Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Криві другого порядку: коло, еліпс.Содержание книги
Поиск на нашем сайте
Колом називається множина всіх точок площини, рівновіддалених від даної точки цієї площини, яка називається центром. Рівняння кола з центром у початку координат і радіусом R має вигляд: . Рівняння кола з центом у точці і радіусом R має вигляд: Рівняння кола у загальному вигляді записують так: , де - сталі коефіцієнти.
Еліпсом називається множина точок площини, сума відстаней яких до двох даних точок, що називаються фокусами, є величина стала, більша за відстань між фокусами. Рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі Ох, має вигляд: , де а – довжина великої півосі; b – довжина малої півосі (ріс 7.1). Залежність між параметрами a,b,c виражається співвідношенням: . Ексцентриситетом еліпса називається відношення фокусної відстані 2с до великої осі 2а: . Якщо центр симетрії еліпса знаходиться у точці , а осі симетрії паралельні осям , то рівняння еліпса має вигляд: .
Зразки розв’язування задач. Задача 1. Складіть рівняння кола з центром у точці М(2;-3) і з радіусом, що дорівнює 2. Побудуйте це коло. Розв’язання. За умовою задачі маємо: а=2, b=-3, R=2. Підставивши ці значення в рівняння кола, дістанемо: або . Будуємо центр кола, тобто точку М(2,-3). З центра М радіусом, який дорівнює 2, опишемо коло (рис.7.2). Задача 2. Складіть рівняння кола, яке має центр в точці (5;-7) і проходить через точку (2;-3). Розв’язання. Знайдемо радіус кола як відстань від центра до його точки: . В рівняння кола підставимо координати центра і знайдену величину радіуса: .
Задача 3. Знайдіть координати точок перетину кола з осями координат. Розв’язання. Коло перетинається з віссю абсцис у точках, ординати яких дорівнюють нулю. Припустивши, що рівнянні кола y=0, дістанемо: ;
, . Отже, коло перетинається з віссю абсцис у точках (-2; 0) і (8;0). Коло перетинається з віссю ординат у точках, абсциси яких дорівнюють нулю. Припустивши, що в рівнянні кола х=0, дістанемо:
;
; . Отже, коло перетинається з віссю ординат у точках і (0;6).
Задача 4. Складіть рівняння кола, яке проходить через точки , , . Розв’язання. Нехай точка - центр шуканого кола, тоді , як радіуси того самого кола. Маємо:
, , . Складемо систему рівнянь відносно невідомих а і b та розв’яжемо її:
.
Знаходимо . Отже, шукане рівняння кола має вигляд: .
Задача 5. Знайдіть координати центра і радіус кола . Розв’язання. Перепишемо це рівняння у вигляді: . Доповнивши двочлени і до повних квадратів, дістанемо: або . Звідки , , , тобто центр кола – точка (4;5), а радіус дорівнює 7.
Задача 6. Скласти рівняння еліпса з фокусами на осі Ох, якщо велика ось дорівнює 12, а відстань між фокусами дорівнює 8. Розв’язання. З умови впливає, що і с=4. Знаходимо . Підставивши значення і в рівняння еліпса, дістанемо .
Задача 7. Дано еліпс . Знайти координати фокусів еліпса і відстань між ними. Розв’язання. З рівняння еліпса маємо і . Тоді . Отже координати фокусів і , а відстань між ними .
Задача 8. Скласти рівняння еліпса з фокусами на осі Ох, якщо його велика вісь дорівнює 14, а ексцентриситет . Розв’язання. З умови маємо: , . Підставивши в це співвідношення значення а, дістанемо . Далі знаходимо . Отже, шукане рівняння має вигляд: або .
Задача 9. Скласти рішення еліпса з фокусами на осі Ох, якщо він проходить через точки і . Розв’язання. Щоб скласти рівняння еліпса, треба знайти параметри і . Підставивши в рівняння еліпса координати даних точок, дістанемо систему рівнянь:
; ; ;
; ; ; .
Отже, шукане рівняння має вигляд: .
Завдання для самостійної роботи. 1. Складіть рівняння еліпса з фокусами на осі Ох, якщо відстань між фокусами дорівнює 12, ексцентриситет . 2. Скласти рівняння еліпса з фокусами на осі Ох, якщо він проходить через точки А (6;4) і В (8;3). 3. Знайдіть відстань між центрами кіл і . 4. Знайдіть кут між прямими, які проходять через центр кола і через фокуси еліпса . 5. Складіть рівняння кола, яке проходить через точки А(-8;3) і В(2;-7), якщо центр його лежить на прямий .
Криві другого порядку: гіпербола, парабола. I. Гіпербола Гіперболою називається множина точок площини, абсолютна величина різниці відстаней яких до двох даних точок, що називається фокусами, є величина стала (2а), менша за відстань між фокусами (2с). Рівняння гіперболи, фокуси якої лежать на осі на осі Ох, має вигляд: , (8.1) де а – довжина дійсної півосі; b – довжина уявної півосі (рис. 8.1). Залежність між параметрами а, b, с виражається співвідношенням: . Ексцентриситетом гіперболи називається відношення півфокусної відстані до її дійсної півосі: . Фокуси гіперболи знаходяться у точках , . Гіпербола має дві асимптоти, рівняння яких , а також дві директриси, рівняння яких . Якщо дійсна та уявна півосі рівні (а=b), то гіпербола називається рівносторонньою. Рівняння рівносторонньої гіперболи має вигляд: , а рівняння її асимптот . Якщо фокуси гіперболи лежать на осі Оy у точках , , то її рівняння має вигляд: . (8.2) Рівняння асимптот такої гіперболи , а рівняння директрис (рис. 8.2). Гіперболи (8.1) і (8.2) називається спряженими. Рівняння рівносторонньої гіперболи з фокусами на осі Оy має вигляд: . Якщо центр симетрії гіперболи знаходиться у точці , а осі симетрії паралельні осям Ох, Оy, то рівняння гіперболи має вигляд: ; (8.1*') . (8.2*) II.Парабола Параболою називають множину точок на площині, рівновіддалених від даної точки, яка називається фокусом і від даної прямої, яка називається директрисою. Рівняння параболи з вершиною в початку координат, віссю симетрії якої є вісь Ох, має вигляд: , (8.3) де р – параметр параболи. Якщо , то вітки параболи напрямлені вправо, якщо , то вітки напрямлені вліво (рис. 8.3). Фокус параболи знаходиться у точці . Рівняння директриси . Рівняння параболи з вершиною в початку координат, віссю симетрії якої є вісь Оy, має вигляд: . (8.4) Якщо , то вітки направлені вгору, якщо , то вітки направлені вниз (рис. 8.4). Фокус такої параболи є точка , рівняння директриси .
Якщо вершина параболи – у точці , а вісь симетрії паралельна осі Оy, то рівняння має вигляд: . (8.4*') Фокус цієї параболи , рівняння директриси . Якщо вершина параболи знаходиться у точці , а вісь симетрії паралельна осі Ох, то рівняння параболи має вигляд: . (8.3*') Фокус такої параболи , рівняння директриси .
Зразки розв’язування задач. Задача 1. Побудувати гіперболу . Знайти фокуси, ексцентриситет, рівняння асимптот та директрис. Розв’язання. Приведемо рівняння кривої до виду (8.1): : 144 ;
. Таким чином , ; , - півосі гіперболи. Знайдемо відстань фокусів від центра симетрії: . Фокуси гіперболи , . Ексцентриситет . Рівняння асимптот . Рівняння директрис ; . Побудуємо параболу. Задача 2. Скласти рівняння гіперболи з фокусами на осі Ох, якщо її дійсна вісь дорівнює 24, а відстань між фокусами дорівнює . Розв’язання. Для складання рівняння гіперболи треба знайти параметри а і b. З умови маємо: . Знайдемо а,с і b: , . Підставивши і в рівняння , дістанемо .
