Матричний метод роз’язання лінійних систем.

Нехай дано систему:

Розглянемо три матриці:

 

Перша матриця називається матрицею симтеми, друга матрицею-стовпцем змінних, третя – матрицею-стовпцем вільних членів. Тоді систему можна записати у матричному вигляді: . Якщо матриця системи рівнянь невироджена , то розв’язок системи знаходимо у вигляді , або

Зразки розв’язування задач.

1. Розв’язати системи рівнянь за формулами Крамера:

Розв’язання:

a) Заходимо визначник системи

, тому система має єдиний розв’язок. Знаходимо .

За формулами Крамера, маємо:

б) Знаходимо визначник системи:

Система має єдиний розв’язок. Знаходимо

За формулами Крамера, маємо:

2. Дослідити на сумісність системи лінійних рівнянь та знайти їх розв’язок у випадку сумісності:

а) б)

Розв’язання:

a) Обчислемо визначник системи:

Визначник системи дорівнює нулю. Система або має безліч розв’язків, або не має жодного розв’язку. Знаходимо

 

Оскільки, , то система сумісна і невизначена. Для знаходження всіх розв’язків, відкидаємо третє рівняння, а рівняння, що залишилися, записуємо у вигляді:

Розв’язуємо отриману систему за формулами Крамера:

;

б) , тому що другий і третій рядки пропорційні.

Система або має безліч розв’язків, або не має жодного розв’язку.

Отже, задана система не має жодного розв’язку, тобто вона є несумісною.

3. Розв’язати систему лінійних рівнянь матричним методом:

Розв’язання:

Запишемо дану систему рівнянь у матричній формі: де

значить матриця А має обернену матрицю.

Знайдемо алгебричні доповнення елементів матриці А:

Скориставшись рівністю , знаходимо розв’язок системи:

 

- шуканий розв’язок.

Завдання для самостійної роботи.

1. Розв’язати системи лінійних рівнянь за формулами Крамера:

а) б)

2. Визначити, при яких значеннях а і b система

а) має один розв’язок;

б) має безліч розв’язків;

в) не має жодного розв’язку.

3. Розв’язати системи лінійних рівнянь матричним методом:

а) б)

 

3.Вектори в просторі. Основні поняття. Лінійні операції з векторами. Прямокутна система координат у просторі.

Розглянемо напрямлений відрізок , де А – початок, В – кінець. Будемо називати його вектором.

Довжину вектора будемо позначати таким чином:

.

 

Додавання векторів.

Щоб побудувати суму даних векторів і , треба відкласти ці вектори від довільної точки та побудувати на них паралелограм. Сумою векторів буде діагональ, що виходить з початку векторів і (рис. 3.1).

Цей спосіб побудови називається правилом паралелограма.

Суму двох векторів можно побудувати ще й за правилом трикутника.

Відкласти вектор від кінця вектора . Сумою векторів і буде вектор, що з’єднує початок з кінцем (рис. 3.2).

 

Щоб побудувати суму n даних векторів , треба від довільної точки відкласти , потім від його кінця відкласти і т.д., нарешті від кінця відкласти . Сумою векторів буде вектор, напрямлений від початку до кінця (рис. 3.3).

 

Віднімання векоторів.

Щоб побудувати різницю векторів , треба відкласти ці вектори від довільної точки, з’єднати їх кінці та вибрати на цьому відрізку напрямок від кінця до кінця (рис. 3.4).

 

Множення вектора на число.

Добутком ненульового вектора на число k називається вектор, який має напрям вектора , якщо , і протинапрям, якщо (при , ).

Ці три операції називаються лінійними операціями з векторами.

Проекція вектора на вісь.

Проекцією вектора на вісь називається довжина направленого відрізка, початок якого є проекція початку вектора і кінець – проекція його кінця, яка береться із знаком плюс, якщо напрями відрізка і осі збігаються, і зі знаком мінус, якщо їх напрями протилежні (рис.3.5).

, .

Властивості проекції.

a) ;

б) ;

в) .

Прямокутна система координат.

Нехай у просторі задано три попарно перпендикулярні осі OX, OY, OZ. Координатами вектора на осі називаються проекції вектора на ці осі:

, , .

Якщо - одиничні вектори, що напрямлені по OX, OY, OZ, то .

Якщо , то координати вектора .

Правила дій над векторами, заданими своїми координатами.

Якщо , , то

;

;

.

Довжина вектора. Напрямлені косинуси вектора.

;

; ; ,

де - кути між та осями OX, OY, OZ.

Для напрямлених конусів справедливо співвідношення: