Криві другого порядку: коло, еліпс.

Колом називається множина всіх точок площини, рівновіддалених від даної точки цієї площини, яка називається центром.

Рівняння кола з центром у початку координат і радіусом R має вигляд:

.

Рівняння кола з центом у точці і радіусом R має вигляд:

Рівняння кола у загальному вигляді записують так:

,

де - сталі коефіцієнти.

 

Еліпсом називається множина точок площини, сума відстаней яких до двох даних точок, що називаються фокусами, є величина стала, більша за відстань між фокусами.

Рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі Ох, має вигляд:

,

де а – довжина великої півосі; b – довжина малої півосі (ріс 7.1).

Залежність між параметрами a,b,c виражається співвідношенням:

.

Ексцентриситетом еліпса називається відношення фокусної відстані 2с до великої осі 2а:

.

Якщо центр симетрії еліпса знаходиться у точці , а осі симетрії паралельні осям , то рівняння еліпса має вигляд:

.

 

Зразки розв’язування задач.

Задача 1. Складіть рівняння кола з центром у точці М(2;-3) і з радіусом, що дорівнює 2. Побудуйте це коло.

Розв’язання. За умовою задачі маємо: а=2, b=-3, R=2. Підставивши ці значення в рівняння кола, дістанемо:

або

.

Будуємо центр кола, тобто точку М(2,-3). З центра М радіусом, який дорівнює 2, опишемо коло (рис.7.2).

Задача 2. Складіть рівняння кола, яке має центр в точці (5;-7) і проходить через точку (2;-3).

Розв’язання. Знайдемо радіус кола як відстань від центра до його точки:

.

В рівняння кола підставимо координати центра і знайдену величину радіуса:

.

 

Задача 3. Знайдіть координати точок перетину кола з осями координат.

Розв’язання. Коло перетинається з віссю абсцис у точках, ординати яких дорівнюють нулю. Припустивши, що рівнянні кола y=0, дістанемо:

;

 

, .

Отже, коло перетинається з віссю абсцис у точках (-2; 0) і (8;0).

Коло перетинається з віссю ординат у точках, абсциси яких дорівнюють нулю. Припустивши, що в рівнянні кола х=0, дістанемо:

 

;

 

; .

Отже, коло перетинається з віссю ординат у точках і (0;6).

 

Задача 4. Складіть рівняння кола, яке проходить через точки , , .

Розв’язання. Нехай точка - центр шуканого кола, тоді , як радіуси того самого кола. Маємо:

 

,

,

.

Складемо систему рівнянь відносно невідомих а і b та розв’яжемо її:

 

 

 

.

 

Знаходимо .

Отже, шукане рівняння кола має вигляд:

.

 

Задача 5. Знайдіть координати центра і радіус кола .

Розв’язання. Перепишемо це рівняння у вигляді:

.

Доповнивши двочлени і до повних квадратів, дістанемо:

або .

Звідки , , , тобто центр кола – точка (4;5), а радіус дорівнює 7.

 

Задача 6. Скласти рівняння еліпса з фокусами на осі Ох, якщо велика ось дорівнює 12, а відстань між фокусами дорівнює 8.

Розв’язання. З умови впливає, що і с=4. Знаходимо . Підставивши значення і в рівняння еліпса, дістанемо .

 

Задача 7. Дано еліпс . Знайти координати фокусів еліпса і відстань між ними.

Розв’язання. З рівняння еліпса маємо і . Тоді . Отже координати фокусів і , а відстань між ними .

 

Задача 8. Скласти рівняння еліпса з фокусами на осі Ох, якщо його велика вісь дорівнює 14, а ексцентриситет .

Розв’язання. З умови маємо: , . Підставивши в це співвідношення значення а, дістанемо .

Далі знаходимо . Отже, шукане рівняння має вигляд:

або .

 

Задача 9. Скласти рішення еліпса з фокусами на осі Ох, якщо він проходить через точки і .

Розв’язання. Щоб скласти рівняння еліпса, треба знайти параметри і . Підставивши в рівняння еліпса координати даних точок, дістанемо систему рівнянь:

 

; ; ;

 

; ; ; .

