .

4. Серед заданих матриць знайти невироджену:

а) , б) , в) .

5. Для заданої матриці знайти обернену: .

2. Системи лінійних рівнянь. Формули Крамера. Розв’язування систем лінійних рівнянь матричним методом

Системою m лінійних рівнянь з n змінними x₁, x₂, …, x_n називається система, яка має наступний вигляд:

де а_ij – коефіцієнти при змінних; b_i -вільні члени,

Упорядкована сукупність чисел , називається розв’язком системи, якщо при заміні х₁ на а₁, х₂ на а₂, …, х_n на а_n у кожному рівнянні системи дістанемо n правильних числових рівностей.

Система, що має розв’язок, називається сумісною. Система, яка не має жодного розв’язку, називається несумісною. Система з єдиним розв’язком називається визначеною, а з більшим числом розв’язків – невизначаною.

Система двох лінійних рівнянь з двома змінними має вигляд:

(2.1)

а систему трьох лінійних рівнянь з трьома змінними записують у вигляді: (2.2)

Метод Крамера. Цей метод розв’язування систем лінійних рівнянь зводиться до обчислення визначників. Так, розв’язок системи (2.1) можна знайти за формулами Крамера:

де за умови, що

 

- називається визначником системи (2.1), а - визначники, які дістають з визначника заміною першого, другого стовпців відповідно стовпцем вільних членів.

Формули Крамера для системи (2.2) мають вигляд:

,

де - визначник системи (2.2), а

визначники, які дістають з визначника заміною першого, другого і третього стовпців відповідно стовпцем вільних членів.

Системи (2.1) і (2.2) мають:

а) єдиний розв’язок, коли ;

б) безліч розв’язків, коли

в) не мати жодного розв’язку, коли і хоча б один із визначників відмінний від нуля.