Задача 3. Скласти рівняння гіперболи за координатами її фокусів , і ексцентриситетом . Розв’язання. З умови маємо: с=20, . Підставивши у цю рівність с, дістанемо: , тобто . Далі знайдемо . Підставивши і в рівняння (8.1), дістанемо .
Задача 4. Скласти рівняння гіперболи з фокусами на осі Ох, якщо довжина її дійсної осі дорівнює 16, і гіпербола проходить через точку (-10;-3). Розв’язання. За умовою 2а=16, тобто а=8. Підставивши в рівняння (8.1) значення а=8 і координати даної точки, дістанемо: ; ; ; .
Підставивши і в рівняння (8.1), отримаємо .
Задача 5. Скласти рівняння гіперболи за рівнянням її асимптот і координатами точки, через яку вона проходить . Розв’язання. Рівняння асимптот гіперболи . За умовою . Підставимо в рівняння (8.1) координати точки і розв’яжемо систему рівнянь:
; ; ; ; . Рівняння гіперболи .
Задача 6. Скласти рівняння параболи з вершиною у початку координат, якщо її фокус лежить у точці F (1;0). Розв’язання. Фокус лежить на осі Ох, тобто рівняння параболи має вигляд (8.3) . Оскільки координати фокуса , то .Підставивши значення р в рівняння (8.3), дістанемо .
Задача 7. Скласти рівняння параболи з вершиною у початку координат, яка симетрична відносно осі Оy і проходить через точку А (-2;-4). Розв’язання. Шукана парабола симетрична відносно осі Оy, отже її рівняння має вигляд . Підставивши в це рівняння координати точки А, знайдемо р: ; ; . Після підстановки значення р в рівняння параболи дістанемо .
Задача 8. За даним рівнянням параболи обчислити координати її фокуса, одержати рівняння директриси. Побудувати. Розв’язання. З рівняння параболи маємо , . Парабола симетрична відносно осі Ох, її фокус лежить на осі симетрії і має координати , тобто . Рівняння директриси , тобто х=2. Шукана парабола симетрична відносно осі Ох, її вітки напрямлені вліво. Знайдемо точку, що лежить на параболі. Нехай х=2, , . Задача 9. Побудувати параболу . Знайти координати фокуса та рівняння директриси. Розв’язання. Знайдемо вершину параболи, перетворивши рівняння до вигляду . ; ; ; . З цього рівняння х0=3,y0=1, С (3;1) – вершина параболи. Знайдемо точки перетину параболи з осями Ох і Оy: ; ; ; ; ; . Знайдемо координати фокуса. З рівняння маємо: , . Координати фокуса , тобто , . Рівняння директриси: , тобто ; . Задача 10. Побудувати параболу . Знайти координати фокуса та рівняння директриси. Розв’язання. Знайдемо координати вершини: ; . Вершина параболи лежить у точці С (0;-2). Вітки параболи напрямлені вправо . Знайдемо точку перетину параболи з віссю Ох: , , . Координати фокуса , тобто , . Рівняння директриси: , тобто . Побудуємо параболу. Завдання для самостійної роботи. Задача 1. Скласти рівняння гіперболи з фокусами на осі Ох, якщо довжина її уявної осі дорівнює 12, і гіпербола проходить через точку (20;8). Задача 2. Побудувати гіперболу . Знайти фокуси, ексцентриситет, рівняння асимптот та директрис. Задача 3. Скласти рівняння гіперболи, якщо відстань між фокусами дорівнює 10, а рівняння асимптот . Задача 4 Скласти рівняння параболи з вершиною у початку координат, яка симетрична відносно осі Ох і проходить через точку (5;-3). Знайти координати фокуса, рівняння директриси. Побудувати. Задача 5 Побудувати параболу . Знайти координати фокуса та рівняння директриси.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-06-26; просмотров: 1916; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.117.91.116 (0.009 с.) |