Поділ відрізка в даному відношенні.

Нехай точки А, В мають координати , .

Якщо відрізок АВ поділимо точкою М у відношенні: , то координати точки М знаходять за формулами:

; .

Якщо , то отримуємо формули для знаходження координат середини відрізка.

Зразки розв’язування задач.

Задача 1. Дано ненульові вектори і . Побудувати вектори , .

 

Розв’язання. Знайдемо суму за правилом трикутника :

і різницю :

Задача 2. Вектори , - діагоналі паралелограма ABCD. Запишіть вектори , , і через і .

Розв’язання.

За означенням суми і різниці векторів маємо: , . Додавши ці рівності, дістанемо . Далі знайдемо ; , .

Задача 3. Дано: ; . Обчислити: 1) ; 2) .

Розв’язання. Використавши властивості проекцій, дістанемо:

1) .

2) .

Задача 4. Знайти проекції вектора на вісь l, яка утворює з вектором кут: 1) 45⁰, 2) 120⁰, 3) 150⁰, якщо довжина вектора дорівнює 4.

Розв’язання.

1) ;

2) ;

3) .

Задача 5. Знайти периметр трикутника, вершинами якого є точки , , .

Розв’язання. Знайдемо координати векторів, що створюють трикутник, та їх довжини:

, ;

, ;

, ;

;

;

.

Тоді периметр трикутника .

Задача 6. Обчислити довжину вектора , якщо , .

Розв’язання. Знайдемо координати векторів:

, ;

, ;

, .

Тоді довжина шуканого вектора дорівнює:

.

Задача 7. Відрізок АВ, де ,. , поділений точкою М у відношенні . Знайти координати точки М.

Розв’язання.

; ;

.

Отже, .

Задача 8. Відрізок з кінцями і , ділиться в точці М навпіл. Знайдіть довжину відрізка МК, де .

Розв’язання. Знайдемо координати точки М за формулами:

; ; ;

.

Тоді координати вектора , .

Довжина вектора .

Задача 9. Точки , , є вершинами паралелограма, причому А і С – протилежні вершини. Знайдіть четверту вершину D.

Розв’язання.

Позначимо координати точки , тоді , . Оскільки , їх координати рівні:

; ; ;

; ; .

Четверта вершина паралелограма – точка .

Задача 10. Знайти напрямні косинуси вектора , а також кути, що утворює вектор з осями координат, якщо .

Розв’язання. Знайдемо координати вектора та його довжину .

Напрямні косинуси дорівнюють:

; ; .

Тоді ; ; .

Завдання для самостійної роботи.

Задача 1. У трикутнику АВС проведено медіану АМ. Доведіть, що .

Задача 2. Дано вектори , , . Знайти довжини векторів 1) , 2) .

Задача 3. Точки , , є вершинами паралелограма, причому А і С – протилежні вершини. Знайдіть четверту вершину D, а також периметр паралелограму.

Задача 4. Дано: , , кути між віссю l дорівнюють 60⁰ і 120⁰. Обчислити .

Задача 5. Відрізок АВ задано координатами своїх кінців і . Знайти довжину вектора , де С – середина відрізка АВ, D – точка, яка ділить АВ у відношенні .

4. Скалярний, векторний, мішаний добутки векторів. Застосування в задачах геометрії. Умови перпендикулярності та компланарності векторів.

1. Скалярним добутком векторів називається число, що дорівнює добутку довжин векторів на косинус кута між ними:

Якщо вектори задані своїми координатами: , , то скалярний добуток обчислюють за формулою:

.

Кут між векторами обчислюють за формулою:

.

Умова перпендикулярності векторів і має вигляд:

.

Скалярний квадрат вектора дорівнює:

.

Проекція вектора на напрям вектора :

.

2. Векторним добутком двох векторів і називається третій вектор , який задовольняє умові:

1) ;

2) , ;

3)
утворюють праву трійку векторів, тобто третій вектор має такий напрям, що при спостереженні з його кінця найближчий поворот від вектора до виконується проти годинникової стрілки.