 

Отже, шукане рівняння має вигляд: .

 

Завдання для самостійної роботи.

1. Складіть рівняння еліпса з фокусами на осі Ох, якщо відстань між фокусами дорівнює 12, ексцентриситет .

2. Скласти рівняння еліпса з фокусами на осі Ох, якщо він проходить через точки А (6;4) і В (8;3).

3. Знайдіть відстань між центрами кіл і .

4. Знайдіть кут між прямими, які проходять через центр кола і через фокуси еліпса .

5. Складіть рівняння кола, яке проходить через точки А(-8;3) і В(2;-7), якщо центр його лежить на прямий .

 

Криві другого порядку: гіпербола, парабола.

I. Гіпербола

Гіперболою називається множина точок площини, абсолютна величина різниці відстаней яких до двох даних точок, що називається фокусами, є величина стала (2а), менша за відстань між фокусами (2с).

Рівняння гіперболи, фокуси якої лежать на осі на осі Ох, має вигляд:

, (8.1)

де а – довжина дійсної півосі;
b – довжина уявної півосі (рис. 8.1).

Залежність між параметрами а, b, с виражається співвідношенням:

.

Ексцентриситетом гіперболи називається відношення півфокусної відстані до її дійсної півосі:

.

Фокуси гіперболи знаходяться у точках , .

Гіпербола має дві асимптоти, рівняння яких , а також дві директриси, рівняння яких .

Якщо дійсна та уявна півосі рівні (а=b), то гіпербола називається рівносторонньою. Рівняння рівносторонньої гіперболи має вигляд:

,

а рівняння її асимптот .

Якщо фокуси гіперболи лежать на осі Оy у точках , , то її рівняння має вигляд:

. (8.2)

Рівняння асимптот такої гіперболи , а рівняння директрис (рис. 8.2).

Гіперболи (8.1) і (8.2) називається спряженими.

Рівняння рівносторонньої гіперболи з фокусами на осі Оy має вигляд:

.

Якщо центр симетрії гіперболи знаходиться у точці , а осі симетрії паралельні осям Ох, Оy, то рівняння гіперболи має вигляд:

; (8.1*^')

. (8.2^*)

II.Парабола

Параболою називають множину точок на площині, рівновіддалених від даної точки, яка називається фокусом і від даної прямої, яка називається директрисою.

Рівняння параболи з вершиною в початку координат, віссю симетрії якої є вісь Ох, має вигляд:

, (8.3)

де р – параметр параболи.

Якщо , то вітки параболи напрямлені вправо, якщо , то вітки напрямлені вліво (рис. 8.3).

Фокус параболи знаходиться у точці . Рівняння директриси .

Рівняння параболи з вершиною в початку координат, віссю симетрії якої є вісь Оy, має вигляд:

. (8.4)

Якщо , то вітки направлені вгору, якщо , то вітки направлені вниз (рис. 8.4). Фокус такої параболи є точка , рівняння директриси .

 

Якщо вершина параболи – у точці , а вісь симетрії паралельна осі Оy, то рівняння має вигляд:

. (8.4*^')

Фокус цієї параболи , рівняння директриси .

Якщо вершина параболи знаходиться у точці , а вісь симетрії паралельна осі Ох, то рівняння параболи має вигляд:

. (8.3*^')

Фокус такої параболи , рівняння директриси .

 

Зразки розв’язування задач.

Задача 1. Побудувати гіперболу . Знайти фокуси, ексцентриситет, рівняння асимптот та директрис.

Розв’язання. Приведемо рівняння кривої до виду (8.1):

: 144

;

 

.

Таким чином

, ;

, - півосі гіперболи.

Знайдемо відстань фокусів від центра симетрії:

.

Фокуси гіперболи , .

Ексцентриситет .

Рівняння асимптот .

Рівняння директрис ; .

Побудуємо параболу.

Задача 2. Скласти рівняння гіперболи з фокусами на осі Ох, якщо її дійсна вісь дорівнює 24, а відстань між фокусами дорівнює .