Векторний добуток позначається символом . За визначенням випливає, що .

Модуль векторного добутку дорівнює площі паралелограма, побудованого на і :

.

Площа трикутника обчислюється за формулою:

.

Векторній добуток векторів, які задані своїми координатами, обчислюються за формулою:

.

Умова колінеарності двох векторів і має вигляд:

(або ).

Векторні добутки ортів дорівнюють:

; ; ;

; ; .

3. Мішаним добутком трьох векторів називається добуток .

Частіше мішаний добуток позначається .

Якщо вектори задані своїми координатами, то мішаний добуток знаходять за формулою:

.

Об’єм паралелепіпеду, який побудований на векторах , , як на сторонах, дорівнює модулю мішаного добутку цих векторів:

.

Для об’єму піраміди маємо наступну формулу:

.

Умова компланарності трьох векторів має вигляд: .

Зразки розв’язування задач.

Задача 1. Знайти скалярний добуток векторів , .

Розв’язання. Знайдемо координати векторів: , . Тоді скалярний добуток дорівнює .

Задача 2. Знайти кут між діагоналями паралелограма, який побудований на векторах , .

Розв’язання. Як відомо, діагоналі паралелограма є та . Знайдемо ці вектори:

;

;

;

.

Тоді косинус кута між діагоналями знаходиться за формулою:

.

Задача 3. Задано вектори , , . Обчислити проекцію вектора на вектор .

Розв’язання. Знайдемо координати векторів ; та .

Обчислимо проекцію на вектор за формулою:

.

Задача 4. Дано трикутник своїми вершинами: , , . Покажіть, що .

Розв’язання. Знайдемо координати векторів:

; ;

; .

Умова перпендикулярності двох векторів має вигляд: . Перевіримо виконання цієї умови: .

Доведено, що вектори перпендикулярні.

Задача 5. Знайти площу паралелограма, який побудований на векторах , .

Розв’язання. Модуль векторного добутку двох векторів дорівнює площі паралелограма, який побудований на цих векторах. Знайдемо векторний добуток:

Площа паралелограма дорівнює:

.

Задача 6. Знайти площу трикутника за координатами його вершин: , , .

Розв’язання. Розглянемо два вектори, на яких побудовано трикутник, наприклад, .

, .

Векторний добуток дорівнює:

 

Тоді площа трикутника дорівнює:

.

Задача 7. Розкрити дужки та спростити вираз:

.

Розв’язання.

Задача 8. При яких значеннях α і β вектори , колінеарні?

Розв’язання. Умова колінеарності двох векторів має вигляд:

; .

Звідки

; .

Задача 9. Обчислити об’єм паралелепіпеду і піраміди, які побудовані на векторах , , .

Розв’язання. Об’єм паралелепіпеду дорівнює модулю мішаного добутку векторів , , :

 

.

Тоді об’єми паралелепіпеду і піраміди дорівнюють:

;

 

.

Задача 10. Довести, що точки , , , лежать в одній площині.

Розв’язання. Щоб довести, що ці чотири точки лежать в одній площині, доведемо, що в одній площині лежать вектори , , , тобто ці три вектори компланарні.

Умова компланарності трьох векторів має вигляд:

.

Знайдемо координати векторів:

; ; .

Обчислимо мішаний добуток векторів:

.

 

Таким чином, точки A, B, C, D лежать в одній площині.

Завдання для самостійної роботи.

Задача 1. Знайти кут між векторами і , а також площу паралелограма, побудованого на них.

Задача 2. Обчислити проекцію вектора на вектор , якщо , , .

Задача 3. Дано вектори: , , .

Довести:

1) вектори і перпендикулярні;

2) вектори і колінеарні;

3) вектори , і компланарні.

Задача 4. Обчислити об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах: , , .

Задача 5. Дано координати вершин піраміди:: , , , . Обчислити:

1) кут АВС;

2) площу грані АВС;

3) об’єм піраміди ОАВС.