Розв’язання. Для складання рівняння гіперболи треба знайти параметри а і b. З умови маємо:

.

Знайдемо а,с і b:

, .

Підставивши і в рівняння , дістанемо .

 

Задача 3. Скласти рівняння гіперболи за координатами її фокусів , і ексцентриситетом .

Розв’язання. З умови маємо: с=20, . Підставивши у цю рівність с, дістанемо: , тобто . Далі знайдемо . Підставивши і в рівняння (8.1), дістанемо .

 

Задача 4. Скласти рівняння гіперболи з фокусами на осі Ох, якщо довжина її дійсної осі дорівнює 16, і гіпербола проходить через точку (-10;-3).

Розв’язання. За умовою 2а=16, тобто а=8. Підставивши в рівняння (8.1) значення а=8 і координати даної точки, дістанемо:

;

; ; .

 

Підставивши і в рівняння (8.1), отримаємо .

 

Задача 5. Скласти рівняння гіперболи за рівнянням її асимптот і координатами точки, через яку вона проходить .

Розв’язання. Рівняння асимптот гіперболи . За умовою . Підставимо в рівняння (8.1) координати точки і розв’яжемо систему рівнянь:

 

; ; ; ; .

Рівняння гіперболи .

 

Задача 6. Скласти рівняння параболи з вершиною у початку координат, якщо її фокус лежить у точці F (1;0).

Розв’язання. Фокус лежить на осі Ох, тобто рівняння параболи має вигляд (8.3) . Оскільки координати фокуса , то .Підставивши значення р в рівняння (8.3), дістанемо .

 

Задача 7. Скласти рівняння параболи з вершиною у початку координат, яка симетрична відносно осі Оy і проходить через точку А (-2;-4).

Розв’язання. Шукана парабола симетрична відносно осі Оy, отже її рівняння має вигляд . Підставивши в це рівняння координати точки А, знайдемо р:

;

;

.

Після підстановки значення р в рівняння параболи дістанемо .

 

Задача 8. За даним рівнянням параболи обчислити координати її фокуса, одержати рівняння директриси. Побудувати.

Розв’язання. З рівняння параболи маємо , .

Парабола симетрична відносно осі Ох, її фокус лежить на осі симетрії і має координати , тобто . Рівняння директриси , тобто х=2.

Шукана парабола симетрична відносно осі Ох, її вітки напрямлені вліво. Знайдемо точку, що лежить на параболі. Нехай х=2, , .

Задача 9. Побудувати параболу . Знайти координати фокуса та рівняння директриси.

Розв’язання. Знайдемо вершину параболи, перетворивши рівняння до вигляду .

; ;

; .

З цього рівняння х₀=3,y₀=1, С (3;1) – вершина параболи.

Знайдемо точки перетину параболи з осями Ох і Оy:

; ; ;

; ; .

Знайдемо координати фокуса. З рівняння маємо:

, . Координати фокуса , тобто , .

Рівняння директриси: , тобто ; .

Задача 10. Побудувати параболу . Знайти координати фокуса та рівняння директриси.

Розв’язання. Знайдемо координати вершини:

;

.

Вершина параболи лежить у точці С (0;-2). Вітки параболи напрямлені вправо .

Знайдемо точку перетину параболи з віссю Ох:

, , .

Координати фокуса , тобто , .

Рівняння директриси: , тобто .

Побудуємо параболу.

Завдання для самостійної роботи.

Задача 1. Скласти рівняння гіперболи з фокусами на осі Ох, якщо довжина її уявної осі дорівнює 12, і гіпербола проходить через точку (20;8).

Задача 2. Побудувати гіперболу . Знайти фокуси, ексцентриситет, рівняння асимптот та директрис.

Задача 3. Скласти рівняння гіперболи, якщо відстань між фокусами дорівнює 10, а рівняння асимптот .

Задача 4 Скласти рівняння параболи з вершиною у початку координат, яка симетрична відносно осі Ох і проходить через точку (5;-3). Знайти координати фокуса, рівняння директриси. Побудувати.

Задача 5 Побудувати параболу . Знайти координати фокуса та рівняння директриси.